高考数学一轮复习 10.1 抽样方法与总体估计课件 文 新人教A版.ppt

一 三种常用抽样方法 1 简单随机抽样 设一个总体的个数为n 如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本 且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等 就称这样的抽样为简单随机抽样 实现简单随机抽 10 1抽样方法与总体估计 样 常用抽签法和随机数表法 1 抽签法 先将总体中的所有个体 共有n个 编号 号码可从1到n 并把号码写在形状 大小相同的号签上 号签可用小球 卡片 纸条等制作 然后将这些号签放在同一个箱子里 进行均匀搅拌 抽签时每次从中抽一个号签 连续抽取n次 就得到一个容量为n的样本 适用范围 总体的个体数不多时 优点 抽签法简便易行 当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法 2 随机数表法 第一步 将总体中的个体编号 要保证位数一致 第二步 选定开始的数字 第三步 获取样本号码 使用随机数表法时注意 当随机地选定开始读的数后 读数的方向可以向右 也可以向左 向上 向下等等 在读数过程中 得到一串数字号码 在去掉其中不合要求和与前面重复的 号码后 其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码 用简单随机抽样 从含有n个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时 每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 2 系统抽样 当总体中的个数较多时 可将总体分成均衡的几 个部分 然后按照预先定出的规则 从每一部分抽取1个个体 得到所需要的样本 这种抽样叫做系统抽样 系统抽样的步骤可概括为 1 将总体中的个体编号 2 将整个的编号进行分段 为将整个的编号进行分段 要确定分段的间隔k 当是整数时 k 当不是整数时 通过从 总体中剔除一些个体使剩下的个体数n 能被n整除 这时k 3 确定起始的个体编号 在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号l 4 抽取样本 按照先确定的规则 常将l加上间隔k 抽取样本 l l k l 2k l n 1 k 3 分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时 常将总体分成几部分 然后按照各部分所占的比进行抽样 这种抽样叫做分层抽样 其中所分成的各部分叫做层 1 分层抽样是等概率抽样 它也是公平的 用分层抽样从个体数为n的总体中抽取一个容量为n的样本时 在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等 都等于 2 分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的 由于它充分利用了已知信息 因此利用它获取的样本更具有代表性 在实践中应用更为广泛 二 总体分布的估计 1 用样本的频率分布估计总体分布 1 样本的频率分布直方图 作频率分布直方图的步骤 因为频率分布直方图中横轴表示 组距 纵轴表示 频率 组距 所以 小长方形的面积 组距 频率 组距 频率 各小长方形的面积之和等于1 2 频率分布折线图 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点 就得频率分布折线图 3 总体密度曲线 随着样本容量的增加 作图时所分的组数增加 组距减小 相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑 曲线 即总体密度曲线 4 茎叶图 茎是指中间的一列数 叶是从茎的旁边生长出来的数 茎叶图表示数据有两个突出的优点 其一是统计图上没有原始数据的损失 所有信息都可以从这个茎叶图中得到 其二是在比赛时随时记录 方便记录与表示 在样本数据较少时 用茎叶图表示数据的效果较好 但当样本数据较多时 茎叶图就显得不太方便了 2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 平均数 一组数据的总和除以数据的个数所得的商就是平均数 它是频率分布直方图的 重心 2 中位数 如果将一组数据按从小到大或从大到小的顺序依次排列 当数据有奇数个时 处在中间的一个数就是这组数据 的中位数 当数据有偶数个时 处在中间的两个数的平均数就是这组数据的中位数 因此中位数不一定是样本数据中的数 在频率分布直方图中中位数左右两侧直方图的面积应该相等 由此在图中我们可以估计其近似值 3 众数 在样本数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数 若一组样本数据中有两个或几个数据出现的最多且次数一样 这些数据都是这组数据的众数 若一组数据中每个数据出现的一样多 则认为这组数据没有众数 4 方差 一组数据x1 x2 xn 则这组数据的方差为s2 xi 2 其中 xi 用它来衡量数据围绕平均数的波动情况 5 标准差 是方差的算术平方根s 它比方差多开一次方 它的度量单位与样本数据的相同 有时用它更加方便 1 某同学使用计算器求30个数据的平均数时 错将其中一个数据105输入为15 那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 a 3 5 b 3 c 3 d 0 5 解析 少输入90 3 平均数少3 求出的平均数减去实际的平均数等于 3 答案 b 2 观察新生婴儿的体重 其频率分布直方图如图所示 则新生婴儿体重在 2700 3000 的频率为 a 0 001 b 0 1 c 0 2 d 0 3 解析 0 001 300 0 3 故选d 答案 d 3 一个单位有职工800人 其中具有高级职称的160人 具有中级职称的320人 具有初级职称的200人 其余人员120人 为了解职工收入情况 决定采用分层抽样的方法 从中抽取容量为40的样本 则从上述各层中依次抽取的人数分别是 解析 因为 故各层中依次抽取的人数分别是 8 16 10 6 答案 8 16 10 6 题型1对抽样方法的考查 例1某公司在甲 乙 丙 丁四个地区分别有150个 120个 180个 150个销售点 公司为了调查产品销售的情况 需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本 记这项调查为 在丙地区中有20个特大型销售点 要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况 记这项调查为 则完成 这两项调查宜采用的抽样方法依次是 b 分层抽样法 简单随机抽样法 c 简单随机抽样法 分层抽样法 d 简单随机抽样法 简单随机抽样法 a 分层抽样法 分层抽样法 答案 b 点评 根据各种抽样的特点和适用范围来选择 分析 当总体中的个体差异较大时 宜采用分层抽样 当总体中个体较少时 宜采用随机抽样 解析 依据题意 第 项调查应采用分层抽样法 第 项调查应采用简单随机抽样法 故选b 变式训练1一个地区共有5个乡镇 人口3万人 其中人口比例为3 2 5 2 3 从3万人中抽取一个300人的样本 分析某种疾病的发病率 已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关 问应采取什么样的方法 并写出具体过程 解析 因为疾病与地理位置和水土均有关系 所以不同乡镇的发病情况差异明显 因而采用分层抽样的方法 具体操作过程如下 1 将3万人分为5层 其中一个乡镇为一层 2 按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本 300 60 人 300 40 人 300 100 人 300 40 人 300 60 人 因此各乡镇抽取人数分别为60人 40人 100人 40人 60人 3 将300人组到一起 即得到一个样本 题型2用样本估计总体 例2 1 为了解皮鞋各种尺码的销售情况 以某天销售的40双皮鞋为一个样本 把它们按尺码分成5组 第3组的频率为0 25 第1 2 4组的频数分别为6 7 9 若第5组表示的是40 42码的皮鞋 则售出的200双皮鞋中40 42码的皮鞋数为 a 50双 b 40双 c 20双 d 30双 2 右图是根据某校10位高一同学的身高 单位 cm 画出的茎叶图 其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字 右边的数字表示学生身高的个位数字 从图中可以得到这10位同学身高的中位数是 a 161cm b 162cm c 163cm d 164cm 分析 1 每一组的频率 求该组的频数 关键是得到该组的频率 2 理解茎叶图的结构和中位数的找法是解决本题的关键 解析 1 由题意知 第三组的频数为0 25 40 10 则第五组的频数为40 6 7 10 9 8 第五组的频率为 0 2 那么200双皮鞋中40 42码的皮鞋数为 200 0 2 40 双 故答案为b 2 由给定的茎叶图可知 这10位同学身高的中位数为 162cm 答案 1 b 2 b 点评 1 要明确频数分布表中的频数之和等于样本容量 各组中的频率之和等于1 2 本题容易错选a或c 由于共有10个数字 因此其中位数为中间两个数 第5 6个数 的平均数 变式训练2 1 对某城市一年 365天 的空气质量进行监测 获得了一些空气质量指数aqi 为整数 按照区间 0 50 50 100 100 150 150 200 200 250 250 300 对数据进行分组 得到频率分布直方图如下图 则直方图中x的值为 参考数据 2 某校甲 乙两个班级各有5名编号为1 2 3 4 5的学生进行投篮练习 每人投10次 投中的次数如下表 则以上两组数据的方差中较小的一个方差为 解析 1 由图可知50 x 1 50 1 50 解得x 2 甲班的方差较小 数据的平均值均为7 故方差 答案 1 2 例3对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计 随机抽取m名学生作为样本 得到这m名学生参加社区服务的次数 根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下 题型3统计与概率的综合考查 2 若该校高一学生有360人 试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间 10 15 内的人数 3 在所取样本中 从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人 求至多有一人参加社区服务次数在区间 20 25 内的概率 分析 由频率 和频率之和为1来突破该题 对古典概型要列举出试验结果后求概率 1 求出表中m p及图中a的值 解析 1 由分组 10 15 内的频数是10 频率是0 25知 0 25 所以m 40 因为频数之和为40 所以10 25 m 2 40 m 3 p 因为a是对应分组 15 20 的频率与组距的商 所以a 0 125 2 因为该校高一学生有360人 分组 10 15 内的频率是0 25 所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为90人 3 这个样本中参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3 2 5人 设在区间 20 25 内的人为a1 a2 a3 在区间 25 30 内的人为b1 b2 则任选2人共有 a1 a2 a1 a3 a1 b1 a1 b2 a2 a3 a2 b1 a2 b2 a3 b1 a3 b2 b1 b2 10种情况 而两人都在 20 25 内共有 a1 a2 a1 a3 a2 a3 3种 则至多有一人参加社区服务次数在区间 20 25 内的概率p 1 点评 频率估计总体中 频率分布表和频率分布直方图起了关键的作用 要注意所有频率之和为1及频率概念的应用 变式训练3某校在参加zsbl 动感地带 第五届中学生篮球联赛竞赛前 欲再从甲 乙两人中挑选一人参赛 已知赛前甲 乙最近参加的六场比赛得分记录如下 学生参加合适 请说明理由 3 若将乙同学的6次成绩写在6个完全相同的标签上 并将这6个标签放在盒子中 则从中摸出两个标签 至少有一个标签上写的是不小于90的数字的概率是多少 1 用茎叶图表示这两组数据 并写出乙组数据的中位数 2 现要从甲 乙二人中选派一人参加比赛 你认为选派哪位 解析 1 茎叶图如下 乙的中位数为85 5 2 派甲比较合适 理由如下 两人的平均数都为85 方差分别为57 3和66 所以甲的成绩较稳定 派甲比较合适 3 从6张标签中摸出两个标签 共有15种结果 两张标签上写的数字都小于90分的事件有3种 所以p a 1 抽出的两张标签中至少有一个标签上写的是不小于90的数字的概率为0 8 1 常用的抽样方法及它们之间的联系和区别 2 不放回抽样和放回抽样 在抽样中 如果每次抽出个体后不再将它放回总体 称这样的抽样为不放回抽样 如果每次抽出个体后再将它放回总体 称这样的抽样为放回抽样 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样都是不放回抽样 3 样本频率分布直方图是考查热点 需注意频率分布直方图中横轴表示 组距 纵轴表示 频率 组距 所以 小长方形的面积 组距 频率 组距 频率 各小长方形的面积 之和等于1 对于平均数 众数 中位数 方差等要会求 并能理解其意义 例 12分 选择合适的抽样方法抽样 写出抽样过程 1 有30个篮球 其中甲厂生产的有21个 乙厂生产的有9个 抽取10个入样 2 有甲厂生产的300个篮球 抽取30个入样 解析 1 总体由差异明显的两个层次组成 需选用分层抽样法 2分 抽样方法 第一步 确定抽取个数 因为样本容量与总体的个数比为10 30 1 3 所以甲厂生产的应抽取 7 个 乙厂生产的应抽取 3 个 4分 第二步 用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个 乙厂生产的篮球3个 这些篮球便组成了我们要抽取的样本 6分 2 总体容量较大 样本容量也较大 宜用系统抽样法 8分 第一步 将300个篮球用随机方式编号 编号为000 001 002 299 并分成30段 9分 第二步 在第一段000 001 002 009这十个编号中用简单随机抽样法抽出一个 如 002 作为起始号码 11分 第三步 将编号为002 012 022 292的个体抽出 组成样本 12分 点评 1 本题考查的是抽样方法 要理解各种抽样方法的特征和适用范围 2 第 1 问有的考生以简单随机抽样的方法进行 其错误少了答题流程在于忽略了30个篮球来自于不同的工厂 其差异明显 3 注意提炼解答这类题目的一般程序 形成答题模板 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 要了解1200名学生对学校某项教改实验的意见 打算从中抽取一个容量为30的样本 考虑采用系统抽样 则分段的间隔k为 a 40 b 30 c 20 d 12 解析 k 40 答案 a 2 基础再现 有50个数 它们的平均数为45 若将其中的38和52这两个数舍去 则余下的数的平均数为 a 45 b 47 c 40 5 d 52 解析 45 答案 a 3 视角拓展 已知一组数据按从小到大的顺序排列 得到 1 0 4 x 7 14 中位数为5 则这组数据的平均数和方差分别为 a 5 24 b 5 24 c 4 25 d 4 25 解析 由中位数5 知 x 6 故这组数据的平均数 1 0 4 6 7 14 30 5 方差s2 1 5 2 0 5 2 4 5 2 6 5 2 7 5 2 14 5 2 148 24 答案 a 4 高度提升 将参加夏令营的600名学生编号为 001 002 600 采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本 且随机抽得的号码为003 这600名学生分住在三个营区 从001到300在第 营区 从301到495在第 营区 从496到600在第 营区 三个营区被抽中的人数依次为 a 26 16 8 b 25 17 8 c 25 16 9 d 24 17 9 解析 12 随机抽得的号码为003 知按系统抽样方法抽取的号码从小到大组成的数列的通项为12n 9 n n 由1 12n 9 300 解得1 n 25 知在第 营区抽25人 由301 12n 9 495 解得26 n 42 知在第 营区抽17人 那么在第 营区抽8人 答案 b 5 能力综合 某校为了解男生身高情况 以10 的比例进行抽样检查 测得身高情况的统计图如下 现从样本中身高在180 190cm之间的男生中任选2人 则至少有1人身高在185 190cm之间的概率为 a b c d 解析 由统计图可知 样本中身高在180 185cm之间的男生有4人 设其编号为a b c d 样本中身高在185 190cm之间的男生有2人 设其编号为e f 将所有情况列举出来可知 从上述6人中任取2人所有可能结果数为15 至少有1人身高在185 190cm之间的可能结果数为9 因此 所求概率p2 答案 a 6 基础再现 某校有a b两个数学兴趣班 其中a班有40人 b班有50人 现分析两个班的一次考试成绩 算得a班的平均成绩是90分 b班的平均成绩是81分 则该校数学兴趣班的平均成绩是分 解析 数学兴趣小组的平均分 85 答案 85 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 基础再现 某班甲 乙两组各有4名编号为1 2 3 4的学生进行投篮练习 投中的次数如下表 则以上两组数据中 发挥较稳定的组别的方差s2 解析 通过观察数据 甲组发挥比较稳定 所以 7 再利用方差公式s2 解得s2 答案 8 视角拓展 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示 则这组数据的中位数是 众数是 列起来 处在中间位置的一个 或是最中间两个数的平均数 故从茎叶图可以看出中位数是23 而众数是样本数据中出现次数最多的数 故众数也是23 答案 2323 解析 由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排 9 基础再现 下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量 单位 吨 的频率分布直方图 则图中x 解析 依题意及频率分布直方图知 0 02 0 1 x 0 37 0 39 1 故x 0 12 答案 0 12 10 基础再现 某科研机构的70名职工的月工资 以元为单位 如下 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 元 2 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平 谈谈你的看法 解析 1 平均数为 7771 元 中位数为6000 众数也为6000 1 求该机构职工月工资的平均数 中位数 众数 精确到 司中少数人的工资额与大多数的工资额差别较大 这样导致平均数与中位数偏差较大 所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平 2 中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平 因为该公 11 基础再现 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学 测量他们的身高 单位 cm 获得身高数据的茎叶图如下图 2 计算甲班的样本方差 解析 1 设甲班的平均身高为 乙班的平均身高为 由茎叶图可知 170 1 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 171 1 因此乙班平均身高高于甲班 2 甲班的样本方差为 158 170 2 162 170 2 163 170 2 168 170 2 168 170 2 170 170 2 171 170 2 179 170 2 179 170 2 182 170 2 57 2 12 能力综合 某校高一年级共有学生320人 为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间 指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间 情况 学校采用随机抽样的方法从高一学生中