（通用版）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 分层限时跟踪练46.doc

分层限时跟踪练(四十六)(限时40分钟)一、选择题1(2015福建高考)若双曲线e：1的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线e上，且|pf1|3，则|pf2|等于()a11b9c5d3【解析】由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义有|pf1|pf2|3|pf2|2a6，|pf2|9.【答案】b2(2015湖南高考)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()a. b. c. d.【解析】由双曲线的渐近线过点(3，4)知，.又b2c2a2，即e21，e2，e.【答案】d3(2015天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为f(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()a.1 b.1 c.y21 dx21【解析】由双曲线的渐近线yx与圆(x2)2y23相切可知解得故所求双曲线的方程为x21.【答案】d4已知双曲线1的离心率为3，有一个焦点与抛物线yx2的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为()a2xy0bx2y0cx2y0d2xy0【解析】由抛物线方程知其焦点为(0,3)，因为双曲线有一个焦点与抛物线焦点相同，所以双曲线焦点在y轴上，所以n0，m0，渐近线方程为yx.又e3，19，所以双曲线的渐近线方程为y.【答案】b5(2015全国卷)已知a，b为双曲线e的左，右顶点，点m在e上，abm为等腰三角形，且顶角为120，则e的离心率为()a.b2 c.d.【解析】不妨取点m在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|bm|ab|2a，mbx18012060，m点的坐标为.m点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选d.【答案】d二、填空题6(2015北京高考)已知(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.【解析】由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c2.根据双曲线的标准方程，可知a21.又c2a2b2，所以b23.又b0，所以b.【答案】7(2015全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_【解析】双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.【答案】y218(2015湖南高考)设f是双曲线c：1的一个焦点若c上存在点p, 使线段pf的中点恰为其虚轴的一个端点，则c的离心率为_【解析】不妨设f(c,0)，pf的中点为(0，b)由中点坐标公式可知p(c,2b)又点p在双曲线上，则1，故5，即e.【答案】三、解答题9已知动圆m与圆c1：(x4)2y22外切，与圆c2：(x4)2y22内切，求动圆圆心m的轨迹方程【解】设动圆m的半径为r，则由已知|mc1|r，|mc2|r，|mc1|mc2|2，又c1(4,0)，c2(4,0)，|c1c2|8，2|c1c2|.根据双曲线定义知，点m的轨迹是以c1(4,0)、c2(4,0)为焦点的双曲线的右支又a，c4，b2c2a214，点m的轨迹方程是1(x)10(2015潍坊模拟)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点f2的直线l交双曲线于a、b两点，f1为左焦点(1)求双曲线的方程；(2)若f1ab的面积等于6，求直线l的方程【解】(1)依题意，b，2a1，c2，双曲线的方程为x21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由(1)知f2(2,0)易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：yk(x2)，由消元得(k23)x24k2x4k230，k时，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)，f1ab的面积sc|y1y2|2|k|x1x2|2|k|12|k|6.得k48k290，则k1.所以直线l方程为yx2或yx2.1若双曲线1(a0，b0)和椭圆1(mn0)有共同的焦点f1，f2(f1为左焦点，f2为右焦点)，p是两曲线的一个交点，则|pf1|pf2|()am2a2 b.c.(ma)dma【解析】不妨设点p是第一象限内的两曲线的交点，由椭圆定义知，|pf1|pf2|2，由双曲线的定义知，|pf1|pf2|2，求得|pf1|，|pf2|，所以|pf1|pf2|()()ma.【答案】d2(2015辽宁五校联考)已知f1，f2是双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点，以线段f1f2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点m，与双曲线交于点n(设点m，n均在第一象限)，当直线mf1与直线on平行时，双曲线的离心率取值为e0，则e0所在的区间为()a(1，)b(，)c(，2)d(2,3)【解析】由得n，同理得m(a，b)，又f1(c,0)，则kmf1，kon，mf1on，a(ac)b，化简得2a2cc32ac22a3，即2ee32e22，设f(e)e32e22e2，易知f(1)12220，f()24220，1e0.故选a.【答案】a3设f1，f2是双曲线c：1(a0，b0)的两个焦点，p是c上一点若|pf1|pf2|6a，且pf1f2的最小内角为30，则c的离心率为_【解析】设点p在双曲线右支上，f1为左焦点，f2为右焦点，则|pf1|pf2|2a.又|pf1|pf2|6a，|pf1|4a，|pf2|2a.在双曲线中ca，在pf1f2中|pf2|所对的角最小且为30.在pf1f2中，由余弦定理得|pf2|2|pf1|2|f1f2|22|pf1|f1f2|cos 30，即4a216a24c28ac，即3a2c22ac0.(ac)20，ca，即.e.【答案】4(2015日照模拟)已知f1，f2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过f2作垂直于x轴的直线交双曲线于点p和q，且f1pq为正三角形，则双曲线的渐近线方程为_【解析】设f2(c,0)(c0)，p(c，y0)，代入双曲线方程得y0，pqx轴，|pq|.在rtf1f2p中，pf1f230，|f1f2|pf2|，即2c.又c2a2b2，b22a2或2a23b2(舍去)a0，b0，.故所求双曲线的渐近线方程为yx.【答案】yx5已知双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，右焦点f到直线x的距离为.(1)求双曲线c的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线c相交于b、d两点已知a(1,0)，若1，证明：过a、b、d三点的圆与x轴相切【解】(1)依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线c的方程为x21.(2)证明：设直线l的方程为yxm(m0)，b(x1，x1m)，d(x2，x2m)，bd的中点为m，由得2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，m点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，adab，过a、b、d三点的圆以点m为圆心，bd为直径，点m的横坐标为1，max轴，过a、b、d三点的圆与x轴相切6(2014福建高考)已知双曲线e：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线e的离心率；(2)如图861，o为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于a，b两点(a，b分别在第一、四象限)，且oab的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线e？若存在，求出双曲线e的方程；若不存在，说明理由图861【解】(1)因为双曲线e的渐近线分别为y2x，y2x，所以2，所以2，故ca，从而双曲线e的离心率e.(2)法一：由(1)知，双曲线e的方程为1.设直线l与x轴相交于点c.当lx轴时，若直线l与双曲线e有且只有一个公共点，则|oc|a，|ab|4a.又因为oab的面积为8，所以|oc|ab|8，因此a4a8，解得a2，此时双曲线e的方程为1.若存在满足条件的双曲线e，则e的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线e：1也满足条件设直线l的方程为ykxm，依题意，得k2或k2，则c.记a(x1，y1)，b(x2，y2)由得y1，同理，得y2.由soab|oc|y1y2|，得8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线e有且只有一个公共点因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线e，且e的方程为1.法二：由(1)知，双曲线e的方程为1.设直线l的方程为xmyt，a(x1，y1)，b(x2，y2)依题意得m.由得y1，同理，得y2.设直线l与x轴相交于点c，则c(t,0)由soab|oc|y1y2|8，得|t|8.所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为4m210，直线l与双曲线e有且只有一个公共点当且仅当64m2t216(4m21)(t2a2)0，即4m2a2t2a20，即4m2a24(14m2)a20，即(14m2)(a24)0，所以a24，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线e，且e的方程为1.法三：当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为ykxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)依题意，得k2或k2.由得(4k2)x22kmxm20.因为4k20，0，所以x1x2.又因为oab的面积为8，所以|oa|ob|sinaob8，又易知sin aob，所以8，化简，得x1x24.所