高考数学总复习 第6章 第7节 数学归纳法(理)课件 新人教A版.ppt

第七节数学归纳法 理 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 一 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 证明当n取第一个值n0 n0 n 时命题成立 归纳奠基 2 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 归纳递推 二 数学归纳法的框图表示 解析 边数最小的凸多边形是三角形 答案 c 答案 c 3 用数学归纳法证明命题 当n是正奇数时 xn yn能被x y整除 在第二步时 正确的证法是 a 假设n k k n 证明n k 1命题成立b 假设n k k是正奇数 证明n k 1命题成立c 假设n 2k 1 k n 证明n k 1命题成立d 假设n k k是正奇数 证明n k 2命题成立解析 a b c中 k 1不一定表示奇数 只有d中k为奇数 k 2为奇数 答案 d 5 如图 这是一个正六边形的序列 则第n个图形的边数为 解析 第 1 图共6条边 第 2 图共11条边 第 3 图共16条边 其边数构成等差数列 则第 n 图的边数为an 6 n 1 5 5n 1 答案 5n 1 1 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式问题 关键在于弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 难点在于寻求等式中n k和n k 1时之间的联系 2 用数学归纳法证明与正整数有关的等式时 通常采用的步骤为 1 找出f k 1 与f k 的递推关系 2 把归纳假设f k g k 代入 3 作恒等变形把f k 1 化为g k 1 特别提醒 运用数学归纳法需注意以下几点 n n0时 n0的取值 两个步骤 缺一不可 证n k 1成立时必须用上归纳假设 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 最后猜出从某个n值开始都成立的结论 常用数学归纳法证明 思路点拨 n取的第一个值是2 特别提醒 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时成立得n k 1时成立 主要方法有 放缩法 利用基本不等式 作差比较法等 在几何问题中 常有与n有关的几何证明 其中有交点个数 内角和 将平面分成若干部分等问题 这些问题可用数学归纳法证明 利用数学归纳法证明这些问题时 关键是 找项 即几何元素从k个变成k 1个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何图形来分析 若分析不出来 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 然后只需稍加说明即可 这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧 思路点拨 由n k推证n k 1时 搞清区集域变化了多少个 证明整除性问题的关键是 凑项 采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设获证 求证 3n 1 7n 1 n n 能被9整除 思路点拨 考虑到该问题与正整数n有关 故可用数学归纳法证明 自主证明 1 当n 1时 3n 1 7n 1 27 能被9整除 2 假设n k k 1 且k n 时命题成立 即 3k 1 7k 1能被9整除 那么当n k 1时 3 k 1 1 7k 1 1 3k 1 3 1 6 7k 1 3k 1 7k 1 3k 1 6 7k 21 7k 3k 1 7k 1 3k 6 7k 6 21 7k 由归纳假设知 以上三项均能被9整除 则由 1 2 可知 命题对任意n n 都成立 解 归纳 猜想 证明 题的关键环节 1 准确计算出前若干具体项 这是归纳 猜想的基础 2 通过观察 分析 比较 联想 猜想出一般结论 3 用数学归纳法证明 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 求a2 a3 a4及b2 b3 b4 由此猜测 an bn 的通项公式 并证明你的结论 思路点拨 根据已知条件求出a2 a3 a4及b2 b3 b4 并猜想出 an bn 的通项公式 然后利用数学归纳法证明 自主解答 由条件得2bn an an 1 a bnbn 1 由此可得a2 6 b2 9 a3 12 b3 16 a4 20 b4 25 猜想an n n 1 bn n 1 2 下面用数学归纳法进行证明 当n 1时 由上可得结论成立 假设当n k k n 时 结论成立 即ak k k 1 bk k 1 2 那么当n k 1时 活学活用 数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 题眼 归纳 猜想 证明 从特殊到一般的思维能力 心得 1 本题运用了从特殊到一般的探索 归纳 猜想及证明的思维方式去探索和发