高考数学总复习 第6章 第7节 数学归纳法课件 新人教A版 .ppt

第六章不等式 推理与证明 第七节数学归纳法 理 一 数学归纳法的定义由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法 1 验证当n n0 n0 n 时命题成立 递推的基础 2 假设当n k k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 递推的根据 3 根据 1 2 可知 当 时命题都成立 这种证明方法叫数学归纳法 n k 1 n取从n0开始的 所有正整数 1 在归纳奠基中 第一个值n0是否一定为1呢 提示 不一定 要看题目中n的要求 如在证明多边形的内角和定理f n n 2 180 中 第一个值n0应该为3 二 数学归纳法的证明步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法 它的基本步骤是 1 验证n取第一个值时命题成立 2 在假设当时命题成立的前提下 推出n 时 命题成立 根据 1 2 可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 n0 n k k n0 k 1 2 数学归纳法两个步骤有何关系 提示 数学归纳法中两个步骤体现了递推思想 第一步是递推基础 也叫归纳奠基 第二步是递推的依据 也叫归纳递推 两者缺一不可 应用数学归纳法要运用 归纳假设 没有运用 归纳假设 的证明不是数学归纳法 解析 边数最小的凸多边形是三角形 答案 c 解析 当n 1时 an 1 a2 验证n 1时 等式左端计算所得的项是1 a a2 答案 c 答案 c 5 设凸k边形的内角和为f k 则凸k 1边形的内角和f k 1 f k 解析 由凸k边形变为凸k 1边形时 增加了一个三角形 答案 或180 考向探寻 1 对数学归纳法原理理解的考查 2 验证初始值 左 右代数式问题 3 由k到k 1的变化问题 对数学归纳法的理解 典例剖析 1 如果命题p n 对n k成立 则它对n k 2也成立 若p n 对n 2也成立 则下列结论正确的是a p n 对所有正整数n都成立b p n 对所有正偶数n都成立c p n 对所有正奇数n都成立d p n 对所有自然数n都成立 解析 1 由题意n k时成立 则n k 2时也成立 又n 2时成立 则p n 对所有正偶数都成立 答案 b 答案 d 1 在数学归纳法的第二个步骤中 要注意观察递推的形式 以便准确地得到相应的一般性的结论 2 判断由n k到n k 1时式子的变化情况时 要利用两式的结构特点来判别增加的项的规律 这是数学归纳法证题的难点 活学活用 1 1 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 从k到k 1时左边需要增乘的代数式为 答案 2 2k 1 考向探寻 1 证明等式问题 2 证明不等式问题 用数学归纳法证明等式 不等式 1 第一步验证n 1时等式成立 2 第二步假设n k k n 时等式成立 证明n k 1时等式成立 1 第一步验证n 2时不等式成立 2 第二步假设n k k n k 1 时不等式成立 证明n k 1时不等式成立 1 用数学归纳法证题时 在第二步中寻找由k到k 1的变化规律是难点 突破难点的关键是掌握由k到k 1的推证方法 在运用归纳假设时 应分析p k 与p k 1 的差异及联系 利用拆 添 并 放 缩等手段 或从归纳假设出发 若从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 也可考虑寻求二者的 结合点 以便顺利过渡 切实掌握 观察 归纳 猜想 证明 这一特殊到一般的推理方法 2 证明不等式时 在由n k时不等式成立 推导n k 1时不等式也成立时 过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用 如比较法 放缩法 分析法 反证法等 有时还要考虑与原不等式等价的命题等 答案 d 考向探寻 利用数学归纳法证明数列中的等式 不等式等问题 数学归纳法证明数列问题 典例剖析 2012 全国高考 函数f x x2 2x 3 定义数列 xn 如下 x1 2 xn 1是过两点p 4 5 qn xn f xn 的直线pqn与x轴交点的横坐标 1 求证 2 xn xn 1 3 2 求数列 xn 的通项公式 解答本题可按以下步骤进行 1 求出直线pq方程与x轴交点横坐标 利用数学归纳法证明不等式 2 确定xn 1与xn的关系 构造等比数列求xn 数学归纳法在数列中的应用是高考的常见题型 解决类似问题时 发现利用数学归纳法解题是关键 因此要熟练掌握数学归纳法可解决的问题的类型及数学归纳法证题的思路与要求 活学活用 3 数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 数列中 归