高考数学总复习 第2章 第2节 函数的单调性与最值课件 新人教A版 .ppt

第二章函数 导数及其应用 第二节函数的单调性与最值 一 函数的单调性1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 逐渐上升 逐渐下降 2 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 增函数 减函数 区间d 1 函数y f x 的图象如图所示 那么函数f x 的增区间是 0 0 吗 提示 不是 函数f x 的增区间是 0 和 0 不是 0 0 函数的单调区间之间不能取并集 二 函数的最值 f x m f x0 m f x m f x0 m 2 最大 小 值反映在函数图象上有何特征 提示 函数的最大 小 值反映在其图象上分别具有最高 低 点 解析 由条件知函数f x 在 0 上为减函数 四个选项中只有a满足 答案 a 2 2013 许昌模拟 函数f x log2 3x 1 的值域为 a 0 b 0 c 1 d 1 解析 3x 1 1 log2 3x 1 0 故选a 答案 a 4 函数y x 3 x 的单调递增区间是 考向探寻 判断或证明函数的单调性 互动探究 在本例 2 中 将 在 0 上 改为 在定义域上 结果如何 判断函数单调性的常用方法 1 定义法 2 两个增 减 函数的和仍为增 减 函数 一个增 减 函数与一个减 增 函数的差是增 减 函数 3 奇函数在两个对称区间上的单调性相同 偶函数在两个对称区间上的单调性相反 4 如果f x 在区间d上是增 减 函数 那么在它的子区间上也是增 减 函数 5 如果y f u u g x 单调性相同 那么y f g x 是增函数 如果y f u u g x 单调性相反 那么y f g x 是减函数 6 利用图象判断函数的单调性 7 利用导数研究函数的单调性 考向探寻 利用观察法 换元法 配方法 函数的单调性 不等式的性质 代数式的几何意义等求函数的最值 值域 考向探寻 1 求函数的单调区间 2 已知函数的单调性求参数范围 3 利用单调性解不等式 求值域 2 已知函数f x 是r上的增函数 且f x2 x f a x 对一切x r都成立 则实数a的取值范围为 3 求出下列函数的单调区间 f x x2 4x 3 f x log2 x2 1 1 利用对称性将函数值转化到区间 1 上 根据单调性判断大小 2 由单调性得到x2 x a x 即a x2 2x恒成立 转化为求函数g x x2 2x的最小值 3 函数含有绝对值 故可将其转化为分段函数后作出图象求解 中的函数为函数y log2u u x2 1的复合函数 要注意其定义域 2 解析 由题意知x2 x a x对一切x r都成立 即a x2 2x对一切x r都成立 令g x x2 2x 则g x x2 2x x 1 2 1 1 a 1 所求a的范围为 1 答案 1 3 解 先作出函数y x2 4x 3的图象 把x轴下方的部分翻折到x轴上方 可得函数f x 的图象 如图甲所示 由图可知 函数的增区间为 1 2 3 减区间为 1 2 3 函数的定义域为x2 1 0 即 x x 1或x 1 令u x x2 1 图象如图乙所示 由图象知 u x 在 1 上是减函数 在 1 上是增函数 而f u log2u是增函数 故f x log2 x2 1 的单调增区间是 1 单调减区间是 1 1 求函数的单调区间与确定单调性的方法 利用已知函数的单调性 即转化为已知函数的和 差或复合函数 求单调区间 定义法 先求定义域 再利用单调性定义 图象法 如果f x 是以图象形式给出的 或者f x 的图象易作出 可由图象的直观性写出它的单调区间 导数法 利用导数取值的正负确定函数的单调区间 2 求函数y f g x 的单调区间的步骤 确定定义域 将函数y f g x 分解成两个基本初等函数 分别确定两基本初等函数的单调性 按 同增异减 的原则确定原函数的单调区间 活学活用 2 1 已知函数f x log2 x2 ax 3a 在区间 2 上递增 则实数a的取值范围是 答案 1 1 12分 函数f x 对任意的a b r 都有f a b f a f b 1 并且当x 0时 f x 1 1 求证 f x 是r上的增函数 2 若f 4 5 解不等式f 3m2 m 2 3 1 是抽象函数单调性的证明 运用定义法 需构造f x1 f x2 的形式 2 是抽象不等式 需利用 1 的结论 化抽象不等式为具体不等式 为此还要将右边常数3看成某个变量的函数值 1 设x1 x2 r 且x10 f x2 x1 1 2分 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 即f x2 f x1 5分 函数f x 在r上是增函数 6分