（试题 试卷 真题）专题63 押轴的解答题专集（5）

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题63：押轴的解答题专集（5）三、解答题201. （2012辽宁沈阳12分）已知，如图，MON=60，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=，在MON的内部、AOB的外部有一点P，且AP=BP，APB=120.（1）求AP的长；（2）求证：点P在MON的平分线上；（3） 如图，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.当ABOP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围【答案】解： (1) 过点P作PQAB于点Q PA=PB，APB=120 ，AB=4，AQ=AB=4=2 ，APQ=APB=120=60。在RtAPQ中， sinAPQ=AP= 4。（2）证明：过点P分别作PSOM于点S， PTON于点T，OSP=OTP=90。在四边形OSPT中，SPT=360-OSP-SOT-OTP=360-90-60-90=120，APB=SPT=120。 APS=BPT。又ASP=BTP=90， AP=BP，APSBPT（AAS）。 PS=PT。点P在MON的平分线上。（3） 8+4 4+4t8+4。【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理【分析】（1）过点P作PQAB于点Q根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PSOM于点S，PTON于点T）构建全等三角形APSBPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在MON的平分线上。（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。当ABOP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；当ABOP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。202. （2012辽宁沈阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作OET=45，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=x2+mx+n的图象经过A，C两点.（1） 求此抛物线的函数表达式；（2） 求证：BEF=AOE；（3） 当EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得EPF的面积是EDG面积的（） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.【答案】解：（1）A （2， 0）， B （0， 2），OA=OB=2 。AB2=OA2+OB2=22+22=8。AB=2。OC=AB，OC=2， 即C （0， 2）。抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点，得，解得：。抛物线的表达式为y=x2x+2。（2）证明：OA=OB，AOB=90 ，BAO=ABO=45。 又BEO=BAO+AOE=45+AOE，BEO=OEF+BEF=45+BEF ，BEF=AOE。（3）当EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论当OE=OF时， OFE=OEF=45，在EOF中， EOF=180OEFOFE=1804545=90。又AOB90，则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立。如图， 当FE=FO时，EOF=OEF=45。在EOF中，EFO=180-OEF-EOF=180-45-45=90，AOF+EFO=90+90=180。EFAO。 BEF=BAO=45 。又 由 (2) 可知 ，ABO=45，BEF=ABO。BF=EF。EF=BF=OF=OB=21 。 E(1， 1)。如图， 当EO=EF时， 过点E作EHy轴于点H ，在AOE和BEF中，EAO=FBE， EO=EF， AOE=BEF， AOEBEF（AAS）。BE=AO=2。EHOB ，EHB=90。AOB=EHB。EHAO。 BEH=BAO=45。在RtBEH中， BEH=ABO=45 ，EH=BH=BEcos45=2=。OH=OBBH=22。 E(， 2)。综上所述， 当EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(1， 1)或E(， 2)。（4） P(0， 2)或P （1， 2）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）应用勾股定理求出点C的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法求出抛物线的函数表达式。（2）应用等腰直角三角形等边对等角的性质可证。（3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。（4）假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E(， 2)。如图所示，过点E作EHy轴于点H，则OH=FH=2。由OE=EF，易知点E为RtDOF斜边上的中点，即DE=EF。过点F作FNx轴，交PG于点N。易证EDGEFN，因此SEFN=SEDG。依题意，可得SEPF=（）SEDG=（）SEFN，PE：NE=。过点P作PMx轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2。FNEH，PT：ST=PE：NE=。PT=（）ST=（）（2）=32。PM=PT+TM=2，即点P的纵坐标为2。2=x2x+2，解得x1=0，x2=1。P点坐标为(0， 2)或（1， 2）。综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得EPF的面积是EDG面积的（）倍，点P的坐标为(0， 2)或（1， 2）。203. （2012辽宁铁岭12分）已知ABC是等边三角形（1）将ABC绕点A逆时针旋转角（0180），得到ADE，BD和EC所在直线相交于点O 如图a，当=20时，ABD与ACE是否全等？ （填“是”或“否”），BOE= 度；当ABC旋转到如图b所在位置时，求BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B和C，使AB=AB，AC=AC，连接BC，将ABC绕点A逆时针旋转角（0180），得到ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由【答案】解：（1）是； 120。由已知得：ABC和ADE是全等的等边三角形，AB=AD=AC=AE。ADE是由ABC绕点A旋转得到的，BAD=CAE=。BADCAE（SAS）。ADB=AEC。ADB+ABD+BAD=180，AEC+ABO+BAD=180。ABO+AEC+BAE+BOE=360，BAE=BAD+DAE，DAE+BOE=180。又DAE=60，BOE=120。（2）当030时，BOE =30，当30180时，BOE=120。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形和多边形内角和定理，等边三角形的性质。【分析】（1）ADE是由ABC绕点A旋转得到，ABC是等边三角形。AB=AD=AC=AE，BAD=CAE=20，在ABD与ACE中，AB=AC，BAD=CAE，AD=AE，ABDACE（SAS）。=20，ABD=AEC=（18020）=80。又BAE=+BAC=20+60=80，在四边形ABOE中，BOE=360808080=120。利用“SAS”证明BAD和CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得ADB=AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360推出BOE+DAE=180，再根据等边三角形的每一个角都是60得到DAE=60，从而得解。（2）如图，AB=AB，AC=AC，。BCBC。ABC是等边三角形，ABC是等边三角形。根据旋转变换的性质可得AD=AE，BAD=CAE。在ABD和ACE中，AB=AC，BAD=CAE，AD=AE，ABDACE（SAS）。ABD=ACE。BOC=180（OBC+OCB）=180（OBC+ACB+ACE）=180（OBC+ACB+ABD）=180（ACB+ABC）=180（60+60）=60。当030时，BOE=BOC=30，当30180时，BOE=180BOC=18060=120。204. （2012辽宁铁岭14分）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D.直线经过抛物线上一点B（2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F. （1）求m的值及该抛物线对应的解析式； （2）P是抛物线上的一点，若SADP=SADC,求出所有符合条件的点P的坐标； （3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由. 备用图【答案】解：（1）点B（2，m）在直线y=2x1上，m =2（2）1=3 。B（2，3）。又抛物线经过原点O，设抛物线的解析式为。点B（2，3），A（4，0）在抛物线上，解得：。设抛物线的解析式为。（2）P（x，y）是抛物线上的一点，。点C是直线y=2x1与y轴交点，C（0，1）。OC=1。若SADP=SADC， ，即。， 即或。解得：点P的坐标为 P1（，1），P2（，1），P3（2，1）。（3）结论：存在。当t1=，t2=6，t3=，t4=时，以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形。【考点】动点问题，二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，二次函数的性质，勾股定理，菱形的判定和性质。【分析】（1）由点B（2，m）在直线y=2x1上，将其代入即可求得m的值，从而得到点B的坐标，由点O，A，B在抛物线上，用待定系数法即可求得抛物线对应的解析式。（2）设，求得点C的坐标，由SADP=SADC和二者是同底等高的三角形，得，即，解之即可求得点P的坐标。（3）抛物线的解析式为，顶点E（2，1），对称轴为x=2。点F是直线y=2x1与对称轴x=2的交点，F（2，5），DF=5。又A（4，0），AE=。如图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形AEM1Q1。此时DM1=AE=，M1F=DFDEDM1=。t1=。菱形AEOM2。此时DM2=DE=1，M2F=DF+DM2=6。t2=6。菱形AEM3Q3。此时EM3=AE=，DM3=EM3DE=1。M3F=DM3+DF=（1）+5=。t3=。菱形AM4EQ4。此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AEM4Q4。易知AEDM4EH，即，得M4E=。DM4=M4EDE=1=。M4F=DM4+DF=+5=。t4=。综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、AE、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=，t2=6，t3=，t4=。205. （2012辽宁营口14分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F(1) 如图1，求证：AE=DF；(2) 如图2，若AB=2，过点M作 MGEF交线段BC于点G，判断GEF的形状，并说明理由；(3) 如图3，若AB=，过点M作 MGEF交线段BC的延长线于点G 直接写出线段AE长度的取值范围； 判断GEF的形状，并说明理由【答案】解：（1）在矩形ABCD中，EAM=FDM900，AME=FMD。AM=DM，AEMDFM（ASA）。AE=DF。（2）GEF是等腰直角三角形。理由如下：过点G作GHAD于H，A=B=AHG=90，四边形ABGH是矩形。 GH=AB=2。MGEF， GME=90。AMEGMH=90。AMEAEM=90，AEM=GMH。又AD=4，M是AD的中点，AM=2。AN=HG。AEMHMG（AAS）。ME=MG。EGM=45。由（1）得AEMDFM，ME=MF。又MGEF，GE=GF。EGF=2EGM =90。GEF是等腰直角三角形。 （3）AE。GEF是等边三角形。理由如下：过点G作GHAD交AD延长线于点H，A=B=AHG=90，四边形ABGH是矩形。GH=AB=2。MGEF， GME=90。AMEGMH=90。AMEAEM=90，AEM=GMH。又A=GHM=90，AEMHMG。在RtGME中，tanMEG=。MEG=600。由（1）得AEMDFMME=MF。又MGEF，GE=GF。GEF是等边三角形。【考点】矩形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等边三角形的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。【分析】（1）根据已知和矩形的性质由ASA得出AEMDFM，即可得到AE=DF。（2）GEF是等腰直角三角形。过点G作GHAD于H，由AAS证明AEMHMG得到ME=MG，从而EGM=45。由（1）AEMDFM得ME=MF。由MGEF得到GE=GF。从而证得EGF=2EGM =90。因此GEF是等腰直角三角形。另解：过点M作MHBC于H，得到AEMHGM。 过点G作GHAD于H，证出MGHFMD，证出CF=BG，CG=BE，证出BEGCGF。从而GEF是等腰直角三角形。（若E与B重合时，则G与C重合，GEF就是CBF，易知CBF是等腰直角三角形）。（3）如图，当点G与点C重合时， 由AD=4，M是AD的中点得MD=2；由AB=得DC=。 tanDMC=。DMC=600。AME=300。 。当点E与点B重合时，。线段AE长度的取值范围为AE。GEF是等边三角形。过点G作GHAD交AD延长线于点H，则一方面由证明AEMHMG可得。在RtGME中，应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得MEG=600。另一方面由（1）AEMDFM得ME=MF，又由MGEF根据线段垂直平分线的性质得GE=GF。从而得出GEF是等边三角形。206.（2012辽宁营口14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A，0)、B(0，3)、C（1，0）三点(1) 求抛物线的解析式和顶点D的坐标；(2) 如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转,与直线交于点N在直线DN上是否存在点M，使得MON=若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 点P、Q分别是抛物线和直线上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标【答案】解：（1）由题意把A(3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入得，解得 。抛物线的解析式是。，抛物线的顶点D的坐标为（1，4）。（2）存在。理由如下： 由旋转得EDF=60。在RtDEF中，EDF=60，DE=4， EF=DEtan60=4。OF=OE+EF=1+4。F点的坐标为（，0）。设过点D、F的直线解析式是，把D（1，4），F（，0）代入求得 。分两种情况：当点M在射线ND上时，MON=75，BON=45，MOB=MONBON=30。MOC=60。直线OM的解析式为。点M的坐标为方程组的解，解方程组得，。点M的坐标为（，）。 当点M在射线NF上时，不存在点M使得MON=75。MON=75，FON=45， FOM=MONFON=30。DFE=30。FOM=DFE。OMFN。不存在点M使得MON=75。综上所述，存在点M ，且点M的坐标为（，）。（3）有两种情况：如图，直角梯形OBPQ中，PQOB，OBP=90。OBP=AOB=90，PBOA。点P、B的纵坐标相同都是3。点P在抛物线上，把3代入抛物线的解析式，解得2，0（舍去）。由PQOB得到点P、Q的横坐标相同，都等于2，把2代入得2。所以Q点的坐标为（2，2）。如图，在直角梯形OBPQ中，PBOQ，BPQ=90。D(1，4)，B(0，3) ，DBOQ。PBOQ，点P在抛物线上，点P、D重合。EDF=EFD=45。EF=ED=4。OF=OE+EF=5。作QH轴于H，QOF=QFO=45，OQ=FQ。OH=OF=。Q点的横坐标。Q点在上，把代入得。Q点的坐标为（，）。综上所述，符合条件的点Q有两个,坐标分别为：（2，2），（，）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角梯形的判定。【分析】（1）用待定系数法，将A、B、C的坐标代入即可求得抛物线的解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标。 （2）分点M在射线ND上和点M在射线NF上两种情况讨论即可。 （3）分PQOB，OBP=90和PBOQ，BPQ=90两种情况讨论即可。207.（2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；（2）如图所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，ABCD，且SABCSACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由【答案】解：（1）6；无数。 （2）这个图形的一条面积等分线如图：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分即OO为这个图形的一条面积等分线。（3）四边形ABCD的面积等分线如图所示：理由如下：过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE。BEAC，ABC和AEC的公共边AC上的高也相等， SABC=SAEC。SACDSABC，面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线。【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；（3）过点B作BEAC交DC的延长线于点E，连接AE根据ABC和AEC的公共边AC上的高也相等推知SABC=SAEC；由“割补法”可以求得。208. （2012贵州贵阳12分）如图，二次函数y=x2x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M（1）若A（4，0），求二次函数的关系式；（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM的面积；（3）是否存在抛物线y=x2x+c，使得四边形AMBM为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）A（4，0）在二次函数y=x2x+c的图象上，（4）2（4）+c=0，解得c=12。二次函数的关系式为。（2），顶点M的坐标为（1，）。A（4，0），对称轴为x=1，点B的坐标为（6，0）。AB=6（4）=6+4=10。SABM=。顶点M关于x轴的对称点是M，S四边形AMBM=2SABM=2=125。（3）存在抛物线，使得四边形AMBM为正方形。理由如下：在y=x2x+c中，令y=0，则x2x+c=0，设点AB的坐标分别为A（x1，0）B（x2，0），则x1+x2=，x1x2=。点M的纵坐标为：。顶点M关于x轴的对称点是M，四边形AMBM为正方形，-，整理得，4c2+4c3=0，解得c1=，c2=。又抛物线与x轴有两个交点，=b24ac=（1）24c0，解得c。c的值为。存在抛物线，使得四边形AMBM为正方形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解一元二次方程，轴对称的性质，正方形的性质。【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数解析式，计算求出c的值，即可得解。（2）把二次函数解析式整理成顶点式解析式，根据对称性求出点B的坐标，求出AB的长。根据顶点坐标求出点M到x轴的距离，然后求出ABM的面积，根据对称性可得S四边形AMBM=2SABM，计算即可得解。（3）令y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出AB的长度，根据抛物线解析式求出顶点M的纵坐标，然后根据正方形的对角线互相垂直平分且相等列式求解，如果关于c的方程有解，则存在，否则不存在。209. （2012贵州安顺12分）如图，在O中，直径AB与弦CD相交于点P，CAB=40，APD=65（1）求B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离【答案】解：（1）APD=C+CAB，CAB=40，APD=65，C=6540=25。B=C=25。（2）过点O作OEBD于E，则DE=BE，又AO=BO，OE=AD=6=3。圆心O到BD的距离为3。【考点】圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。【分析】（1）根据圆周定理以及三角形外角求出即可。（2）利用三角形中位线定理得出OE= AD，即可得出答案。210. （2012贵州安顺14分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且18a+c=0（1）求抛物线的解析式（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动移动开始后第t秒时，设PBQ的面积为S，试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由【答案】解：（1）由题意知点A（0，12）， 由矩形OABC知ABOC，且AB=6， B（6，12）。抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，且18a+c=0，解得抛物线的解析式为。（2）由已知，PB=6t，QB=2t， 。，当t=3时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，12），点Q坐标（6，6）。若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：（）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，18），将（3，18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，18）。（）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，6），将（3，6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件。（）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，6），将（9，6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件。综上所述，点R坐标为（3，18）。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，平行四边形的判定。【分析】（1）由已知，求出A，B的坐标，结合18a+c=0，解方程组即可求出抛物线的解析式。 （2）由已知得PB=6t，QB=2t，根据三角形面积公式即可得出S与t之间的函数关系式。 由于AB=6，点P的速度为1；BC=12，点Q的速度为2，从而。将抛物线的解析式化为顶点式即可求出S取最大值时t的值，从而求出点P和Q的坐标。根据平行四边形的判定分三种情况讨论：（）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，（）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，（）当点R在BQ的右边，且在PB上方时。211. （2012贵州毕节14分）如图，AB是O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EFAC的延长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。（1）求证：EF是O的切线；（2）若F=，AE=4，求O的半径和AC的长。【答案】（1）证明：连接OD，D是的中点，BOD=A。ODAC。EFAC，E=90。ODF=90。EF是O的切线；（2）解：在AEF中，E=90，sinF= ，AE=4，。设O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R在ODF中，ODF=90，sinF=，OF=3OD=3R。OF+OA=AF，3R+R=12，R=3。连接BC，则ACB=90。E=90，BCEF。AC：AE=AB：AF。AC：4=2R：4R，AC=2。O的半径为3，AC的长为2。【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得BOD=A，则ODAC，从而得出ODF=90，即EF是O的切线。（2）先解直角AEF，由sinF= ，得出AF=3AE=12，再在RtODF中，由sinF=，得出OF=3OD，设O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出O的半径。连接BC，证明BCEF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的长。212. （2012贵州毕节16分）如图，直线l1经过点A（1，0），直线l2经过点B(3，0), l1、l2均为与y轴交于点C(0，)，抛物线经过A、B、C三点。（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证：DE=EF=FG;(3)若l1l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。【答案】解：（1）抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（0，）三点， ，解得。抛物线的解析式为：（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过A（1，0），C（0，），得 ，解得，直线l1的解析式为：y=-x 。直线l2经过B（3，0），C（0，）两点，同理可求得直线l2解析式为：y= x 。抛物线，对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1， ）。点E为x=1与直线l2：y= x的交点，令x=1，得y= ，E（1， ）。点G为x=1与直线l1：y=-x 的交点，令x=1，得y= ，G（1，）。各点坐标为：D（1，0），E（1， ），F（1，），G（1， ），它们均位于对称轴x=1上。DE=EF=FG=。（3）如图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1交对称轴于H点，连接CF，PG。PCG为等腰三角形，有三种情况：当CG=PG时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足P1G=CG。C（0，），对称轴x=1，P1（2， ）。当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG。如图，C（1， ），H点在x=1上，H（1，）。在RtCHG中，CH=1，HG=|yGyH|=| （）|= ，由勾股定理得：。PC=2如图，CP1=2，此时与中情形重合。又RtOAC中，点A满足PC=2的条件，但点A、C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上.l1l2，ECG为直角三角形。由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点。CF=FG，F为满足条件的P点，P2（1，）。又，CGE=30。HCG=60。又P1C=CG，P1CG为等边三角形。P1点也在CG的垂直平分线上，此种情形与重合。综上所述，P点的坐标为P1（2， ）或P2（1， ）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度。D是对称轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求；E是对称轴与直线l2交点，需要求出l2的解析式，G是对称轴与l1的交点，需要求出l1的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出。从而问题得到解决。（3）PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论：CG=PG，CG=PC，PC=PG。213. （2012贵州六盘水10分）为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费小兰家4、5月份的用水量及收费情况如下表：月份用水量（吨）水费（元）4225152045（1）求该市每吨水的基本价和市场价（2）设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式（3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？【答案】解：（1）根据当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费，4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，市场价收费标准为：（5145）（2220）=3（元/吨）。设基本价收费为x元/吨，根据题意得出：15x+（2215）3=51，解得：x=2。该市每吨水的基本价和市场价分别为：3元/吨，2元/吨。（2）当n15时，m=2n，当n15时，m=152+（n15）3=3n15。m与n之间的函数关系式为。-（3）小兰家6月份的用水量为26吨，她家要缴水费32615=63元。【考点】一元一次方程和一次函数的应用。【分析】（1）利用已知得出4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，求出市场价收费标准为：（5145）（2220）=3（元/吨），进而得出每吨水的基本价。（2）利用（1）中所求不同水价，再利用当n15时，m=2n，当n15时，分别求出即可。（3）根据（2）中所求得出，用水量为26吨时要缴水费。214. （2012贵州六盘水16分）如图1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0t4）解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC（2）设AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）如图2，把AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由【答案】解：AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC为直角三角形，C为直角。（1）BP=2t，则AP=102t若PQBC，则，即，解得。当s时，PQBC。（2）如图1所示，过P点作PDAC于点D。则PDBC，APDABC。，即，解得。S=AQPD=2t（）。当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2。（3）不存在。理由如下：假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分，则有SAQP=SABC，而SABC=ACBC=24，此时SAQP=12。由（2）可知，SAQP=，=12，化简得：t25t+10=0。=（5）24110=150，此方程无解，不存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分。（4）存在。假设存在时刻t，使四边形AQPQ为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t。如图2所示，过P点作PDAC于点D，则有PDBC，APDABC。，即。解得：PD=，AD=，QD=ADAQ=。在RtPQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（）2+（）2=（2t）2，化简得：13t290t+125=0，解得：t1=5，t2=。t=5s时，AQ=10cmAC，不符合题意，舍去，t=。由（2）可知，SAQP=S菱形AQPQ=2SAQP=2（）=2（）2+6=。存在时刻t=，使四边形AQPQ为菱形，此时菱形的面积为cm2。【考点】动点问题，勾股定理和逆定理，平行的判定，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，二次函数的最值，菱形的性质。【分析】（1）由PQBC时的比例线段关系，列一元一次方程求解。（2）如图1所示，过P点作PDAC于点D，得APDABC，由比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值。（3）利用（2）中求得的AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分。（4）根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在RtPQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中AQP面积的表达式，这样可以化简计算。215. （2012贵州黔东南12分）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？【答案】解：设总人数是x，当x35时，选择两个，宾馆是一样的；当35x45时，选择甲宾馆比较便宜；当x45时，甲宾馆的收费是：y甲=35120+0.9120（x35）=108x+420；乙宾馆的收费是y乙=45120+0.8120（x45）=96x+1080。当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55；当y甲y乙时，即108x+42096x+1080，解得：x55；当y甲y乙时，即108x+42096x+1080，解得：x55。综上所述，当x35或x=55时，选择两个宾馆是一样的；当35x55时，选择甲宾馆比较便宜。当x55时，选乙宾馆比较便宜。【考点】一次函数的应用。【分析】当x35时，选择两个，宾馆是一样的；当35x45时，选择甲宾馆比较便宜，当x35时，两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可。216. （2012贵州黔东南12分）如图，已知抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MNy轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由【答案】解：（1）抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）两点， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x3）， 将C（0，3）代入，得a（0+1）（03）=3，a=1。抛物线的解析式：y=（x+1）（x3）=x2+2x+3。（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ，解得。直线BC的解析式：y=x+3。已知点M的横坐标为m，则M（m，m+3）、N（m，m2+2m+3）；MN=m2+2m+3（m+3）=m2+3m（0m3）。（3）存在。如图；SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB）=MNOB，SBNC=（m2+3m）3=（m）2+（0m3）。当m=时，BNC的面积最大，最大值为。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值。【分析】（1）由抛物线经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点用待定系数法即可求。 （2）求得直线BC的解析式，即可由点M的横坐标为m得其纵坐标为m+3，结合点N的纵坐标m2+2m+3即可用m的代数式表示MN的长。 （3）求出SBNC关于m的函数关系式，应用二次函数最值原理即可求得结论。217. （2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AEEF，BE=2（1）求EC：CF值；（2）延长EF交正方形BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）AEEF，BEA+CEF=90。四边形ABCD为正方形，B=C=90。BAE +BEA =90。BA E=CEF。ABEECF。EC：CF=AB：BE=5：2。（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME。AM=CE。BME=45。AME=135。CP是外角平分线，DCP=45。ECP=135。AME=ECP。AEB+BAE=90，AEB+CEF=90，BAE=CEF。AMEPCE（ASA）。AE=EP。（3）存在，过点D作DMAE交AB于