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第5讲 有趣的数字数字问题一直是中小学数学竞赛中的热门问题，解这类问题一般要用到整数的性质及解整数问题的常用方法，如数的整除性、剩余类、奇偶分析、尾数的性质等。有时还得用解竞赛题的一些技巧，如筛选、排除、枚举、局部调整、从极端考虑等。有一类特殊的数字问题，它们的条件与1到9这9个数字或0到9这10个数字有关，这就增加了题目的趣味性。解这类题目，要注意利用题目条件中有9个或10个不同数字这一条件，另外这9个或10个数字之和是9的倍数这个特点，也很有用。例1 在下式中的每两个相邻数之间都添上一个加号或减号，组成一个算式。要求算式运算结果等于37，且这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能的大。10 9 8 7 6 5 4 3 2 1那么，这些减数的最大乘积是多少？解：把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中1个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么结果将要减少这个数的2倍。因为55-37=18，所以我们变成减数的这些数之和是182=9。对于大于2的数来说，两数之和总比两数乘积小。为了使这些数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。9最多可拆成三数之和2+3+4=9，因此这些减数的最大乘积是234=24。添上加、减号的算式是：10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。例2 我的岁数的3次方是一个四位数，我的岁数的4次方是一个六位数，要组成这两个数，需要用遍0到9这10个数字。问：我的年龄各是多少？解：设我的年龄x。注意到223=10648和174=83521是五位数，故应有17x22。取x等于18，19，21（x显然不应等于20），逐一计算他们的3次方与4次方，经验证，只有18合乎题意：183=5832，184=104976。故x=18。例3 将19这9个数字填入下面方格中，且使积P最小：P=。9的一个排列。为使P最小，显然a1，a4，a7是1，2，3的一个排列，不妨设a1=1，a4=2，a7=3。又a2，a5，a8是4，5，6的一个排列。逐一计算142536，152436，142635，152634，162435，162534，可知142536是六个积中最小的一个。故知a2=4，a5=5，a8=6。如果我们掌握了下面的性质，“两数和为定值时，两数的积随着这两数差的减少而增大”的话，那么上述验证的解法可以简化如下：对于积142536，任意变换两个乘数的个位数字，都会使两乘数的和不变而差减少，从而它们的积也增大，故142536是最小的。最后a3，a6，a9是7，8，9的一个排列，用类似的方法得a3=7，a6=8，a9=9时，P=147258369积最小。例4 能否将自然数110填入右图所示的五角星各交点的“”中，使每条直线上的四个数字之和都相等？解：假定能够做到，注意到在计算数字和时，每一个数都被计算了2次，则每条直线上4个数字的和等于（552）5=22。考虑相交于10的两条直线，可知10与1在同一条直线上，否则这两直线的数字和不小于210+（2+3+4+5+6+7）=47。设与10不在同一条直线上的三个数为x，y，z，则x+y+z55-222+1021。又设x，y，1，u在同一条直线上，则x+y+U+122，即x+y+u=21，z=u矛盾。故满足题设的填法是不存在的。例5 用1，2，9这9个数字，最多能组成多少个平方数？要求每个数字都要用一次且只能用一次。解：一位平方数有3个：1，4和9。剩下6个数字中2和5，3和6可组成2个平方数25和36，但7和8不能组成平方数。注意到784=282，故一共可组成5个平方数：1，9，25，36，784。例6 用1，2，9这9个数字排成没有重复数字的九位数，一共可以排多少个？这些数的最大公约数是多少，解：根据乘法原理，一共可以排成987654321=362880（个）没有重复数字的九位数。因为其中每个九位数的数字和都是45，45是9的倍数，所以每个九位数都是9的倍数。而九位数987654321和987654312的差为9，故它们的最大公约数应是9。例7 左下图中有3个等边三角形和3条通过4个点的直线。请你将1到9这9个自然数写到9个黑点旁，使得每个等边三角形顶点3个数字之和相等，又要使得每条直线上的4个数字之和相等。解：3个三角形上的数字都是不同的，它们的数字之和相等，因此每个三角形上的数字之和等于453=15。由此我们可以认为，3个三角形上的数字，恰好是纵横图上3条横行，或者3条纵列（见右上图）。本题要对照三阶纵横图求解。把3条直线上所有数字相加，中间小三角形上数字要算2次，因此相加之和应是45+15=60，即每条直线上 4个数字之和应等于20。解题的关键是确定中间小三角形上应是哪三个数。譬如，它是2，7，6，那么7和6所在的直线上另外2个数字之和应是20-7-6=7，可是在三阶纵横图其他两条纵列上，每列各取一数相加之和是不能等于7的。对于（4，3，8）（2，9，4）和（6，1，8）作同样考察，都会得到与（2，7，6）一样的情况。当中间小三角形上的3个数是1，5，9时，有5+9+4+2=20， 1+9+3+7=20和1+5+8+6=20，得到一个解（见左下图）。当中间小三角形上的3个数是7，5，3时，得到另一个解（见右下图）。例8 能否在圆周上放置0，1，2，9这10个数字，使得任何两个相邻数的差为3，4或5？解：因为0，1，2，8，9这5个数中的任何两个都不能排在一起（否则相邻数之差不是3，4或5），故它们之间都应隔着一个数。但此时其余的5个位置上都不能放置7，无论将7放到哪里，它都会与一个相邻数的差不是3，4或5中的一个。故满足题意的放置方法是没有的。说明：一般而言，将0n这n+1个数放置到圆周上，使任何两数之差为3，4或5的问题，在n12时无解，在n13时有解，下图是n=14时的一种放置方法。例9 已知a1，a2，a10是0，1，2，9的一个排列，a1，a2a3，a4a5a6，a7a8a9a10，都是平方数，写出它们的全部解。解：本题宜采用穷举与淘汰相结合的方法来解。先写出199这99个数的平方，删去其中有重复数字的平方数，如122=144等，在剩下的数中进行适当的组合，可以得到四个解：（1）12=1，62=36，282=784，952=9025。（2）32=9，92=81，242=576，482=2304。（3）32=9，92=81，182=324，842=7056。（4）32=9，42=16，282=784，552=3025。例10 用1，2，9这9个数字，组成数字不重复使用的3个三位数，使得第2个数是第1个数的2倍，第3个数是第1个数的3倍。例如192，384，576。类似这样的3个三位数还有好几组。如果这样的三位数有n组，那么在所有这3n个三位数中，最大的一个与最小的一个的差是多少？解：在一组满足条件的3个三位数中，第3个数最大，且是3的倍数，依次验证987，984，981，其中981适合（327，654，981）是一组满足条件的3个三位数）。在一组三位数中，第一个最小，在123192中经过试验，只有192适合题意。故本题的解为981-192=789。说明：进一步的推算可知，满足题设条件的三位数共有4组：192，384，576；327，654，981；219，438，657；273，546，819。例11 用1，2，3，9这9个数字，写出大小相等的3个分数，解：我们先考虑这些分数都是真分数的情况，解题的关键是抓住以下两个结论：三个分数中至多只有一个最简分数。数字5不会出现在某个分数的分子或分母的个位上。（为什么？请读者考虑。）9个数字组成3个真分数，每个数字只用一次，有如下3种情况：由知5只能出现在某个分母的十位上，显然这个分数不是最简分数，故此分母要从5159的合数中去选取。经试算可得3个解：综合（1）（2）（3）三种情况，满足条件的真分数有7个解，分子分母颠倒后，又得7个解。本题共有14个解。例12 两人轮流从1，2，9这9个数字中取数。每次取一个，谁先取的数中有3个数的和为15就算赢家。如果第1个人取的数是5，那么第2个人应该取几才能使自己立于不败之地？分析与解：本题条件中的“和为15”，使我们联想到右图中的“幻方”，它的每行、每列及对角线的和都等于15。故本题等价于甲乙二人轮流将黑白二色棋子放入九宫格中，哪一方放入的棋子先成一行（横行、竖行和斜行）者为胜。甲先占了中间一格，乙应选哪一格才能保证自己不败？这个问题实际上是“井字棋”游戏，乙的对策如果不对，会导致失败。假设乙选择边上的位置，比如选3，则甲选4，乙只好选6。甲再选2。这时8，9这两个位置乙只能选一个，甲必得其一，这样甲就必胜无疑了。所以当甲选5时，乙应选九宫格中位于角上的数字，即应选2，4，6，8中的一个，才能使自己立于不败之地。练习51将数码1，2，3，4，5，6，7，8，9填入下面的9个方格中，组成3个三位数连乘的算式：。连乘积可能取到的最大值是多少？2在下面的一排数字之间填入 5个加号，组成一个连加算式，将这个算式的计算结果的最大值记为a，最小值记为b，则a+b的值是多少？1 2 3 4 5 6 7 8 93请你将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字填入下图的方格中，使得每一行、每一列及两条对角线上的3个数字和都不相等。4用1，2，9这9个数字，最多可以组成多少个质数？要求每个数字都要用一次且只能用一次。5用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字排成没有重复数字的九位数，且这个九位数是11的倍数。这样的九位数中，最大的一个是多少？6能否将数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入左下图中的圆圈中（每个数填一次），使得各个阴影三角形的3个顶点上的数之和相等？7在上图的圆圈里，按照顺时针方向把9个数字分成3段，组成3个数。这3个数恰好是一个乘法等式：28157=4396。下面8个圆圈也有这样的特点，请你也来试一试，怎么分段？注意：最后两个圆圈分段以后，被乘数是一位数。练习51.6117211516。解：仿例3的解法，可求得7638529416117211516。2.6993。提示：最大值a=1+2+3+4+5+67896804， 最小值b=12+34+56+78+9189， a+b6804+1896993。3.4.6个。解：1至9中的质数有4个：2，3，5，7，剩下的5个数中只有2个奇数：1和9。而除了2以外的质数都是奇数，故本题的解是最多可组成 6个质数。例如 2，3，5，7，89，461。5.987652413。解：因为这9个数字的和是45，根据能被11整除的数的特征，这个九位数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数，所以这个差只能是0，11，22，33和44。由于各位数字之和是45为一奇数，根据数的奇偶性可知奇位数字之和与偶位数字之和，只可能是一奇一偶，故它们的差不能是0，22或44。若差是33，则奇位数字之和与偶位数字之和，只能是39和6，但这是不可能的。于是差只能为11。奇位数字之和是28，偶位数字之和是17，这样可以求出最大数为987652413。6.能。解：先考虑位于3个“角”上的3个三角形，它们没有公共顶点，共涉及到9个数（只差中间1个内的数）。注意到0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，这 9个数有如下几种情况：（1）和为42。每个三角形3个顶点上的3个数字之和为14，中间数为3。与中间数相关的3个三角形另外两边构成的数对只能是9，8；7，6。还缺一对，不可能。（2）和为45。每个三角形3个顶点上3个数字和为15，中间数为0。与中间数相关的3个三角形另外两边构成的数对只能是9，2；7，4；5，6。（3）和为39。每个三角形3个顶点上3个数字和为13，中间数为6。与中间数相关的3个三角形另外两边构成的数对只能是7，0；5，2；3，4。（4）和为36。每个三角形3个顶点上3个数字和为12，中间数为9。与中间数相关的3个三角形另外两边构成的数对只有1，2。还缺一对，不可能。据此，有下图所示的两种填法。7.（1）42138=5796； （2）182975346；（3）271985346；（4）391867254；（5）481597632；（6）124835796；（7）41963=7852； （8）41738=6952。提示：9个数分3段，大体上是两位数和三位数相乘，得到一个四位数。我们就按2，3，4或3，2，4的关系来试分。试分以后，需要试算。试算时，不必把全部乘积都乘出来，最简便的办法是先从个位数来判断。比如有一种分法是：21，385，7964，从这3个数的个位数看，因为154，所以，就可以判断这种分法不