高考数学一轮复习 2.3函数的单调性与最值课件 文 新人教A版.ppt

2 3函数的单调性与最值 一 函数的单调性 1 函数的单调性定义 一般地 设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间d上是增函数 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么就说函数f x 在区间d上是减 函数 2 利用定义证明函数f x 在区间d上的单调性的一般步骤 在区间d上任取x1 x2 且x1 x2 计算f x1 f x2 变形成乘积的形式或者是其他可以判断符号的形式 判断f x1 f x2 的符号 下结论 函数f x 在区间d上的单调性 3 函数的单调性与奇偶性的关系 奇函数在其关于原点的对称的区间上的单调性相同 偶函数在其关于原点的对称的区间上的单调性相反 4 判断函数单调性的方法 定义证明抽象函数的单调性 概念分析法 利用x增大 逐步推出函数值y是增大还是减少来判断函数的单调性 导数法 函数图像法 涉及平移 对称问题等 复合函数的单调性 函数的性质法 1 函数的最大值的定义 一般地 设函数f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有f x m 存在x i 使得f x m 那么 我们称m是函数y f x 的最大值 2 函数的最小值的定义 一般地 设函数f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有f x m 存在x i 使得f x m 那么 我们 二 函数的最值 称m是函数y f x 的最小值 1 四个函数中 在 0 1 上为增函数的是 a y log2x b y sinx c y x d y 解析 y log2x lox为减函数 y x为减函数 y 在 0 上为减函数 只有y sinx在 0 1 上是增函数 故选b 答案 b 2 函数f x x2 3x x 2 4 的最大值是 a 2 b 4 c 3 d 2 解析 函数f x 的对称轴为x 开口向上 f x 在 2 4 上为增函数 f x max f 4 16 12 4 故选b 答案 b 3 已知偶函数f x 在区间 0 上单调递增 则满足f f x 的x的取值范围是 a 2 b 1 c 2 1 2 d 1 2 解析 由 偶函数f x 在区间 0 单调递增 可得2 答案 c 题型1函数的单调性与最值 例1 1 函数f x 在区间 2 3 的最小值为 最大值为 2 偶函数f x 在 0 上是增函数 则不等式f f 2 的解集为 3 定义在r上的函数y f x 在 100 2 上是增函数 且y f x 2 的图像关于y轴对称 则 a f 1 f 2 f 3 b f 3 f 1 f 2 c f 1 f 3 f 2 d f 3 f 2 f 1 分析 1 f x 的图像可由y 的图像向右平移1个单位得到 再利用图像分析其单调性 2 偶函数f x 在 0 上是增函数 故函数图像上的点离y轴的距离越大 函数值越大 3 y f x 2 图像向右平移2个单位后可得到y f x 的图像 再利用图像解决问题 解析 1 分析函数的图像可知 f x 在区间 2 3 是单调减函数 f x min f x max 1 2 偶函数f x 在 0 上是增函数 不等式f f 2 等价于 2 x 且x 0 x 0或0 x 3 y f x 2 的图像向右平移2个单位后为y f x 的图像 y f x 2 的图像关于y轴对称 y f x 的图像关于x 2对称 f 1 f 3 y f x 在 100 2 上是增函数 f 1 f 1 f 2 即f 1 f 3 f 2 故选c 答案 1 1 2 0 0 3 c 2 利用函数的单调性解决不等式问题是常考的题型 3 利用函数的单调性和对称性分析 比较函数值的大小是高考中的常考试题 点评 1 用函数的图像分析函数的单调性的关键是熟悉 各种初等函数的图像 变式训练1 1 已知f x x2 2 a 1 x 2在 2 上是减函数 则实数a的取值范围为 2 函数f x 在 上是增函数 则实数a的取值范围为 3 函数f x log7 ax2 2x 1 在 1 上是增函数 则实数a的取值范围为 对称轴x 1 a 2 a 1 2 f x x 2 当a 0时 f x 在 上是增函数 当a 0时 f x 1 令f x 0 则x 或x 故要使f x 在 上是增函数 则 0 a 解析 1 f x x2 2 a 1 x 2在 2 上是减函数 则函数的 综上 实数a的取值范围为 3 当a 0时 f x log7 2x 1 在 1 上是增函数 当a 0时 f x log7 ax2 2x 1 在 1 上不可能是增函数 当a 0时 y ax2 2x 1的对称轴为x 0 且开口向上 y ax2 2x 1在 1 上是增函数 f x log7 ax2 2x 1 在 1 上是增函数 综上 实数a的取值范围为 0 答案 1 1 2 3 0 1 若a 0 请用定义证明函数f x 在r上单调递增 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出实数a的取值范围 若不存在 请说明理由 分析 1 用定义证明函数的单调性时要注意格式 2 对存在性问题的探索 首先是假设存在 看能否导出相应结论或矛盾 题型2函数的单调性与参数问题 例2已知函数f x x3 ax 1 解析 1 在r上任取x1 x2且x1 x2 则f x1 f x2 ax1 1 ax2 1 x1 x2 x1x2 a x1 x2 x1 x2 2 a x1 x2 x1 x2 0 x1与x2不同时为零 x1 x2 2 0 0 又 a 0 x1 x2 2 a 0 f x1 f x2 0 f x1 f x2 函数f x 在r上单调递增 2 假设存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 在 1 1 上任取x1 x2 且x1 x2 则f x1 f x2 x1 x2 x1x2 a 1 x1 x2 1 1 x1x2 1 1 x1x2 3 x1x2 a 3 a f x 在 1 1 上单调递减 则f x1 f x2 0 3 a 0 a 3 存在实数a使f x 在 1 1 上单调递减 此时实数a的取值范围为 3 点评 利用函数的定义分析函数的单调性 即比较f x1 f x2 与0的大小 再利用不等关系解决问题 变式训练2已知函数f x x2 x 0 a r 若f x 在区间 2 上是增函数 求实数a的取值范围 解析 在 2 上任取x1 x2 且x1 x2 则f x1 f x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 a 2 x14 x1x2 4 x1 x2 x1x2 16 x1 x2 x1x2 a 16 a f x 在区间 2 上是增函数 则f x1 f x2 0 16 a 0 a 16 实数a的取值范围为 16 1 f x 在r上的单调性是否确定 请说明理由 2 是否存在实数a 使得f a2 a 5 4成立 若存在 求出实数a 若不存在 请说明理由 题型3函数单调性的综合 例3已知函数f x 对于任意实数x y均满足f x f y f x y 3 f 3 6 当x 0时 f x 3 不等式 解析 1 设x1 x2 r 并且x1 x2 则x2 x1 x2 x1 x2 x1 0 f x2 x1 3 f x2 f x1 f x1 x2 x1 f x1 f x1 f x2 x1 3 f x1 f x2 x1 3 0 即f x2 f x1 f x 在r上单调递增 分析 1 利用函数单调性的定义 设x1 x2并判断f x2 f x1 与0的大小关系 2 利用已知化4 f 1 脱去f即可解一元二次 f 3 f 2 f 1 3 2f 1 3 f 1 3 3f 1 6 6 f 1 4 f a2 a 5 4即为f a2 a 5 f 1 又 f x 在r上单调递增 a2 a 5 1 即a2 a 6 0 解得 2 a 3 故存在这样的实数a 且a 2 3 2 令x y 1 则2f 1 f 2 3 点评 本题考查了函数单调性的证明以及利用函数的单调性解决参数取值范围的问题 变式训练3已知定义在区间 0 上的函数f x 满足f f x1 f x2 且当x 1时 f x 0 1 求f 1 的值 2 判断f x 的单调性 3 若f 3 1 解不等式f x 2 代入得f 1 f x1 f x1 0 故f 1 0 2 任取x1 x2 0 且x1 x2 则 1 由于当x 1时 f x 0 所以f 0 即f x1 f x2 0 因此f x1 f x2 所以函数f x 在区间 0 上是单调递减函数 解析 1 令x1 x2 0 3 由f f x1 f x2 得f f 9 f 3 而f 3 1 所以f 9 2 由于函数f x 在区间 0 上是单调递减函数 由f x 9 x 9或x 9 因此不等式的解集为 x x 9或x 9 1 定义法与导数法均可以用来判断函数的单调性 定义法可以分析抽象函数的单调性 如果能求导 导数法对函数的单调性分析更加形象直观 也比较简洁 显示出导数的优越性 2 只要把握住了函数的单调性或者单调区间 那就可以分析函数的值域与最值 3 熟悉复合函数的单调性的性质与判定 对解决某些问题可以起到迅速和准确的效果 错解 y 可看成由y 和u x2 x 6复合而成 而y 单调递增 故只需研究u x2 x 6的单调性 u x2 x 6 x 2 u在 上是减函数 在 上是增函数 原函数的单调递增区间为 单调递减区间为 例求函数y 的单调区间 剖析 复合函数的单调性要考查内外函数的公共定义域 错解在于没有先确定f x 的定义域 正解 f x 的定义域为 3 2 而y 由y 和u x2 x 6复合而成 又u x2 x 6 x 2 u在 上是减函数 在 上是增函数 f x 在 3 上是减函数 在 2 上是增函数 即原函数的单调递增区间为 2 单调递减区间为 3 1 基础再现 函数f x x2 3x 2在区间 5 5 上的最小值为 a 12 b c d 1 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 答案 b 解析 f x x2 3x 2的对称轴为x f x 在 5 上单调递减 在 5 上单调递增 f x 在区间 5 5 上的最小值f x min f 故选b 2 基础再现 已知奇函数f x 在区间 0 上单调递增 则满足0 f 2x 1 f 的x取值范围是 a b c d 解析 奇函数f x 在区间 0 上单调递增 则f x 在r上递增且f 0 0 则0 f 2x 1 f 等价于0 2x 1 x 故选c 答案 c 3 视角拓展 如果函数f x ax2 a 1 x 1在区间 1 4 上为增函数 则实数a的取值范围是 a a b a 1 c a d a 0或a 1 解析 当a 0时 f x x 1在区间 1 4 上为减函数 舍去 当a 0时 函数f x 的对称轴为x 函数f x ax2 a 1 x 1在区间 1 4 上为增函数 或 a 1 综上 a的取值范围为a 1 答案 b 4 高度提升 关于f x x 1 x 的单调性叙述正确的是 a f x 在定义域r上单调递增 b f x 在定义域r上单调递减 c f x 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 d f x 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 解析 f x 其大致图像为 由图像知f x 在 0 上递减 在 0 上递增 答案 d 5 高度提升 已知f x 是r上的减函数 则 a bf a f b 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分又不必要条件 解析 若a b 0 a b b a f x 是r上的减函数 f a f b f b f a f a f b f a f b 若f a f b f a f b 假设a b 0 a b b a f x 是r上的 减函数 f a f b f b f a f a f b f a f b 这与f a f b f a f b 相矛盾 故假设不成立 a b 0 故 a bf a f b 的充要条件 故选c 答案 c 6 基础再现 函数f x 的单调减区间为 解析 令g x x x f x g x 且x2 2x 3 0 x 1或x 3 g x x为减函数 x 在 1 上是增函数 f x 的单调减区间为 1 答案 1 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 视角拓展 已知t 1 3 则y 的最小值为 解析 y 2t 易知函数在 1 上为减函数 在 3 上为增函数 t 1 3 ymin y 2 答案 2 8 视角拓展 函数f x 的值域是 解析 f x 当x 3 当0 x 2时 3 f x 1 当x 2时 f x 1 f x 值域是 3 答案 3 9 高度提升 设x y是实数 并且满足则x y的值为 解析 原方程组可化为 令f t t3 2014t 所以f 1 y f x 1 因为f t 在 上是增函数 所以x 1 1 y 所以x y 2 答案 2 10 视角拓展 已知函数f x 1 证明 f x 在区间 1 上单调递减 2 若f x a在区间 0 上恒成立 求a的取值范围 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 即f x1 f x2 0 f x1 f x2 f x 在区间 1 上单调递减 解析 1 任取x1 x2 1 且x1 x2 f x1