高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用练习 (2).doc

考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用 1.（2010湖北高考文科6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )（a） （b） （c）（d）【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案.【规范解答】选a.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有种不同选法.【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座，有1 800种不同选法.2.（2010湖北高考理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）（a）152 （b）126 （c）90 （d）54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：司机只安排1人；司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规范解答】选b.当司机只安排1人时，有=108(种)；当司机安排2人时有=18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）.【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、戊各有4种选择，因此共有（种）安排方案.3.（2010全国高考卷理科6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )（a）12种 （b）18种 （c）36种 （d）54种【命题立意】本题考查了排列、组合的知识.【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩余的2个信封分别放入2张卡片.【规范解答】选b.标号为1，2的卡片放法有a种，其他卡片放法有种，所以共有a=18（种）.【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.4.（2010全国卷理科6）某校开设a类选修课3门，b类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）(a) 30种 (b)35种 (c)42种 (d)48种【命题立意】本题主要考查考生能否利用所学的加法原理、乘法原理以及排列、组合知识灵活地处理有关计数问题，能否结合具体问题确定恰当的分类标准，突出考查分类讨论的数学思想.【思路点拨】解决本题可以采用直接法进行分类，也可采用间接法利用对立事件解决. 事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修a和全部选修b”.【规范解答】选a.方法一：可分以下2种情况:a类选修课选1门,b类选修课选2门,有种不同的选法；a类选修课选2门,b类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+（种）.方法二：事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修a和全部选修b”，两类课程中各至少选一门的种数为（种）.【方法技巧】排列与组合的应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主考虑，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数. 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法.5.（2010四川高考文科9）由1，2，3，4，5组成没有重复数字且1，2都不与5相邻的5位数的个数是（ ） (a)36 (b)32 (c)28 (d)24【命题立意】本题主要考查有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】先排5，再排1,2.分两类：5在两端，1,2有三个位置可选择；5不在两端，1，2有两个位置可选择.【规范解答】选a.如果5在两端，则1，2有三个位置可选，排法为（种）； 如果5不在两端，则1，2只有两个位置可选， 排法有（种），共计24+12=36（种）.【方法技巧】优先考虑特殊元素.复杂问题，分类求解.6.（2010湖北高考理科8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( ) (a)152 (b)126 (c)90 (d)54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：司机只安排1人；司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置.【规范解答】选b.当司机只安排1人时，有=108(种)；当司机安排2人时有=18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126(种).【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、戊各有4种选择，因此共有(种)安排方案.7.（2010重庆高考文科0）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（ ）(a)30种 (b)36种 (c)42种 (d)48种【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先考虑特殊元素甲、乙，再安排其他员工.【规范解答】选c.（1）若甲、乙安排在同一天值班，则只能在15日值班，其余四人的值班安排方法有（种）.（2）若甲、乙不在同一天值班，则甲只能在15日或16日值班，若甲在16日值班，则有（种）；若甲在15日值班，则乙只能在14日值班，共有（种），所以共有（种）.【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素和特殊位置进行讨论.8.（2010四川高考理科10）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）（a）72 （b）96 （c）108 （d）144【命题立意】本题主要考查了有限制条件的排列、组合问题，考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力. 【思路点拨】要得到偶数，第一步考虑，个位数字的选取，有3种选法；第二步考虑1，3相邻的问题，分两类：一类是1，3相邻，且都不与5相邻，另一类1,3,5均不相邻.【规范解答】选c.第一步： 由于是组成一个6位的偶数，那么尾数就应该是在2，4，6中选，有种方法.第二步：又因为1，3不与5相邻，将其分为两类：先将剩下的2个偶数排好有种排法，1和3捆绑，再与5插空有种插法，共有种排法；先将剩下的2个偶数排好有种排法，把 1，3，5插空，有种插法，共有种排法,故符合题意的所有偶数有（个）.【方法技巧】相邻问题，捆绑排列；不相邻问题，插空排列;复杂问题，分类讨论.9.（2010重庆高考理科9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）（a）504种 （b）960种 （c）1 008种 （d）1 108种 【命题立意】本题考查分类计数原理和分步计数原理，考查排列、组合的知识及其综合应用，考查分类讨论的思想方法.【思路点拨】先安排甲、乙，再考虑丙、丁，最后安排其他员工.【规范解答】选c.（1）若甲、乙安排在开始两天，则丁有4种选择，共有安排方案（种）.（2）若甲、乙安排在最后两天，则丙有4种选择，共有（种）.（3）若甲、乙安排在中间5天，选择两天有4种可能，若丙安排在10月7日，丁有4种安排法，共有（种）；若丙安排在中间5天的其他3天，则丁有3种安排法，共有（种），所以共有1 008（种）.【方法技巧】本题用到分类讨论的方法，按照特殊元素（甲、乙在一起，丙丁不在某位置）进行讨论；用到分类枚举法.例如，丙不在10月1日，则考虑在10月7日和10月2日至10月6日中三天的情形.10.（2010重庆高考文科）的展开式中的系数为（ ）（a）4 （b）6 （c）10 （d）20【命题立意】本题考查二项式定理的基础知识，考查二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解的能力，考查方程的思想.【思路点拨】根据二项展开式的通项公式求解或杨辉三角求解,还可以利用多项式的乘法公式将其展开.【规范解答】选b.方法一：，令，则，所以.方法二：杨辉三角中有一行的系数1 4 6 4 1，即为的展开式的系数，故x2的系数为6.方法三：.【方法技巧】（1）公式法.（2）杨辉三角、数表法.（3）应用多项式的乘法公式计算.11.（2010江西高考文科）展开式中项的系数为( )(a)(b)(c)(d) 【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用【思路点拨】先写出通项，再令的次数为3，求出的值，最后求系数.【规范解答】选d.其中可取0，1，2，10，令得项的系数为故选d.12. （2010江西高考理科）展开式中不含项的系数的和为( )（a） （b） （c） （d）【命题立意】本题主要考查二项式定理及通项公式的应用，还考查函数的求值，考查数学中常用的函数思想【思路点拨】先求所有项的系数和， 再求含项的系数，最后相减.【规范解答】选令得所有项的系数和，又通项，其中r可取0，1，2，8，令r=8得，所以不含项的系数的和为.13. （2010全国卷文科5）的展开式中的系数是（ ）(a)-6 (b)-3 (c)0 (d)3【命题立意】本题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.【思路点拨】利用二项展开式分别将两个因式展开，再应用多项式的乘法公式进行运算.【规范解答】选a.的系数是 .14.（2010全国卷理科5）的展开式中的系数是( )(a) -4 (b) -2(c) 2 (d) 4【命题立意】本题主要考查利用二项展开式通项求展开式中特定项，充分考查学生的运算能力.【思路点拨】利用展开式中第项将两式展开，确定的系数.【规范解答】选c. 的系数是.15.（2010江西高考文科14）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）.【命题立意】本题主要考查排列、组合的基本知识，考查排列、组合公式的应用，考查分类与分步计数原理【思路点拨】先确定分组数，再求分配方案种数.注意均分组问题.【规范解答】 由题意，共分组数为每种分组对应分配方案种，所以共(种).【答案】90【方法技巧】本题重点考查的是均分组问题，也是考生的易错点，解决这类问题一定要把握好是有序均分还是无序均分例如，共6人，分成2，2，1，1的四组中有两对均分组，也可表达为.这一点在今后解题中一定要引起特别注意.16.（2010江西高考理科）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种（用数字作答）【命题立意】本题主要考查排列、组合的基本知识，考查排列、组合公式的应用，考查分类与分步计数原理【思路点拨】先求分成4组的方法数，再确定分配方案种数.【规范解答】由题意可知，分成4组共有种分法，故不同的分配方案有=1 080(种). 【答案】1 080【方法技巧】本题重点考查的是均分组问题，也是考生的易错点，解决这类问题一定要把握好是有序均分还是无序均分.例如，本题中先分成的四组中有两对均分组，也可表达为.这一点在今后解题中一定要引起特别注意.17.（2010全国高考卷文科14）的展开式中，的系数是_.【命题立意】本题考查了二项式定理展开公式.【思路点拨】由二项式定理得通项，令的指数为3求出,从而确定的系数.【规范解答】 ，令得.所以的系数是84.【答案】18.（2010湖北高考文科11）在的展开中，的系数为_.【命题立意】本题主要考查二项展开式的特定项，同时考查考生的运算求解能力【思路点拨】由二项展开