高考数学 10.2 排列与组合课件.ppt

第二节排列与组合 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 排列与组合的概念 排成一列 2 排列数与组合数的概念 排列 组合 3 排列数公式 4 组合数公式 n n 1 n 2 n m 1 n 5 组合数的性质 2 必备结论教材提炼记一记与组合数相关的几个公式 1 全组合公式 2 3 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 元素分析法 优先考虑特殊元素 位置分析法 优先考虑特殊位置 直接法 间接法 排除法 等机会法 插空法 捆绑法等 2 数学思想 分类讨论 转化与化归 3 记忆口诀 相邻元素捆绑法 相离问题插空法 定序问题属组合 定元 定位优先排 至多 至少间接法 选排问题先选后排 部分符合淘汰法 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 所有元素完全相同的两个排列为相同排列 2 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 3 若组合式 则x m成立 4 组合数公式的阶乘形式主要用于计算具体的组合数 5 排列定义规定给出的n个元素各不相同 并且只研究被取出的元素也各不相同的情况 也就是说 如果某个元素已被取出 则这个元素就不再取了 解析 1 错误 由排列与组合的定义可知 所有元素完全相同的两个组合是相同组合 而排列则不一定是相同的排列 与它们的顺序还有关系 2 正确 由组合的概念可知 该问题是正确的 3 错误 由组合数的性质可知当时 x m或x n m 4 错误 组合数公式的连乘形式常用于计算具体的组合数 阶乘形式常用于对含有字母的组合数的式子进行变形 所以该说法错误 5 正确 由定义易知 取出的元素各不相同 因此取了的不能再取了 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 3p28t16改编 现有6人分乘两辆不同的出租车 每辆车最多乘4人 则不同的乘车方案数为 a 70b 60c 50d 40 解析 选c 先将6人分成两组 有两种情况 4 2 3 3 然后再分配到两辆车上共有 50种 2 选修2 3p40t2改编 用0 1 2 9十个数字组成五位数 其中含3个奇数与2个偶数且数字不重复的五位数有个 解析 分两类 第一类 含0的 有种 第二类 不含0的 有种 共有 11040个 答案 11040 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 贵阳模拟 有6个座位连成一排 现有3人就座 则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 a 36种b 48种c 72种d 96种 解析 选c 恰有两个空座位相邻 相当于两个空座位与第三个空位不相邻 先排三个人 然后插空 从而共有 72种坐法 2 2015 长春模拟 只用1 2 3三个数字组成一个四位数 规定这三个数必须同时使用 且同一数字不能相邻出现 这样的四位数有 a 6个b 9个c 18个d 36个 解析 选c 题设中要求 一是三个数字必须全部使用 二是相同的数字不能相邻 选四个数字共有 3种方法 即1231 1232 1233 而每一种选择有 6种排法 所以共有3 6 18种不同情况 即这样的四位数共有18个 3 2014 大纲版全国卷 有6名男医生 5名女医生 从中选出2名男医生 1名女医生组成一个医疗小组 则不同的选法共有 a 60种b 70种c 75种d 150种 解析 选c 由题意 从6名男医生中选2人 5名女医生中选1名组成一个医疗小组 不同的选法共有 75种 4 2014 北京高考 把5件不同产品摆成一排 若产品a与产品b相邻 且产品a与产品c不相邻 则不同的摆法有种 解析 设这5件不同的产品分别为a b c d e 先把产品a与产品b捆绑有种摆法 再与产品d e全排有种摆法 最后把产品c插空有种摆法 所以共有 36种不同摆法 答案 36 考点1排列问题 典例1 1 2014 四川高考 六个人从左至右排成一行 最左端只能排甲或乙 最右端不能排甲 则不同的排法共有 a 192种b 216种c 240种d 288种 2 在数字1 2 3与符号 这五个元素的所有全排列中 任意两个数字都不相邻的全排列方法共有种 解题提示 1 分两种情况进行讨论 最左端排甲 最左端排乙 2 由于题设中任意两个数字不相邻 因此可用插空法解决问题 规范解答 1 选b 若最左端排甲 排法有 120种 若最左端排乙 排法有 96种 故不同的排法共有120 96 216种 2 本题主要考查某些元素不相邻的问题 先排符号 有种排列方法 此时两个符号中间与两端共有3个空位 把数字1 2 3 插空 有种排列方法 因此满足题目要求的排列方法共有 12种 答案 12 互动探究 本题 1 增加乙不能在中间两个位置 则不同的排法共有种 解析 当甲在最左端时 乙有3种排法 剩余4人有 24 种 排法 此时共有3 72种排法 当甲不在最左端时 乙必须在最左端 且甲也不在最右端 有 4 24 96 种 排法 共计72 96 168 种 排法 答案 168 易错警示 解答本例题 2 有三点容易出错 1 先排3个数字出现4个空位 再将符号 从这4个空中选两个插空 2 先排列两个符号 再将3个数字插空 但没有考虑排列问题 造成结论错误 3 想将3个数字全排列 中间有2个空位 将两个符号插空 但没有考虑顺序 造成结论错误 规律方法 求解排列问题的主要方法 变式训练 2015 北京模拟 有3张标号分别为1 2 3的红色卡片 3张标号分别为1 2 3的蓝色卡片 现将全部的6张卡片放在2行3列的格内 如图 若颜色相同的卡片在同一行 则不同的放法种数为 用数字作答 解析 由题意可知 不同的放法共有 6 6 2 72 种 答案 72 加固训练 某小区有排成一排的7个车位 现有3辆不同型号的车需要停放 如果要求剩余的4个车位连在一起 那么不同的停放方法的种数为 a 8b 16c 24d 32 解析 选c 本题主要考查排列组合知识 题中情境富有生活气息 根据捆绑法即可解决问题 同时考查考生利用所学知识分析问题 解决问题的能力 利用捆绑法 先将4个连在一起的车位捆绑看成一个元素 然后将3辆车放在余下的3个车位 共有 24种方法 考点2组合问题 典例2 1 2015 南昌模拟 将5名学生分到a b c三个宿舍 每个宿舍至少1人 至多2人 其中学生甲不到a宿舍的不同分法有 a 18种b 36种c 48种d 60种 2 20个不加区别的小球放入1号 2号 3号的三个盒子中 要求每个盒内的球数不小于它的编号数 则不同的放法种数为 解题提示 1 三个宿舍的人数只能是2 2 1 分情况讨论即可 2 由于20个小球是不加区别的 因此是一个组合问题 解决办法是先在2号中放1个小球 再在3号中放2个小球 然后利用挡板法求解 规范解答 1 选d 由题意知a b c三个宿舍中有两个宿舍分到2人 另一个宿舍分到1人 若甲被分到b宿舍 a中2人 b中1人 c中2人 有 6种分法 a中1人 b中2人 c中2人 有 12种分法 a中2人 b中2人 c中1人 有 12种分法 即甲被分到b宿舍的分法有30种 同样甲被分到c宿舍的分法也有30种 所以甲不到a宿舍一共有60种分法 2 先在编号为2 3的盒内分别放入1个 2个球 还剩17个小球 三个盒内每个至少再放入1个 将17个球排成一排 有16个空隙 插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可 共有 120 种 方法 答案 120 易错警示 解答本例题 1 有两点容易出错 1 分类讨论时 极易少讨论一种或二种情况 2 在每一种情况中 也可能少讨论一种或二种情况 规律方法 1 组合问题的常见题型及解题思路 1 常见题型 一般有选派问题 抽样问题 图形问题 集合问题 分组问题等 2 解题思路 分清问题是否为组合问题 对较复杂的组合问题 要搞清是 分类 还是 分步 一般是先整体分类 然后局部分步 将复杂问题通过两个原理化归为简单问题 2 含有附加条件的组合问题的常用方法通常用直接法或间接法 应注意 至少 最多 恰好 等词的含义的理解 对于涉及 至少 至多 等词的组合问题 既可考虑反面情形即间接求解 也可以分类研究进行直接求解 提醒 区分一个问题是排列问题还是组合问题 关键在于是否与顺序有关 变式训练 1 2015 重庆模拟 有甲 乙 丙三项任务 甲需2人承担 乙 丙各需1人承担 从10人中选派4人承担这三项任务的不同选法有 a 1260种b 2025种c 2520种d 5040种 解析 选c 按分步乘法计数原理考虑 第一步安排甲任务有种方法 第二步 安排乙任务有种方法 第三步安排丙任务有种方法 所以总共有 2520种方法 2 在空间直角坐标系o xyz中有8个点 p1 1 1 1 p2 1 1 1 p7 1 1 1 p8 1 1 1 每个点的横 纵 竖坐标都是1或 1 以其中4个点为顶点的三棱锥一共有个 用数字作答 解析 这8个点构成正方体的8个顶点 此题即转化成以正方体的8个顶点中的4个点为顶点的三棱锥一共有多少个 从正方体的8个顶点中任取4个 有不同取法种 其中这四点共面的 6个对角面 6个表面 共12个 所以这样的三棱锥有 12 58个 答案 58 加固训练 1 两人进行乒乓球比赛 先赢3局者获胜 决出胜负为止 则所有可能出现的情况 各人输赢局次的不同视为不同情况 共有 a 10种b 15种c 20种d 30种 解析 选c 采用分类讨论法求解 由题意知比赛局数至少为3局 至多为5局 当为3局时 情况为甲或乙连赢3局 共2种 当为4局时 若甲赢 则前3局中甲赢2局 最后一局甲赢 共有 3 种 情况 同理 若乙赢也有3种情况 共有6种情况 当为5局时 前4局 甲 乙各赢2局 最后1局胜出的人赢 共有2 12 种 情况 由上综合知 共有20种情况 2 2015 南昌模拟 某大学的8名同学准备拼车去旅游 其中大一 大二 大三 大四每个年级各两名 分乘甲 乙两辆汽车 每车限坐4名同学 乘同一辆车的4名同学不考虑位置 其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车 则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学来自同一年级的乘坐方式共有 a 24种b 18种c 48种d 36种 解析 选a 甲车的人员一旦确定 乙车的人员也随之确定下来 第一类 大一的孪生姐妹乘坐甲车 则另外两人的选择有 22 12种 第二类 大一的孪生姐妹乘坐乙车 则甲车的人员选择有 22 12种 根据分类加法计数原理可得乘坐方式共有12 12 24种 考点3分组分配问题知 考情分组分配问题是排列组合综合问题 也是常考问题 解题思想是先分组后分配 有平均分组与不平均分组两类 经常以选择题 填空题形式出现 明 角度命题角度1 平均分配问题 典例3 2015 重庆模拟 将2名教师 4名学生分成2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 不同的安排方案共有 a 12种b 10种c 9种d 8种 解题提示 由题意2名教师 4名学生分到甲 乙两地 每地1名教师2名学生是平均分配问题 规范解答 选a 将4名学生均分为2个小组共有 3种分法 将2个小组的同学分给2名教师共有 2种分法 最后将2个小组的人员分配到甲 乙两地有 2种分法 故不同的安排方案共有3 2 2 12种 命题角度2 不平均分配问题 典例4 2015 成都模拟 某地发生了7 0级地震 现派一支由5人组成的先锋救援队到该市3所学校进行紧急救灾 若每所学校至少1人 则不同的安排方案共有种 用数字作答 解题提示 5人分到3所学校 每校至少1人是不平均分配 具体方案有2 2 1和3 1 1两种情况 规范解答 先把五名志愿者分成三堆 有2 2 1和3 1 1两种情况 再分配到3所学校 前一种有 15种 后一种有 10种 所以总共有 15 10 150种 答案 150 悟 技法1 分组 分配问题的求解策略 1 分组问题属于 组合 问题 按组合问题求解 常见的分组问题有三种 完全均匀分组 每组的元素个数均相等 部分均匀分组 应注意不要重复 若有n组均匀 最后必须除以n 完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象 2 分配问题属于 排列 问题 可以按要求逐个分配 也可以分组后再分配 2 分组分配问题的解题方法 1 相同元素的 分配 问题 常用的方法是采用 挡板法 2 不同元素的 分配 问题 利用分步计数原理 分两步完成 第一步是分组 第二步是发放 3 限制条件的分配问题采用分类法求解 通 一类1 2015 沈阳模拟 某校高三年级六个班 现从外地转入4名学生安排在其中两个班 每班2名 则不同的安排方案种数为 a 6b 24c 180d 90 解析 选d 先把4名学生平均分成两组有 3种 再将两组分到六个班的两个班中有 30种 所以共有3 30 90种不同方案 2 2014 兰州模拟 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教 每地1人 其中甲和乙不同去 甲和丙只能同去或同不去 则不同的选派方案共有 a 150种b 300种c 600种d 900种 解析 选c 分两步 第一步 先选4名教师 又分两类 第一类 甲去 则丙一定去 乙一定不去 有 10种不同的方法 第二类 甲不去 则丙一定不去 乙可能去也可能不去 有 15种不同的方法 所以不同的选法有10 15 25种 第二步 四名教师去4个边远地区支教 有 24种方法 最后由分步乘法计数原理 共有25 24 600种不同的方法 3 2015 张掖模拟 将5位志愿者分成3组 其中两组各2人 另一组1人 分赴青奥会的三个不同场馆服务 不同的分配方案有种 用数字作答 解析 先将5位志愿者分成3组共有种方法 再分到三个不同场馆共有种方法 所以不同的分配方案有 90种 答案 90 巧思妙解11巧用正难则反原则解排列组合应用题 典例 安排3名支教教师去4所学校任教 每校至多2人 则不同的分配方法共有种 用数字作答 常规解法 3人去了3所