重庆市第一中学高一数学上学期期末试卷（含解析）.doc

2015-2016学年重庆一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置1已知集合a=2，3，4，b=2，4，6，则ab=（）a2b2，4c2，4，6d2，3，4，62已知扇形的中心角为，半径为2，则其面积为（）abcd3已知，则=（）abcd4三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）aacbbabccbacdbca5已知在映射f下，（x，y）的象是（x+y，xy），其中xr，yr则元素（3，1）的原象为（）a（1，2）b（2，1）c（1，2）d（2，1）6已知函数y=2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）abcd7已知幂函数f（x）=xm1（mz，其中z为整数集）是奇函数则“m=4”是“f（x）在（0，+）上为单调递增函数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件8函数x+sinx2在区间上的零点个数为（）a4b3c2d19已知f（x）是定义在r上的偶函数，对任意xr都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且f（0）=3，则f（8）的值为（）a1b2c3d410已知函数f（x）=acos（x+）（a0，0）的图象与直线y=m（am0）的三个相邻交点的横坐标分别是3，5，9，则f（x）的单调递增区间是（）a6k+1，6k+4，kzb6k2，6k+1，kzc6k+1，6k+4，kzd6k2，6k+1，kz11函数f（x）=|x22x1|，设ab1且f（a）=f（b），则（ab）（a+b2）的取值范围是（）a（0，4）b0，4）c1，3）d（1，3）12已知正实数m，n，设a=m+n，b=若以a，b为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c，且c满足c2=kmn，则实数k的取值范围为（）a（1，6）b（2，36）c（4，20）d（4，36）二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）13则f（f（2）的值为14已知，则（1+tana）（1+tanb）=15的值等于16已知函数y=f（x）的定义域是r，函数g（x）=f（x+5）+f（1x），若方程g（x）=0有且仅有7个不同的实数解，则这7个实数解之和为三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17（1）求值：（其中e为自然对数的底数）；（2）已知cos=，求cos的值18已知函数，g（x）=log2（2x2）（1）求f（x）的定义域；（2）求不等式f（x）g（x）的解集19已知函数f（x）=，（0），其最小正周期为（1）求f（x）的表达式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+m=0在区间上有且只有一个实数解，求实数m的取值范围20已知函数f（x）=（a1）（axax）（0a1）（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）用定义证明f（x）为r上的增函数；（3）若f（2at2a2a）+f（6at1）0对任意恒成立，求a的取值范围21已知函数f（x）=4sin2（+）sinx+（cosx+sinx）（cosxsinx）1（1）化简f（x）；（2）常数0，若函数y=f（x）在区间上是增函数，求的取值范围；（3）若函数g（x）=在的最大值为2，求实数a的值22定义在r上的函数f（x）满足：f（x+y）+f（xy）=2f（x）cosy；（1）求的值；（2）若函数g（x）=，求函数g（x）的最大值2015-2016学年重庆一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置1已知集合a=2，3，4，b=2，4，6，则ab=（）a2b2，4c2， 4，6d2，3，4，6【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；集合【分析】由a与b，求出两集合的交集即可【解答】解：a=2，3，4，b=2，4，6，ab=2，4，故选：b【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知扇形的中心角为，半径为2，则其面积为（）abcd【考点】扇形面积公式【专题】计算题；三角函数的求值【分析】利用扇形的面积计算公式s=r2即可得出【解答】解：此扇形的面积s=lr=r2=22=故选：d【点评】本题主要考查了扇形面积公式的应用，熟练掌握扇形的面积计算公式是解题的关键3已知，则=（）abcd【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值【解答】解：已知，则=12tan2=1=，故选：a【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题4三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）aacbbabccbacdbca【考点】指数函数单调性的应用【专题】计算题【分析】将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零最后三者得到结论【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.30，由指数函数的性质可知：0a1，c1bac故选c【点评】本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质5已知在映射f下，（x，y）的象是（x+y，xy），其中xr，yr则元素（3，1）的原象为（）a（1，2）b（2，1）c（1，2）d（2，1）【考点】映射【专题】方程思想；对应思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据映射的定义进行方程关系进行求解即可【解答】解：在映射f下，（x，y）的象是（x+y，xy），由得，即元素（3，1）的原象为（2，1），故选：b【点评】本题主要考查映射的应用，根据映射关系建立方程组是解决本题的关键6已知函数y=2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）abcd【考点】正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式【解答】解：根据函数y=2sin（x+）（0，|）的部分图象，可得=，求得=再根据函数的图象经过点（0，1），可得2sin=1，即 sin=，=，故函数的解析式为y=2sin（+），故选：c【点评】本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出a，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题7已知幂函数f（x）=xm1（mz，其中z为整数集）是奇函数则“m=4”是“f（x）在（0，+）上为单调递增函数”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】“m=4”“f（x）在（0，+）上为单调递增函数”，“f（x）在（0，+）上为单调递增函数”“m1是正奇数”【解答】解：幂函数f（x）=xm1（mz，其中z为整数集）是奇函数，m1是奇数，m=4时，f（x）=x3，此时f（x）在（0，+）上为单调递增函数，当f（x）=xm1在（0，+）上为单调递增函数时，m1是正奇数，“m=4”是“f（x）在（0，+）上为单调递增函数”的充分不必要条件故选：a【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件、不充分不必要条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用8函数x+sinx2在区间上的零点个数为（）a4b3c2d1【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质【分析】易知函数x+sinx2在区间上连续且单调递增，从而判断【解答】解：函数x+sinx2在区间上连续且单调递增，又f（）=+sin2=0，函数x+sinx2在区间上的零点个数为1，故选：d【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及函数的零点的定义9已知f（x）是定义在r上的偶函数，对任意xr都有f（x+4）=f（x）+2f（2），且f（0）=3，则f（8）的值为（）a1b2c3d4【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用【分析】利用抽象函数的关系式，结合函数奇偶性的性质，利用赋值法进行求解即可【解答】解：f（x）是定义在r上的偶函数，对任意xr都有f（x+4）=f（x）+2f（2），令x=2得f（2+4）=f（2）+2f（2），即f（2）=f（2）+2f（2），得f（2）=0，即f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（8）=f（8+4）=f（4）=f（4+4）=f（0）=3，故选：c【点评】本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断f（2）=0，以及求出函数的周期是解决本题的关键10已知函数f（x）=acos（x+）（a0，0）的图象与直线y=m（am0）的三个相邻交点的横坐标分别是3，5，9，则f（x）的单调递增区间是（）a6k+1，6k+4，kzb6k2，6k+1，kzc6k+1，6k+4，kzd6k2，6k+1，kz【考点】余弦函数的图象【专题】转化思想；分析法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，余弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间【解答】解：函数f（x）=acos（x+）（a0，0）的图象与直线y=m（am0）的三个相邻交点的横坐标分别是3，5，9，可得余弦函数的图象的两个相邻的对称轴方程为 x=4，x=7，f（x）的一个单调递增区间是4，7，结合所给的选项，故选：b【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，余弦函数的单调性，属于基础题11函数f（x）=|x22x1|，设ab1且f（a）=f（b），则（ab）（a+b2）的取值范围是（）a（0，4）b0，4）c1，3）d（1，3）【考点】分段函数的应用【专题】综合题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】作出函数f（x）的图象，由ab1，且f（a）=f（b）可得 （a1）2+（b1）2=4设a1=2cos，b1=2sin，（0，），利用换元法结合三角函数的定义域和值域关系即可求得（ab）（a+b2）的取值范围【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图：可得f（x）=|x22x1|的图象关于直线x=1对称，且f（1）=f（1+）=0，f（3）=f（1）=f（1）=2，由ab1，且f（a）=f（b），则a1+，1b1+得a22a1=（b22b1），整理得 （a1）2+（b1）2=4设a1=2cos，b1=2sin，（0，），则a=2cos+1，b=2sin+1，（0，），则（ab）（a+b2）=（2cos2sin）（2cos+2sin+22）=（2cos2sin）（2cos+2sin）=4cos24sin2=4cos2，（0，），2（0，），则cos2（0，1），则4cos2（0，4），故选：a【点评】本题主要考查了二次函数的性质，同时考查了分析问题的能力，计算能力，利用换元法转化为三角函数关系是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度12已知正实数m，n，设a=m+n，b=若以a，b为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c，且c满足c2=kmn，则实数k的取值范围为（）a（1，6）b（2，36）c（4，20）d（4，36）【考点】两点间距离公式的应用【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】由基本不等式得a=m+n，b=，由余弦定理得c2=a2+b22accosc，由此能求出实数k的取值范围【解答】解：正实数m，n，a=m+n，b=，其第三条边长为c，且c满足c2=kmn，c2=a2+b22accosc4mn+16mn16mncosc，1cosc1，4kmnc236mn，实数k的取值范围为（4，36）故选：d【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意基本不等式和余弦定理的合理运用二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）13则f（f（2）的值为2【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值【专题】计算题【分析】本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（221）=12，故有f（1）=2e11=2，即f（f（2）=f（1）=2e11=2，故答案为 2【点评】本题的考点分段函数，考查复合函数求值，由于对应法则是分段型的，故求解时应根据自变量的范围选择合适的解析式，此是分段函数求值的特点14已知，则（1+tana）（1+tanb）=2【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题【分析】根据正切的两角和公式，利用可求得tana+tanb+tanatanb的值，代入（1+tana）（1+tanb）答案可得【解答】解：，tan（a+b）=tan45=1tana+tanb+tanatanb=1（1+tana）（1+tanb）=1+tana+tanb+tanatanb=2故答案为2【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数注意对两角和与差公式的变形利用15的值等于【考点】三角函数中的恒等变换应用【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值【分析】切化弦，利用差角的正弦公式，即可得出结论【解答】解： =故答案为：【点评】本题考查差角的正弦公式，考查学生的技术能力，属于中档题16已知函数y=f（x）的定义域是r，函数g（x）=f（x+5）+f（1x），若方程g（x）=0有且仅有7个不同的实数解，则这7个实数解之和为21【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】根据条件得到函数f（x）关于点（3，0）对称，利用函数对称性进行求解即可【解答】解：由g（x）=f（x+5）+f（1x）=0得f（x+5）=f（1x），则f（x+6）=f（x），即f（x+3）=f（3x），即函数关于点（3，0）对称，方程g（x）=0有且仅有7个不同的实数解，其中有一个根为x=3，其余6个根分别关于（3，0）对称，设对称的两个根为a，b，则=3，则a+b=6，则6个对称的根之和为36=18，则这7个实数解之和为18+3=21，故答案为：21【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为判断函数f（x）的对称性是解决本题的关键综合性较强三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17（1）求值：（其中e为自然对数的底数）；（2）已知cos=，求cos的值【考点】两角和与差的余弦函数；对数的运算性质【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值【分析】（1）由条件利用对数的运算性质求得要求式子的值（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin和cos（+）的值，再利用两角和差的余弦公式求得cos=cos（+）的值【解答】解：（1）=lg10+1+=（2），又，而，于是cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=，故【点评】本题主要考查对数的运算性质，同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式，属于基础题18已知函数，g（x）=log2（2x2）（1）求f（x）的定义域；（2）求不等式f（x）g（x）的解集【考点】对数函数的图像与性质【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）解不等式x2x0得出f（x）的定义域；（2）根据对数函数的单调性得出x2x2x20，解出即可【解答】解：（1）由f（x）有意义得x2x0，解得x0或x1，所以f（x）的定义域为x|x0或x1（2）f（x）g（x），即log2（x2x）log2（2x2），x2x2x20，解得x2不等式的解集为x|x2【点评】本题考查了对数函数的定义域，对数函数单调性的应用，属于中档题19已知函数f（x）=，（0），其最小正周期为（1）求f（x）的表达式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+m=0在区间上有且只有一个实数解，求实数m的取值范围【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=，由题意及周期公式可求的值，即可得解（2）由函数y=asin（x+）的图象变换规律可得g（x）=sinx，在区间上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=m在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可解得实数m的取值范围【解答】解：（1）=，由题意知f（x）的最小正周期，所以=2，所以（2）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到y=sin4x的图象；再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象，所以g（x）=sinx，g（x）+m=0在区间上有且只有一个实数解，即函数y=g（x）与y=m在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知，解得，所以实数m的取值范围是【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合能力，属于中档题20已知函数f（x）=（a1）（axax）（0a1）（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）用定义证明f（x）为r上的增函数；（3）若f（2at2a2a）+f（6at1）0对任意恒成立，求a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）求出f（x），比较f（x）与f（x）的关系得出结论；（2）设x1、x2r，且x1x2，化简f（x1）f（x2）判断符号，（3）根据f（x）的单调性和奇偶性列出一元二次不等式，求出一元二次函数在0，上的最大值，令最大值小于0解出a的范围【解答】解：（1）f（x）的定义域为r，f（x）=（a1）（axax）=f（x），f（x）为奇函数（2）设x1、x2r，且x1x2，则=，0a1，x1x2，a10，f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2），f（x）为r上的增函数（3）f（2at2a2a）+f（6at1）0，f（2at2a2a）f（6at1）=f（16at），2at2a2a16at，即2at2+6ata2a10令g（t）=2at2+6ata2a1（0a1），则g（t）的图象开口向上，对称轴为t=g（t）在0，上是增函数，gmax（t）=g（）=a2+1f（2at2a2a）+f（6at1）0对任意恒成立，a2+10，解得0aa的取值范围是（0，【点评】本题考查了函数奇偶性，单调性的判断，一元二次函数的最值，函数恒成立问题，是中档题21已知函数f（x）=4sin2（+）sinx+（cosx+sinx）（cosxsinx）1（1）化简f（x）；（2）常数0，若函数y=f（x）在区间上是增函数，求的取值范围；（3）若函数g（x）=在的最大值为2，求实数a的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数与方程的