高考数学总复习 第五章第5课时 数列的综合应用课件.ppt

第5课时数列的综合应用 第五章数列 基础梳理1 数列应用问题的常见模型 1 等差模型 一般地 如果增加 或减少 的量是一个固定的具体量时 该模型是 模型 增加 或减少 的量就是 其一般形式是 an 1 an d 常数 等差 公差 2 等比模型 一般地 如果增加 或减少 的百分比是一个固定的数时 该模型是 模型 3 混合模型 在一个问题中 同时涉及到等差数列和等比数列的模型 等比 4 生长模型 如果某一个量 每一期以一个固定的百分数增加 或减少 时 同时又以一个固定的具体量增加 或减少 时 我们称该模型为生长模型 如分期付款问题 树木的生长与砍伐问题等 5 递推模型 如果容易找到该数列 一项an与它的前一项an 1 或前n项 间的递推关系式 那么我们可以用递推数列的知识求解 任意 2 数列综合应用题的解题步骤 1 审题 弄清题意 分析涉及哪些数学内容 在每个数学内容中 各是什么问题 2 分解 把整个大题分解成几个小题或几个 步骤 每个小题或每个小 步骤 分别是数列问题 函数问题 解析几何问题 不等式问题等 3 求解 分别求解这些小题或这些小 步骤 从而得到整个问题的解答 4 还原 将所求结果还原到实际问题中 课前热身1 在如图所示的表格中 每格填上一个数字后 使每一横行成等差数列 每一纵列成等比数列 则a b c的值为 2 随着计算机技术的迅猛发展 电脑的价格不断降低 若每隔4年电脑的价格降低三分之一 则现在价格为8100元的电脑12年后的价格可降为 答案 2400元 3 2011 高考湖北卷 九章算术 竹九节 问题 现有一根9节的竹子 自上而下各节的容积成等差数列 上面4节的容积共3升 下面3节的容积共4升 则第5节的容积为 升 4 数列 an 的通项公式为an n2 4n 1 若数列 an 是递增数列 则 的取值范围是 解析 据题意 对任意n n 不等式an 1 an 0恒成立 即 n 1 2 4 n 1 1 n2 4n 1 0 对任意n n 恒成立 某企业2011年的纯利润为500万元 因设备老化等原因 企业的生产能力将逐年下降 考点1数列的实际应用 1 设从今年起的前n年 若该企业不进行技术改造的累计纯利润为an万元 进行技术改造后的累计纯利润为bn万元 需扣除技术改造资金 求an bn的表达式 2 依上述预测 从今年起该企业至少经过多少年 进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 当n 4时 bn an 即至少经过4年 该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润 名师点评 等差等比数列在实际问题中的应用中要明确数量关系 转化成数学关系式 此后 每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人 由于该市医疗部门采取措施 使该种病毒的传播得到控制 从某天起 每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人 到11月30日止 该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8670人 则11月几日 该市感染此病毒的新患者人数最多 并求这一天的新患者人数 解 设从11月1日起第n n n 1 n 30 日感染此病毒的新患者人数最多 则从11月1日至第n日止 每日新患者人数依次构成一个等差数列 这个等差数列的首项为20 公差为50 从第n 1日开始 至11月30日止 每日的新患者人数依次构成另一等差数列 这个等差数列的首项为 20 n 1 50 30 50n 60 公差为 30 项数为 30 n 30 n 日的患者总人数为 即 25n2 5n 65n2 2445n 14850 8670 化简整理得n2 61n 588 0 所以n 12 n 49 又1 n 30 所以n 12 所以第12日的新患者人数为20 12 1 50 570 所以11月12日该市感染此病毒的新患者人数最多 且这一天新患者人数为570人 变式训练1 某企业2011年初贷款a万元 年利率为r 按复利计算 从2011年末开始 每年末偿还一定金额 计划第5年底还清 则每年应偿还的金额数为 万元 考点2图表中的数列问题将数列 an 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表 a1a2a3a4a5a6 名师点评 1 归纳型数列问题一直是考查的一个重点 近年以图形 图表信息为线索的创新问题 成为考查考生观察 分析问题的一个重要途径 2 求解这类问题的关键是如何通过图中的信息找出数列所满足的规律 其中每行 每列都是等差数列 aij表示位于第i行第j列的数 1 写出a45的值 2 写出aij的计算公式 3 证明 正整数n在该等差数列阵中的充要条件是2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积 解 1 a45 49 详见第 2 问一般性结论 2 该等差数阵的第一行是首项为4 公差为3的等差数列 a1j 4 3 j 1 第二行是首项为7 公差为5的等差数列 a2j 7 5 j 1 第i行是首项为4 3 i 1 公差为2i 1的等差数列 因此aij 4 3 i 1 2i 1 j 1 2ij i j i 2j 1 j 3 证明 必要性 若n在该等差数阵中 则存在正整数i j使得n i 2j 1 j 从而2n 1 2i 2j 1 2j 1 2i 1 2j 1 即正整数2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积 充分性 若2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积 由2n 1是奇数 则它必为两个不是1的奇数之积 即存在正整数k l 使得2n 1 2k 1 2l 1 从而n k 2l 1 l akl 可见n在该等差数阵中 综上所述 正整数n在该等差数阵中的充要条件是2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积 变式训练2 将全体正整数排成一个三角形数阵 按照以上排列的规律 第n行 n 3 从左到右的第3个数为 考点3数列与数学其它分支的综合问题 1 求a1的值 2 求数列 an 的通项公式an 3 设sn为数列 an 的前n项和 若对于任意的实数 0 1 总存在自然数k 当n k时 3sn 3n 2 1 3an 1 恒成立 求k的最小值 3 由已知对任意实数时 0 1 时 n2 2n 2 1 2n 1 恒成立 对任意实数 0 1 时 2n 1 n2 4n 3 0恒成立 令f 2n 1 n2 4n 3则f 是关于 的一次函数 名师点评 在解决数列知识与其它数学知识综合问题中 应注意从数列是特殊的函数的角度出发 运用变化 联系制约的观点解决数列综合问题 2011 高考陕西卷 如图 从点p1 0 0 作x轴的垂线交曲线y ex于点q1 0 1 曲线在q1点处的切线和x轴交于点p2 再从p2作x轴的垂线交曲线于点q2 依次重复上述过程得到一系列点 p1 q1 p2 q2 pn qn 记pk点的坐标为 xk 0 k n 1 试求xk与xk 1的关系 2 k n 2 求 p1q1 p2q2 p3q3 pnqn 解 1 pk 1 xk 1 0 由y ex得qk 1 xk 1 exk 1 点处切线方程得y exk 1 exk 1 x xk 1 由y 0得xk xk 1 1 2 k n 2 由x1 0 xk xk 1 1 得xk k 1 pkqk exk e k 1 因此an 1 an 2 所以数列 an 是首项为1 公差为2的等差数列 因此a2013 1 2 2013 1 4025 答案 4025 方法技巧1 数列的渗透力很强 它和函数 方程 三角 不等式等知识相互联系 优化组合 无形中加大了综合力度 所以 解决此类题目仅靠掌握一点单科知识 无异于杯水车薪 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 深刻领悟它在解题中的重大作用 常用的数学思想方法主要有 函数与方程 数形结合 分类讨论 等价转化 等 2 数列作为特殊的函数 在实际问题中有着广泛的应用 如增长率 减少率 银行信贷 浓度匹配 养老保险 圆钢堆垒等问题 3 解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识又要有良好的逻辑思维能力和分析 解决问题的能力 解答应用性问题 应充分运用观察 归纳 猜想的手段建立有关等差 比 数列 递推数列模型 再结合其他相关知识来解决问题 失误防范1 等差 等比数列的综合题 审题易读错题 等差读成等比 或等比看成了等差 一字之差 谬之千里 2 综合问题中 数学式子的结构易理解错 造成解题方向出错 命题预测从近几年的江苏高考试题来看 等差数列与等比数列交汇 数列与解析几何 不等式交汇是考查的热点 题型以解答题为主 难度偏高 主要考查学生分析问题和解决问题的能力 预测2013年的江苏高考 等差数列与等比数列的交汇 数列与不等式的交汇是主要考点 重点考查运算能力和逻辑推理能力 典例透析 2011 高考安徽卷 已知 abc的一个内角为120 并且三边长构成公差为4的等差数列 则 abc的面积为 解析 由于三