高考数学一轮复习 11.1 合情推理与演绎推理课件 文 新人教A版.ppt

11 1合情推理与演绎推理 一 合情推理 1 推理的概念 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程 叫做推理 推理一般由两个部分组成 前提和结论 推理一般分为合情推理与演绎推理两类 2 合情推理 所谓的合情推理 就是合乎情理的推理 数学中常见的合情推理是归纳推理与类比推理 3 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某种特征 推出该事物的全部对象都具有这种特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 简而言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 归纳推理的一般步骤是 1 通过观察个别情况发现某些相同性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜 想 4 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征 推出另一类对象也具有这种特征的推理称为类比推理 简称类比 简而言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理的一般步骤是 1 找出两类事物之间的相似性或一致性 2 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明 确的命题 猜想 二 演绎推理 1 演绎推理 从一般性的结论出发 推出某个特殊情况下的结论 我们把这种推理称为演绎推理 也就是从一般到特殊的推理 2 三段论 三段论 是演绎推理的一般形式 包括 1 大前提 已知的一般性原理 2 小前提 所研究的特殊情况 3 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 三 合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理 从推理形式上看 归纳是由部分到整体 个别到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 而演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理所得的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待于进一步证明 而演绎推理 在大前提 小前提和推理形式都正确的前提下 得到的结论一定是正确的 1 已知数列 an 的前n项和sn n2 an n 2 而a1 1 通过计算a2 a3 a4 猜想an等于 a b c d s3 32 a3 1 a3 9a3 a3 s4 42 a4 1 a4 16a4 a4 可见a1 a2 a3 a4 由此猜想an 实际上 此题用a1 1代入选项验证最简单 答案 b 解析 s2 22 a2 1 a2 4a2 a2 2 若点p是正四面体a bcd的面bcd上一点 且p到另三个面的距离分别为h1 h2 h3 正四面体a bcd的高为h 则 a h h1 h2 h3 b h h1 h2 h3 c h h1 h2 h3 d h1 h2 h3与h的关系不确定 体 边对应面 类比可得 答案 b 解析 若点p是正三角形abc的边bc上一点 且p到另两边的距离分别为h1 h2 正三角形abc的高为h 由面积相等很快可以得到h h1 h2 由平面对应空间 正三角形对应正四面 3 下列是用类比法进行猜测的几个结论 由 a b ac bc 类比得到 a b ac bc 由 a b c ab ac 类比得到 sin a b sina sinb 由 a 0 b 0 c 0 类比得到 a 0 b 0 c 0 由 分数的分子 分母同乘一个非零的数 分数值不变 类比得到 分数的分子 分母同乘一个非零的式子 分数值 不变 其中 正确结论的个数为 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 当c 0时 类比的结论不正确 的类比结论是学生刚学习三角时经常出现的错误 类比的结论也是学生在学习对数时常犯的错误 这些是类比给我们带来的副作用 类比的结论是正确的 故答案为b 答案 b 题型1归纳推理型问题 例1函数f x 由下表定义 若a1 1 a2 5 an 2 f an n n 则a2013的值为 分析 我们可以利用a1 1 a2 5 an 2 f an n n 并结合表格中给出的函数信息求出a3 a4 a5 的值 从而观察出规律 然后求解 解析 a1 1 a2 5 an 2 f an n n a3 f a1 f 1 3 a4 f a2 f 5 1 a5 f a3 f 3 5 a6 f a4 f 1 3 由此可知数列 an 是以3为周期的数列 a2013 a671 3 a3 3 答案 3 点评 由题设条件归纳出an值的周期性是解决本题的关 键所在 变式训练1已知经过计算和验证有下列正确的不等式 2 2 2 根据以上不等式的规律 请写出一个对正实数m n都成立的条件不等式 答案 2 m n 20 m n均为正实数 解析 观察所给不等式可以发现 不等式左边两个根式的被开方数的和等于20 不等式的右边都是2 因此对正实数m n都成立的条件不等式是若m n均为正实数 则当m n 20时 有 2 题型2类比推理型问题 例2设等差数列 an 的前n项和为sn 则s4 s8 s4 s12 s8 s16 s12成等差数列 类比以上结论有 设等比数列 bn 的前n项积为tn 则t4 成等比数列 分析 由于等差数列与等比数列具有类比性 且等差数列与和差有关 等比数列与积商有关 因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列 类比到等比数列依次每4项的商仍成等比数列 解析 对于等比数列 通过类比 有等比数列 bn 的前n项积为tn 则t4 成等比数列 证明如下 设等比数列 bn 的公比为q 首项为b1 则t4 q6 t8 q1 2 7 q28 t12 q1 2 11 q66 q22 q38 从而 t4 2 故t4 成等比数列 进而同理可证t4 成等比数列 答案 点评 运用类比推理必须寻找合适的类比对象 要尽可能多找到两组对象的类似的属性 找到的越多 类比出的结论正确性就会越大 对于类比推理得到的结论并不一定是正确的 因而需要对所猜想的结论加以证明 变式训练2在平面几何里有勾股定理 设 abc的两边ab ac互相垂直 则ab2 ac2 bc2 拓展到空间 类比平面几何的勾股定理 研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系 可以得出的正确结论是 设三棱锥a bcd的三个侧面abc acd adb两两垂直 则 解析 如图作ae cd 连接be 则be cd cd2 be2 cd2 ab2 ae2 ac2 ad2 ab2 cd2 ae2 答案 题型3合情推理与演绎推理的综合运用 例3设f x 是定义在实数集r上的函数 且满足f x 2 f x 1 f x f 1 lg f 2 lg15 求f 2013 分析 由已知f 1 f 2 及递推关系 得f 3 f 4 f 5 f 8 观察其规律 猜想其满足的关系式 然后证明 再计算 f 5 f 4 f 3 lg15 f 6 f 5 f 4 1 f 7 f 6 f 5 lg15 1 f 8 f 7 f 6 lg15 可以猜想 从f 7 开始 又重复上述数值 即f x 6 f x 解析 由f 1 lg lg15 1 f 2 lg15 f 3 f 2 f 1 1 f 4 f 3 f 2 1 lg15 f x 2 f x 1 f x f x 6 f x 5 f x 4 f x 4 f x 3 f x 4 f x 3 f x 2 f x 1 f x 1 f x f x 1 f x 故f x 6 f x 下面我们给出证明 f 2013 f 335 6 3 f 3 1 点评 解决本题的关键是通过计算 归纳 从而发现其周期性的变化 观察 归纳 猜想 证明是数学中发现新规律的一种主要方法 是归纳推理的一种重要体现 变式训练3设函数f x 是定义域为r的函数 且f x 2 1 f x 1 f x 又f 2 2 求f 2014 解析 f x 2 且f 2 2 代入得f 4 f 6 2 f 8 f 10 2 可以猜想 当自变量为偶数时 从f 10 开始 重复上述数值 类比得到自变量为奇数时 同样成立 于是猜想 当x r时 恒有f x 8 f x 下面我们给出证明 f x 2 f x 4 则f x 8 f x 故f x 8 f x f 2014 f 251 8 6 f 6 2 1 求解归纳推理问题时 一定要认真分析基础问题的构成 比如 第一个 第二个 第三个等 对这些构成可以提出多个猜想 结合题设条件进行逐个验证 一一排除 最终产生答案 2 求解类比推理问题时 一定要认真分析两类问题的联系 在寻找联系的过程中 要多角度 全方位 既要看到表面 更要熟悉实质 在类比方法时 要注意方法的可行性 方法的使用条件有没有发生变化 在类比结论时 一定要注意到一个结论正确并不表示类比产生的结论一定正确 3 演绎推理的关键是 三段论 因此我们要注意两点 1 它要求我们每得出一个结论 必须有其依据 2 它要求我们正确使用 与 这里实际上是列举小前提与结论 大前提往往要做到我们心中有数 并非随心所欲 例设 0 且tan tan tan 求证 错解 tan tan 1 因为tan 1 所以 剖析 本题在运用演绎推理时出现逻辑漏洞而致误 因为tan 1 所以只能推出 k k z 至于 能否成立却无法断定 因此只能由题设条件进一步推出 正解 因为tan tan 1 所以 k k z 又因为0 tan 1 0 tan 1 0 tan 1 0 所以 0 0 即 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 类比加法中的 a b b a 在乘法中可以得到 a ab ba b a2 b2 c b2 a2 d a bc ab c 解析 由于 a b b a 是加法的交换律 由此可以得到乘法的交换律 答案 a 2 视角拓展 已知 2 3 4 若 6 a t均为正实数 根据以上等式 可推测a t的值 则a t等于 a 40 b 41 c 42 d 43 答案 b 解析 注意分数的分子 分母与整数的变化规律 2 分子2 分母3 22 1 3 分子3 分母8 32 1 4 分子4 分母15 42 1 故猜想a 6 t 62 1 35 再验证 6成立 a t 41 3 视角拓展 已知命题 若数列 an 是等比数列 且an 0 则数列bn n n 也是等比数列 若数列 an 是等差数列 可类比得关于等差数列的一个性质为 a bn 是等差数列 b bn 是等差数列 c bn 是等差数列 d bn 是等差数列 解析 设等差数列 an 的公差为d 则bn a1 n 1 所以数列 bn 是以a1为首项 为公差的等差数列 答案 a 4 高度提升 下面说法中 使用类比推理正确的是 a 直线a b c 若a b b c 则a c 类比推理出 向量a b c 若a b b c 则a c b 同一平面内 直线a b c 若a c b c 则a b 类比推理出 空间中 直线a b c 若a c b c 则a b c 实数a b 若方程x2 ax b 0有实数根 则a2 4b 类比推理出 复数a b 若方程x2 ax b 0有实数根 则a2 4b d 以点 0 0 为圆心 r为半径的圆的方程为x2 y2 r2 类比推理出 以点 0 0 0 为球心 r为半径的球的方程为x2 y2 z2 r2 解析 若向量b 0 则a c不正确 空间内 直线a与b可以相交 平行 异面 故b不正确 方程 ix0 1 i 0有实根 但a2 4b不成立 设点p x y z 是球面上的任一点 由 op r 得 r d正确 答案 d 5 能力综合 先阅读下面的文字 求的值时 采用了如下方法 令 x 则有x 两边同时平方 得1 x x2 解得x 负值已舍去 可用类比的方法 求得1 的值等于 a b c d 解析 令x 1 则有x 1 得2x2 2x 1 0 于是x 负值应舍去 答案 b 6 视角拓展 一个正方形被分成九个相等的小正方形 将中间的一个正方形挖去 如图 1 再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形 并将中间的一个挖去 得图 2 如此继续下去 则第n个图共挖去小正方形个 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 解析 第1个图挖去1个 第2个图挖去1 8个 第3个图挖去1 8 82个 第n个图挖去1 8 82 8n 1 个 答案 8n 1 7 视角拓展 将全体正整数排成一个三角形数阵 按照以上排列的规律 第n行 n 3 从左向右的第3个数为 前n 1行共用了1 2 3 n 1 个数 因此第n行 n 3 从左向右的第3个数是全体正整数中的第 3个 即为 答案 解析 本小题考查归纳推理和等差数列求和公式 8 高度提升 数列1 则是该数列的第项 解析 若该数列的第一项1写成 再将该数列分组 第一组一项 第二组两项 第三组三项 第四组四项 如此下去 增加 那么应位于第十六组中第八位 由1 2 15 8 128 即是该数列的第128项 答案 128 观察 每一组中每个分数的分子 分母之和均为该组序号加一 因此 应位于第十六组 再观察 每组的分子从1开始逐一 9 能力综合 对字母a b c d的任何一个排列定义映射f满足 f abcd 0 f bacd 1 f bcad 0 f bcda 1 f dacb 0 根据以上规律 则下列的四个等式中 1 f acbd 1 2 f cd ba 0 3 f bdca 0 4 f cadb 0 正确等式的序号为 了四次交换 于是我们可以猜测 进行奇次交换后 得 1 进行偶次交换后 得 0 故 1 3 是正确的 答案 1 3 解析 由 abcd 到 bacd 进行了一次交换 从 abcd 到 bcad 进行了两次交换 从 abcd 到 bcda 进行了三次交换 从 abcd 到 dacb 进行 10 基础再现 对于a b 0 请依据 a2 b2 ab ab a3 b3 a2b ab2 a4 b4 a3b ab3 归纳出an bn n为正整数 满足的不等式 并予以证明 解析 可归纳出an bn an 1b abn 1 证明如下 由a b 0 得a b 0 an 1 bn 1 0 那么an bn an 1b abn 1 an 1 a b bn 1 a b a b an 1 bn 1 0 故an bn an 1b abn 1 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 11 高度提升 先阅读下列不等式的证法 再解决后面的问题 已知a1 a2 r a1 a2 1 求证 证明 构造函数f x x a1 2 x a2 2