2015届高考理科数学一轮-第六章不等式与推理证明复习题解6.2一元二次不等式及其解法

第2课时一元二次不等式及其解法1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图对应学生用书P95【梳理自测】1(教材改编)不等式x23x20的解集为()A(，2)(1，)B(2，1)C(，1)(2，) D(1，2)2不等式9x26x10的解集是()A. B.C. DR3设二次不等式ax2bx10的解集为，则ab的值为()A6 B5C6 D54(课本精选题)已知不等式x22xk210对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为_5不等式组的解集为_答案：1.D2.B3.C4(，)(，)5.(0，1)以上题目主要考查了以下内容：(1)一元二次不等式的解法将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)求出相应的一元二次方程的根利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集(2)三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集(，x1)(x2，)x|x ax2bxc0R(a0)的解集(x1，x2)【指点迷津】1一个技巧若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2bxc0(或0)(其中a0)的形式，其对应的方程ax2bxc0有两个不等实根x1，x2，(x1x2)(此时b24ac0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集2两点提醒(1)解含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏；(2)二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式对应学生用书P96考向一一元二次不等式解法(2013高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_【审题视点】先求出函数f(x)在R上的解析式，然后分段求解不等式f(x)x，即得不等式的解集【典例精讲】设x0，则x0，于是f(x)(x)24(x)x24x，由于f(x)是R上的奇函数，所以f(x)x24x，即f(x)x24x，且f(0)0，于是f(x)当x0时，由x24xx得x5；当x0时，由x24xx得5x0，故不等式的解集为(5，0)(5，)【答案】(5，0)(5，)【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式的符号；(3)若0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集1(2014北京市东城区高三检测)“x22x30成立”是“x3成立”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.由x22x30得x1或x3，所以x22x30是x3成立的必要不充分条件考向二一元二次不等式恒成立问题(2013高考重庆卷)设0，不等式8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，则的取值范围为_【审题视点】根据开口向上的二次函数定义域为R时函数值非负的条件(0)列式直接运算求解【典例精讲】由题意，要使8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，需64sin232cos 20，化简得cos 2.又0，02或22，解得0或.【答案】【类题通法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方(3)一元二次不等式恒成立的条件ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(xR)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(xR)2(2014广西南宁模拟)在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1对任意实数x成立，则()A1a1 B0a2Ca Da解析：选C.(xa)(xa)1对任意实数x成立，即(xa)(1xa)1对任意实数x成立x2xa2a10恒成立，14(a2a1)0，a.考向三二次函数与二次不等式综合问题(2013高考安徽卷)设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a0，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0，1)，当1ka1k时，求I长度的最小值【审题视点】(1)利用一元二次方程和一元二次不等式的关系，先求出解集(2)构造函数，利用导数求解函数的单调性和最值【典例精讲】(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2，故f(x)0的解集为x|x1x0)令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka0，d(a)单调递增；当1a1k时，d(a)0，d(a)单调递减所以当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或a1k处取得而1，故d(1k)d(1k)因此当a1k时，d(a)在区间1k，1k上取得最小值.【类题通法】二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系(1)一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解(2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系(3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况3(2012高考江苏卷)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_解析：f(x)x2axb的值域为0，)，0，b0，f(x)x2axa2.又f(x)c的解集为(m，m6)，m，m6是方程x2axc0的两根由一元二次方程根与系数的关系得解得c9.答案：9对应学生用书P97含参数的不等式的规范解答(12分)已知不等式ax23x64的解集为x|x1或xb(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb)xbc0.【审题视点】(1)由题意分析知x1，xb是方程ax23x20的根，可求a和b.(2)讨论根的大小确定解集【思维流程】利用根与系数的关系，求a和b.因式分解，化简不等式，确定方程根根据方程根的大小，确定解集形式总结分类讨论答案【规范解答】(1)因为不等式ax23x64的解集为x|x1或xb，所以x11与x2b是方程ax23x20的两个实数根，b1且a0.由根与系数的关系，得解得4分(2)不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)0.5分当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|2xc；7分当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|cx2；9分当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为.11分所以，当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|cx2；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为.12分【规范建议】(1)x1，xb是方程ax23x20的根可以代入求a和b.(2)分类讨论三种情况；不可把c2情况漏掉或归入到其中一种情况(3)讨论后要有总结答案1(2013高考湖北卷)已知全集为R，集合A，Bx|x26x80，则ARB()Ax|x0Bx|2x4Cx|0x4 Dx|0x2或x4解析：选C.先化简集合A，B，再借助数轴进行集合的交集运算Ax|x0，Bx|x26x80x|2x4，所以RBx|x4，于是ARBx|0x42(2013高考江西卷)下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是()A(，1) B(1，0)C(0，1) D(1，)解析：选A.由xx2可得即解得综合知x1.3(2013高考安徽卷)函数yln的定义域为_解析：列出函数有意义的限制条件，解不等式组要使函数有意义，需即即解得0x1，所以定义域为(0，1答案：(0，14(2013高考四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_解析：依据已知