线代教案第1章行列式.doc

线性代数教案 第1章 行列式第1章 行列式（共4学时）一、教学目标及基本要求1了解逆序数的概念2掌握阶行列式的定义和行列式的性质3掌握行列式的按行（列）展开定理4利用行列式的性质和展开定理计算行列式的值二、教学内容与学时分配1预备知识2阶行列式的定义 （2学时）3行列式的性质4行列式的展开 （2学时）三、教学内容的重点及难点重点：利用行列式性质及展开计算行列式难点：行列式的计算技巧四、教学内容的深化和拓宽行列式的拉普拉斯展开定理及行列式在实际中的应用，或讲稿中部分结论推广五、思考题与习题思考题：见讲稿作业：2，（2），（4），（6）；3，（1），（3）；7，（1），（3），（5）六、教学方式与手段注意行列式定义的引入，应用启发式讲稿内容1.1 预备知识为什么要学习行列式呢？因为它是一个很重要的数学工具，在数学的各个分支中都经常用到，比如，用二阶行列式来解二元线性方程组，用三阶行列式来解三元方程线性组等；又如，已知平面的三点，则以这三点为顶点的三角形面积为下面行列式的绝对值：这一章主要引进行列式的概念并讨论行列式的性质，以及利用行列式的性来计算行列式的值。下面我们利用线性方程组的求解引入行列式的概念。设有二元线性方程组可用消元法来解该方程组。若，则如果我们定义，称为二阶行列式，横排称为行，纵排称为列，二阶行列式共有二行二列四个元素，其值等于主对角线元素之积与次对角线元素之积的差。这样一来，二元线性方程组的解可简单表示为其中为方程组未知数的系数所组成的行列式称为方程组的系数行列式； （用方程组的常数项代替系数行列式的第1列） （用方程组的常数项代替系数行列式的第2列）类似地，我们可用三阶行列式来解三元线性方程组：定义 且，则这里的是由三行三列组成的三阶行列式，每个为三阶行列式的一个元素，表示行标，表示列标，行、列的交叉点就是元素。前面我们定义了二阶、三阶行列式，要引入阶行列式，上面的方法显然是不行的，一方面，行列式的阶数增大，等式右边的项数也必增多，写出所有的项数较困难（阶行列式右边有项），也没有必要；另一方面，等式右端每一项的符号何时取正？何时取负？为此，首先介绍，全排列、逆序数等概念。把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列，简称排列。如3个不同元素的所有可能排列有：个不同元素的所有不同排列的个数，称为排列数，通常用表示，如上如求个自然数的全排列数在个不同排列中，规定某一个排列为标准顺序的排列，一般地，规定从小到大的排列为标准顺序（标准排列或称为自然排列）。如果在一个排列中，而在的前面，则说它们形成了一个逆序（或反序），一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数，用表示。如， ， 如，或又如逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。定理1 一个排列中，任意两个元素对换排列改变奇偶性。证明：分相邻对换与非相邻对换两种情形来证明。情形1：相邻对换易知经过相邻对换后，中的任何两个元素间的逆序个数没有变化，同时两个元素与元素所形成的逆序总个数也没发生变化， 因此只有两个元素本身之间的逆序的个数发生了变化。设，则当时，即不构成逆序，经过相邻对换后，构成逆序，所以。当时，即构成逆序，经过相邻对换后，不构成逆序，所以。即不论，还是，经过相邻对换后排列的逆序数不是增加1就是减少1，从而排列的奇偶性发生改变。情形2：非相邻对换设其对换过程为共经过了次相邻对换，所以前后两个排列的奇偶性相反。推论 奇排列调成标准排列的对换次为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。有了以的基本概念，我们可以给出阶行列式的定义。1.2 阶行列式的定义为了得到阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构，三阶行列式的定义为 （1）等式右端是6项（3！项）之和，其中3项为正，3项为负，每项都是位于不同行不同列的元素的乘积。（2）每一项各元素的行标排列成，因此右端的任意一项除符号外可写成的形式，其中为123的某个排列。显然也可把右端每一项的列标排成自然顺序123，而行标写为123的某个排列，即除符号外，行列式的每一项可写为。（3）行标排列的逆序数为0带正号项的列标排列为123 312 231逆序数 0 2 2带负号项的列标排列为321 132 213逆序数 3 1 1易知带正号的项其列标排列的逆序数为偶数 带负号的项其列标排列的逆序数为奇数如果我们假设的逆序数为，则三阶行列式可定义为仿此可得阶行列式的定义：定义 个数排列成行列的一个表，并按下式计值，其中，为的全排列，则称为阶行列式。当取2或3时即为前面所讲的二阶或三阶行列式，时，例 计算下列行列式的值1对角行列式在行列式中，不论，因此在中只有当不为0，其余各项均为0。故原式 2此题不为0的元素有这样的特点乘积中，只要有一个元素为0，则整个乘积为0，要使乘积不为0，则每一个元素均不为0，即满足原式3（主对角线以下的元素全为0，称为上三角行列式）解：据行列式的特点，对每个由于，从而不同行不同列的所有元素乘积中，不为0的项必须满足故4从行列式的构成可知，不为0的项，只有思考题：用行列式的定义说明：一个阶行列式中等于零的元素的个数，若比多，则此行列式必等于零。答：首先，阶行列式中共有个元素，而其中等于零的元素个数多于个，因而不等于零的元素的个数少于个，其次，组成每一项的个元素，是由这个元素中取出不在同一行同一列的个元素，因而这个元素中至少有一个为零，从而行列式为零。1.3 行列式的性质记，把此行列式列（或行）写成同序数的行（或列）得到一新行列式，称为的转置行列式，记为。由定义知记性质1 （行列式与其转置行列式相等）证明：性质2 互换行列式的两行或两列，行列式改变符号。证明：记，交换中的两行得到的行列式记为，则当时，；当时，按行列式的定义而其中，设为自然排列，故，从而推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式的值为0。性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用乘此行列式。推论1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式外面。推论2 行列式中某一行（列）的所有元素全为0，则此行列式等于0推论3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0性质4 行列式中如果某一行（列）的元素都是两数之和，则D等于下面两行列式的和性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（或列）对应元素上，行列式不变。（利用性质4）行列式的性质和推论主要用于化简行列式，使行列式中更多的元素变为0，或化为特殊的行列式（对角、上三角行列式）。我们知道，一个阶行列式展开后有项，这随的增大而迅速增大，而每一项又是个不同行不同列元素的乘积，并且还要考虑排列的奇偶性，因此求一个阶行列式的值，其运算量非常大，故常常利用行列式的性质来化简行列式。例 计算下列行列式171 注意：把行列式化为上三角行列式的方法与技巧。方法较固定，技巧灵活多变，特别留意行列式的特点。2 （各行或列加到第1行或列）行列式特点：各行或各列对应元素相加为同一个数。3（化为上三角行列式）4（各行加到第1行，再化为上三角行列式）567例 证明 利用性质41.4 行列式的展开一般来说，低阶行列式比高阶行列式容易计算，因此我们希望用低阶行列式来表示高阶行列式，这就是行列式的按行（列）展开。为此我们引进余子式和代数余子式的概念。在阶行列式中，把元素所在的第行与第列划去后留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作。而叫做的代数余子式。如定理 一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为0，则这个行列式等于与它的代余子式的乘积。即证明：先证特殊情形：位于第1行第1列。一般情形：为了利用特殊情形，作如下对换：，共对换了次，由行列式的性质得原行列式再作如下次对换：，变为特殊情形。定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（行列式按行展开）或（行列式按列展开）例 计算（将某一行或列尽量多的元素化为0，在按此行或列展开）推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0。即定理及推论可归结为：性质6 ，这里的表示行列的元素。类似有：，依次交换列变为前者，用前者的结论。证明：（1）当时，（按第一行展开）显然成立。（2）设当时成立；下证当时成立。例 设，试证这里显然不希望用求出每个的方法来证明它们之和为0设 注：行列式中某元素的代数余子式与该元素的大小无关，只与元素的位置有关或因为：注意所求的表达式，需取，而此行列式为零。例 计算解：按第1行展开例 设为阶行列式，试证明是一个等差数列，并由此求出解：按第1行展开即有，所以为一等差数列首项，例 证明范德蒙行列式 证明：数学归纳法当时，结论成立。设阶范德蒙行列式成立，即对于，从第开始，后行减前行的倍，并按第列展开，提取公因子，即阶范德蒙行列式。例 求线性方程组的解解：注意各行列式均为范德蒙行列式。例 设，则项的系数为 项的系数为 ，常数项为 解：按第一行展开。常数项为。例 设行列式，则 24解：因必为4次多项式，所以只需求中含的4次的项，这样的项为，故例 设，试证明方程有小