第九单元----二重积分.doc

第九单元 二重积分一、概念与性质 1、定义：设二元函数z=f(x,y)在平面有界闭区域D上有定义，将D任意分成n个小区域第i个小区域的面积也记为在每个小区域上任取一点Pi(xi,yi),当小区域的最大直径时，存在，且极限值与区域D的分法和点Pi(xi,yi)的取法无关，则称这个极限值为f(x,y)在D上的二重积分，记为 2、几何意义：以z=f(x,y)为曲顶，D为底，母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 3、物理意义：D为平面薄片，为点（x,y）处的密度时，为平面薄片的质量。 4、二重积分存在定理：如果f(x,y)在有界闭区域D上连续，则存在。 5、基本性质：设f(x,y)在有界闭区域D上可积，则有： 在D上，若f(x,y)=1，且D的面积为，则有 如果可以用有限条曲线将D分成两个区域D1，D2，则 若在D上有f(x,y)g(x,y),则有 （估值定理）若M,m分别是f(x,y)在D上的最大值和最小值，且为D的面积，则有m M （中值定理）设f(x,y)在有界闭区域D上连续，且为D的面积，则在D上至少存在一点（，）使得二、直角坐标系下二重积分的计算 1、基本思想：面积元素：d=dxdy, 将化为二次积分计算（累次积分法）。 2、选择积分次序 考虑两个因素：被积函数和积分区域。 原则：要使两个单积分都能积出来，且计算要较另一种积分次序简便。 关键问题：确定两个积分的积分限，借助于区域D的图形。 当选择先对y积分时，可以作平行于y轴的直线与区域D相交，再沿y轴的正方向看，所作出的直线与区域D先相交的边界线y1(x)(入口线)作为积分的下限，离开区域D的边界线y2(x)(出口线)作为积分的上限；而后对x积分时，取区域D中x的最小值，即D在x轴上的投影最小值作为积分的下限，取区域D中x的最大值，即D在x轴上的投影最大值作为积分的上限，即： 先对y积分：入口线y1(x)，出口线y1(x)，且y1(x) y1(x)，再对x积分，投影最小值a, 投影最大值b,且axb,二积分的计算公式：。 先对x积分：作平行于x轴的直线，其他分析方法类似前者。二积分的计算公式： 3、几种常见类型若D：axb, cyd,（矩形域）则：特别当f(x,y)=f1(x)f2(y)时，有： （化成两个定积分之积）若D：axb, 1（x）y2（x）,则：若D：cyd, 1（y）x2（y）,则：y=1(x)y=2(x) 若区域D由曲线y=1（x）与y=2（x）所围成的封闭区域，且1（x）2（x）皆为单值函数，应先求解方程组 若选定先对y积分，后对x积分，设方程组中解的最小值为x=a, 最大值为x=b,则二重积分可化为：若区域D由曲线x=1（y）与x=2（y）所围成的封闭区域，且1（y）2（y）皆为单值函数，应先求解方程组x=1(y)y=2(y) 若选定先对x积分，后对y积分，设方程组中解的最小值为y=c, 最大值为y=d,则二重积分可化为：说明：两种不同次序的积分的计算量往往不相同，正确选择积分次序，会减少计算工作量。注意事项：二重积分化为二次积分时，单积分的下限一定要小于上限；外层积分限一定为常量；内层积分限一般为外层积分变量的函数。3、交换积分次序对于给定积分次序，很难求出原函数或计算较复杂时，应考虑交换积分次序，一般步骤为：（1） 先依给定的积分次序确定积分区域D的不等式表达式，并画出D的草图；（2） 依D的图形确定交换次序后的积分限。4、二重积分的对称性 设f(x,y)在有界闭区域D上为连续函数，D可分成D1与D2两个子区域，则：（1）当D1与D2是关于y轴为对称区域时， f(x,y)为x的偶函数0 f(x,y)为x的奇函数 （1）当D1与D2是关于x轴为对称区域时， f(x,y)为y的偶函数0 f(x,y)为y的奇函数 例1 设D是由直线x=0,x=1,y=0,y=1围成的平面区域，则二重积分 A A、4 B、2 C、1 D、解：例2 设D：0x1, 0y2,则 解： 例3 设区域D是由x轴，y轴及直线x+y=1围成的三角形区域，计算解：法一：先对y积分 法二：先以x积分 例4 计算二重积分，其中D为y=x与y=x2所围成的区域。解：由y=x与y=x2解得两交点坐标为（0，0）与（1，1） 原式 或 原式例5 计算二重积分，其中D为曲线y=x2与x=y2所围成的区域。解：由y=x2与x=y2解得交点坐标为（0，0）与（1，1） 原式例6 计算二重积分，其中D为曲线y=1-x2与y=x2-1所围成的区域。解：由y=1-x2与y=x2-1解得交点坐标为（-1，0）与（1，0） 原式例7计算二重积分，其中D为y=x-4与y2=2x所围成的区域。解：由y=x-4与y2=2x解得交点坐标为（2，-2）与（8，4） 原式 说明：若先对y积分，入口曲线不唯一，因此要将区域D分成若干个子区域，计算麻烦。例8计算二重积分，其中D为x=y2+1,x=0,y=0,y=1所围成的区域。解：由x=y2+1与y=1解得交点坐标为（2，1） 由x=y2+1与y=0解得交点坐标为（1，0） 原式 说明：若先对y积分，入口曲线不唯一，因此要将区域D分成若干个子区域，计算麻烦。例9 计算二重积分，其中D为y=0,y=x,x=1所围成的区域。解：由y=x与x=1解得交点坐标为（1，1） 原式例10 计算二重积分，其中D为-1x1, 0y2,y=x2所围成的区域。解：原式 例11 用二重积分计算由曲线所围成的图形的面积。解：（被积为1时，二重积分的值即为面积） 由解得交点坐标为 例13 求平面x+y+z=1与三个坐标面所围立体的体积。解：确定D：由z=0即x+y=1确定。当y=0时x=1，当x=0时y=1 例14交换二次积分的积分次序。解：由所给积分限可知，积分区域D为： D：,0y1,所以所以交换积分次序后为： 例15 交换二次积分的积分次序。解：由所给积分限可知，积分区域D为： D：0x1,0y2-x,所以交换积分次序后为： 例16 交换二次积分积分次序。解：所给积分由两部分组成，设其区域分别为D1和D2，则： D1：-ax1,-xya,D2:,x2ya,所以交换积分次序后为： 例17 交换二次积分积分次序。解：所给积分由两部分组成，设其区域分别为D1和D2，则： D1：0x1,0yx2,D2:,0y2-x,所以交换积分次序后为： 例18 计算二次积分解：原式=例19 设区域D是xoy平面上以点A(1,1),B(-1,1)C(-1,-1)为顶点的三角形区域，区域D1是D在第一象限的部分，则：等于（ A ） （05、5） 解：原式 例20 交换二次积分的次序：= 解：由所给积分限，可知积分区域D为：-1x0,故例21 设f(x)为连续函数，且f(2)=1, (1)交换F（u）的积分次序 （2）求F/(2) (05、24)解：由所给积分限，可知积分区域D为：yxu,(1) (2) F/（u）=uf(u)-f(u), F/（2）=2f(2)-f(2)=1例22 设区域D是由y=x2与y=x所围的区域，则= C （05B、5）解：由y=x2与y=x解得交点坐标为（0，0）及（1，1）所以例23 计算y=x及x=2所围成的平面区域。 （05B、21）解：及y=x解得交点坐标为（0，0）及（1，1）所以例24 设对一切实数x有f(-x,y)=f(x,y),D=(x,y)x2+y21,y0, D1=(x,y)x2+y21,x0,y0,则等于（ C ） （06、6）解：区域关于y轴对称，f(x,y)为x的偶函数，故为2倍。例25 计算= ，其中D为以点O（0，0），A（1，0），B（0，2）为顶点的三角形区域。 （06、12）解：直线AB的方程为：，即y=-2x+2被积分函数为1时，值与底面积相等，SOAB=故=1。或a t=0例26 设g(t)= 其中Dt是由x=t,y=t以及坐标轴所围的正方形区域，函数f(x)连续（1） 求a的值，使得g(t)连续；（2）求g /(t) （06、24）a t=0解：因 故g(t)= （1） 因=0，故a=0（2） t=0时，t0时,，f(t) t00 t=0故g /(t)=例27 设ba0证明： （07、23）解：由所给积分限，可知积分区域D为：yxb, 证毕。例28 计算二重积分，其中D是由,y=x,x=2及y=0所围成的平面区域。 （08、19） 解：由,y=x解得x=1,y=1,所以三、极坐标系下二重积分的计算 1、极坐标系与直角坐标的关系 2、极坐标系下的二重积分 面积元素：dxdy=rdrd ,其中D/是将区域D的边界换为极坐标表示的区域。 3、极坐标系下二重积分计算的基本思想转化为二次单积分计算。设积分区域D的边界曲线与过极点的射线至多有两个交点，（1）若极点在区域外 D可表记为，1（）r2（）则（2）若极点在区域的边界上 D可表记为，0r（）则（3）若极点在区域内 D可表记为02，0r（）则 3、直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的基本步骤（1）将x=rcos, y=rsin代入被积函数（2）将区域D的边界线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限（3）将面积元素dxdy换成rdrd4、极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的基本步骤 将前者依反方向进行即得。说明：如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数为f(x2+y2)的形式，利用极坐标系下的计算方法方便。例1 计算二重积分，其中D为x2+y21.解：将x=rcos, y=rsin代入x2+y2=1得r=1, D可表示为02，0r1，于是 圆形域 例2求，其中D是由y=x,y=0,x2+y2=1在第一象限内所围成的区域。解：将x=rcos, y=rsin代入x2+y2=1得r=1, D可表示为0，0r1，于是 例3 计算，其中D为圆形域1x2+y24解：将x=rcos, y=rsin代入x2+y2=1及x2+y2=4解得r=1及r=2， D可表示为0，1r4，于是 例4计算，其中D由x2+y21，y0确定。解：法一：D可表示为-1x1,故 法二：D在极坐标系化为：0，0r1 例5计算二重积分，其中D=（x,y）。 (07、20) 解：D在极坐标系化为：0，0r2cos,故四、二重积分的应用 1、几何应用（曲顶柱体体积） 其中f(x,y)为曲顶柱体的高，即z= f(x,y),d为面积元素，即底面积。例1 计算以曲面z=x2+y2,柱面x2+y2=1及xoy坐标面所围立体体积。解：曲顶z=x2+y2（旋转抛物面）,柱面x2+y2=1在xoy平面的积分区域D为x2+y21，图形为曲顶柱体，所以 例2计算由曲面z=4-（x2+y2）与z=0所围立体体积。x2+y2=4z=0z=4-（