大学物理课后题答案.pdf

习 题 十 一 11 1 如图所示 在点电荷 Q的电场中放置一导体球 由点电荷 Q到球 心的径矢为r 在静电平衡时 求导体球上的感应电荷在球心O点处产生 的场强E 解 静电平衡时 导体内任一点的场强为零 O点的场强是点电荷 Q及球面上感应电荷共同贡献的 由场强叠加原理有 11 2 一带电量为q 半径为r的金属球A 放在内外半径分别为和的不带 电金属球壳B内任意位置 如图所示 A与B之间及B外均为真空 若用 导线把A B连接 求球A的电势 解 以导线把球和球壳连接在一起后 电荷全部分布在球壳的外表 面上 或者说导体球的电荷与球壳内表面电荷中和 整个系统是一个等 势体 因此 11 3 如图所示 把一块原来不带电的金属板B移近一块已带有正电荷Q 的金属板A 平行放置 设两板面积都是S 板间距为d 忽略边缘效 应 求 1 板B不接地时 两板间的电势差 2 板B接地时 两板间的 电势差 解 1 由61页例1知 两带电平板导体相向面上电量大小相等符号 相反 而相背面上电量大小相等符号相同 因此当板B不接地 电荷分 布为 因而板间电场强度为 电势差为 2 板B接地时 在B板上感应出负电荷 电荷分布为 故板间电场强度为 电势差为 11 4 如图所示 有三块互相平行的导体板 上导体板到中间导体板的 距离为5 0cm 上导体板到下导体板的距离为8 0cm 外面的两块用导线 连接 原来不带电 中间一块两面上带电 其面电荷密度之和为 求每 块板的两个表面的面电荷密度各是多少 忽略边缘效应 解 因忽略边缘效应 可把三个导体板看作无限大平板 由例1知 1 2 忽略边缘效应 则导体板可看成无限大的 具有屏蔽性 在相邻导 体板之间的电场只由相对于二表面上电荷决定 因此上板和中板之间的 场强为 在中板和下板之间的场强为 上板和下板相连接 因此相邻两板的电势差相等 即 由此可得 3 设中板总面电荷密度为 则 4 由 3 4 两式可得 代入 1 2 两式中得到 在上板内任意点场强均为零 它是6个无限大均匀带电平面在该点产 生的场强叠加的结果 故有 考虑到 1 2 两式 则得到 5 上下两块导体板原来是不带电的 根据电荷守恒定律 二导体板表 面出现感应电荷后 总量仍为零 因此有 6 由 5 6 两式得到 1l 5 如图所示 三个无限长的同轴导体圆柱面A B和C 半径分别 为 圆柱面B上带电荷 A和C都接地 求B的内表面上线电荷密度 和外表面上线电荷密度之比值 解 由A C接地 由高斯定理知 因此 11 6 在一半径为 6 0cm的金属球A外面套有一个同心的金属球壳B 已 知球壳B的内 外半径分别为 8 0cm 10 0cm 设球A带有总电量 球 壳B带有总电量 求 1 球壳B内 外表面上各带有的电量以及球 A和 球壳B的电势 2 将球壳B接地然后断开 再把金属球A接地 求金属 球A和球壳B内 外表面上各带有的电量以及球A和球壳B的电势 解 在球壳B内作一包围内腔的高斯面 由于球壳内场强处处为零 此高斯面的电通量为零 根据高斯定律 球壳B的内表面上所带电量与 球A所带电量等值异号 所以 球壳B总电量为 因此其外表面上电量为 球A的电势为 因为 所以 2 将球壳B接地时 其电势变为零 因为与等量异号 它们在球壳B 产生的电势之和为零 所以球壳外表面不再有电荷 球壳B与地断开 后 再将球A接地时 电荷将重新分布 设球A 球壳B内表面 球壳B 外表面上电量分别为 因为 于是有 注意这时仍有 而且 于是得到 金属球A接地 电势 球壳B电势为 11 7 一厚度为d的无限大均匀带电导体板 单位面积上两表面带电量之 和为 试求离左表面的距离为a的点与离右表面的距离为b的点之间的电 势差 解 导体板内场强 由高斯定理可得板外场强为 故A B两点间电势差为 11 8 半径分别为和 的两个同心导体薄球壳 分别带电量和 今将内 球壳用细导线与远处的半径为r的导体球相连 导体球原来不带电 求 相连后导体球的带电量q 解 整个系统仍是孤立球形电容与内球到无限远 地 之间的电容之并 联 而后者是内球形电容与外球孤立球形电容串联所构成的 设小球上电量为q 则上电量 q 上电量为设三个电容上的电压各 为 由于 所以 因而移到小球上的电量为 11 9 一种单芯同轴电缆的中心为一半径 0 5cm的金属导线 其外层包 一层5的固体电介质 最外面的是金属包皮 当在此电缆上加一电压 后 介质中紧靠其内表面处的场强为紧靠其外表面处的场强的2 5倍 若介质最大安全场强 求此电缆能承受的最大电压是多少 解 由介质中的高斯定理 由 得 所以 因 得到 当 时电缆的电压最大 此时 由 所以 11 10 一平行板电容器面积为S 两板间距离为d 中间充满均匀电介 质 已知当一板带自由电荷Q时 整块电介质的总偶极矩为P 求电容 器中的电场强度 解 由 所以 1 而由 得 2 极化强度 3 由 1 2 3 得 11 11 两个同心的薄金属球壳 内 外壳半径分别为 0 02m和 0 06m 球壳间充满两层均匀电介质 它们的相对电容率6和3 两层电介质的分 界面半径R 0 04m 设内球壳带电量Q 求 1 D和E的分布 并画出D r E r曲线 2 两球壳之间的电势差 3 贴近内金属壳的电介质表面上的束缚面电荷密度 解 以与球壳同心的球面为高斯面 1 r r R R r r 2 3 内球壳表面电荷密度 11 12 一平行电容器的面积为S 板间距离为d 板间两半分别以相对电 容率为和的电介质充满 如图 求此电容器的电容 解一 设极板上总电量为Q 部分的电量为 部分的电量为 及 可求得 解二 可看作两电容器的并联 由于 所以 因此 11 13 盖革计数管由一根细金属丝和包围它的同轴导体圆筒组成 金属 丝直径为2 5mm 圆筒直径为25mm 管长100mm 试计算盖革计数管 的电容 设管体间为真空 可用无限长导体圆筒的场强公式计算电场 解 设盖革计数管所带电量为Q 管长为l 则线电荷密度 在金属丝与同轴圆筒之间的场强 设金属丝与圆筒的直径分别为和 则它们的电势差为 由此得盖革计数管的电容 11 14 为了测量电介质材料的相对电容率 将一块厚为 1 5cm的平板材 料慢慢地插进一电容器的距离为2 0cm的两平行板中间 在插入过程 中 电容器的电荷保持不变 插入之后 两板间的电势差减小到原来的 60 求电介质的相对电容率 解 设两平行板间距离为d 介质板厚度为 插入前电容器电势差 为U 插入后为 电容器上面电荷密度为 插入介质板前电容器内场强 电势差 插入介质板后 电容器内空气中场强仍为E 介质内场强 两板间的电势差 已知 因此有 解此方程得 11 15 半径为的导体球和内半径为的同心导体球壳构成球形电容器 其 间一半充满相对电容率为的各向同性均匀电介质 另一半为空气 如图 所示 试求该电容器的电容 解 相当于两个半球形电容器并联 对球形电容器 充电后两球间的电场强度 两球间的电压 电容 上半球 下半球 11 16 两块无限大平行导体板 相距为2d 都与地连结 在板间均匀充 满着正离子气体 与导体板绝缘 离子数密度为n 每个离子的带电量 为q 如果忽略气体中的极化现象 可以认为电场分布相对中心平面是 对称的 试求两板间的场强分布和电势分布 解 由于电荷分布相对于是对称的 作底面积为的高斯面 因此 当0 x d时 当 d x R 试求该导体组单位长度的 电容 解 可用叠加原理及高斯定理计算两导线间垂直连线上任意点P的场 强 如图所示 过P分别做两个长为L 与两条直导线共轴的闭合圆柱面 作为高斯面 根据高斯定理分别计算每条线上电荷产生的场强 所以 同理 根据叠加原理 P点总场强为 两条线间电压为 故单位长度电容 1l 19 一空气平行板电容器 极板A B的面积都是S 极板间距离为d 接上电源后 两板间的电压为U 现将一带电量为q 面积也是S而厚度 可忽略不计的导体片C平行地插入两极板的中间位置 试求导体片C的 电势 解 设平行板正板下表面带电量为Q 则导体片C的上表面带电 Q 其下表面带电Q q 下板上表面带电 由高斯定理得 又由两板间的电势为 所以 因而导体C的电势 11 20 一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成 内 外圆筒半径分别为 2cm 5cm 其间充满相对电容率为的各向同性均匀电介质 电容器 接在U 32V的电源上 如图所示 试求距离轴线R 3 5cm的点A处的电场 强度和点A与外筒间的电势差 解 由 因此 因此 所以 12 5 V 11 21 莱顿瓶是早期的一种电容器 它是一个内外贴有金属箔的圆柱形 玻璃瓶 设玻璃瓶的内径为 8cm 厚度为2mm 金属箔高40cm 玻璃 的相对电容率 5 0 击穿场强为1 5 若不考虑边缘效应 试计算 1 莱顿瓶的电容值 2 它最多能储存多少能量 解 由圆柱形电容器 由题意知场强最大为 所以 因此 11 22 置于球心的点电荷 Q被两同心球壳所包围 大球壳为导体 小球 壳为电介质 相对电容率为 球壳的尺寸如图所示 试求以下各量与场 点径矢r的关系 1 电位移D 2 电场强度E 3 极化强度P 4 束缚 电荷激发的电场强度 5 面电荷密度 6 电能密度 解 1 由有介质的高斯定理 2 由静电场的性能方程 得 3 由 得 4 在电介质内 所以 在其它位置 5 由束缚电荷 在电介质中 在导体中 自由电荷 6 由 得 11 23 一电容为C的空气平行板电容器 接端电压为U的电源充电后随 即断开 试求把两个极板间距增大至n倍时外力所作的功 解 断开电源后Q不变 电容由原来的 变为 外力所做的功即相当于系统静电能的改变量 由于Q不变 所以 因此 即外力做功 11 24 一电容器由两个同轴圆筒组成 内筒半径为a 外筒半径为b 长 都是 L 中间充满相对电容率为的各向同性均匀电介质 内 外筒分别 带有等量异号电荷 Q和 Q 设b a b 忽略边缘效应 求 1 圆柱形电容器的电容 2 电容器储存的能量 解 1 用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分布是 两极板间电位差为 所以 2 法二 11 25 两个相同的平行板电容器 它们的极板都是半径为 l0cm的圆形 板 板间距都是1 0mm 其中一个电容器两板间是空气 另一个两板间 是 26的酒精 把它们并联后充电到120V 求它们所储存的总电能 断 开电源 把它们带异号电荷的两板分别连在一起 求这时两者所储总电 能 解 两电容并联 存储电能 断电后 总电量 总电能 由于 因此 11 26 一同轴圆筒状电容器的内 外筒半径分别为a b 试证该电容器 所储电能的一半是在半径为的圆柱内部 解 设圆柱电容器中充以电容率为的各向同性均匀电介质 内外筒 分别带电荷 Q Q 长为L 用高斯定理可求得两圆柱导体间的电场分 布是 设总电能的一半在半径为r的圆柱体内 则 而 所以 即 因此 证毕 11 27 有一根单芯电缆 电缆芯的半径为 15mm 铅包皮的内半径为 50mm 其间充以相对电容率 2 3的各向同性均匀电介质 求当电缆芯 与铅包皮间的电压为 600V时 长为 l 1km的电缆中储存的静电能是多 少 解 由 得 因此 11 28 充满均匀电介质的平行板电容器 充电到板间电压为 U 1000V时 断开电源 若把电介质从两板间抽出 测得板间电压 3000V 求 1 电介质的相对电容率 2 若有电介质时的电容 抽出电介质后的电容为 多大 3 抽出电介质时外力所作的功 解 1 由 同理 断开后 所以 即 2 3 所以 11 29 如图所示 圆柱形电容器由半径的导线和与它同轴的导体圆筒构 成 圆筒半径 圆筒长为L 且L 在导线与圆筒间 r的区域为真空 设沿轴线单位长度上导 线