高考数学一轮复习 77 立体几何中的向量方法课件 理 新人教A版.ppt

第七节立体几何中的向量方法 最新考纲展示1 理解直线的方向向量及平面的法向量 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行和垂直关系 3 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 包括三垂线定理 4 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 一 直线的方向向量和平面的法向量1 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 或 则称此向量a为直线l的方向向量 2 平面的法向量 直线l 取直线l的方向向量a 则向量a叫作平面 的法向量 平行 重合 二 空间位置关系的向量表示 三 利用空间向量求空间角1 求两条异面直线所成的角设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 2 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是 如图 二面角的平面角的大小 1 通常取直线上两个特殊点构成直线的方向向量 当直线平行于x轴 y轴或z轴时 直线的方向向量可分别取i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 2 一个平面的法向量有无数多个 任意两个都是共线向量 3 若能找出平面的垂线 则垂线上取两个特殊点可构成平面的一个法向量 4 若通过解三元一次方程组 仅两个方程组成 求平面的法向量时 不妨取z 1 5 利用空间向量证明平行垂直关系的关键是确定直线的方向向量及平面的法向量 同时要结合图形根据要证的平行式垂直关系转化为直线方向向量与平面的法向量之间的关系 一 利用空间向量表示平行 垂直问题1 若直线l 平面 直线l的方向向量为s 平面 的法向量为n 则下列结论正确的是 a s 1 0 2 n 1 0 1 b s 1 0 1 n 1 2 1 c s 1 1 1 n 1 2 1 d s 1 1 1 n 2 2 2 解析 直线与平面平行 直线的方向向量和平面的法向量垂直 经检验只有选项c中s n 0 故选c 答案 c 2 设u 2 2 t v 6 4 4 分别是平面 的法向量 若 则t a 3b 4c 5d 6解析 则u v 2 6 2 4 4t 0 t 5 答案 c 二 空间向量求空间角3 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 若两直线的方向向量不平行 则两直线不平行 2 若两平面的法向量平行 则两平面平行 3 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 4 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角 答案 1 2 3 4 4 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角为 a 45 b 135c 45 或135 d 90 答案 c 5 若平面 的一个法向量为n 4 1 1 直线l的一个方向向量为a 2 3 3 则l与 所成角的正弦值为 例1如图所示 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四边形abcd中 b c 90 ab 4 cd 1 点m在pb上 pb 4pm pb与平面abcd成30 的角 1 求证 cm 平面pad 2 求证 平面pab 平面pad 利用空间向量证明平行 垂直 师生共研 规律方法 1 恰当建立坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 证明直线与平面平行 只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 3 证明直线与直线垂直 只需要证明两条直线的方向向量垂直 而直线与平面垂直 平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明 1 如图所示 在多面体abcdef中 四边形abcd是正方形 ef ab ef fb ab 2ef bfc 90 bf fc h是bc的中点 1 求证 fh 平面edb 2 求证 ac 平面edb 证明 四边形abcd为正方形 ab bc 又 ef ab ef bc 又 ef fb ef 平面bfc ef fh ab fh 又 bf fc h为bc的中点 fh bc fh 平面abc 例2 2013年高考江苏卷 如图 在直三棱柱a1b1c1 abc中 ab ac ab ac 2 a1a 4 点d是bc的中点 1 求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值 2 求平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值 利用空间向量求空间角 师生共研 规律方法求空间角的基本方法 1 建立适当的空间直角坐标系 便于坐标的求解 2 利用向量法求异面直线l1与l2所成的角 主要求出两直线的方向向量v1与v2 则cos cos v1 v2 3 利用向量法求斜线与平面所成的角的方法 分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 若是钝角 取其补角 取其余角就是斜线和平面所成的角 4 利用向量法求二面角的方法 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量 然后通过两个面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 分别在二面角的两个面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 例3 2015年福州调研 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd的中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 利用空间向量解决探索性问题 师生共研 规律方法立体几何开放性问题求解方法有以下两种 1 根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜