《高中数学：方程问题与函数问题的转化-李朝科》进阶练习 (三).doc

高中数学：方程问题与函数问题的转化李朝科进阶练习一、选择题.函数（）的零点个数为（）.已知函数（），若方程（）（）有六个相异实根，则实数的取值范围（）.（，）.（，）.（，）.（，）.已知函数，当（，时，（），若在区间（，内，（）（）（）有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）.二、解答题.已知函数（）（），（）（） （）当为何值时，轴是曲线（）的切线？ （）当时，证明：（）在，）有唯一零点； （）当时，（），求实数的取值范围.已知函数（） （）若函数（）在（，）上单调递减，求实数的取值范围； （）当时，函数有两个零点，且求证：参考答案【参考答案】.解：（）（）（），设曲线（）与轴相切于点（，），则（），（）即， 解得， 因此当时，轴是曲线（）的切线（分） （）由（）知，当时，曲线（）与轴相切于点（，） 当时，（）（），（）在，）单调递增当时，（）（） 所以曲线（）在轴两侧与轴各有一个交点因此（）在，）有唯一零点（分） （）当时，（），等价于（）在，）最小值大于或等于 首先，（），即，解得 当时，由（）知（）（）所以（）在，）内单调递增，（）（）； 当时，（）在，）有唯一零点，设零点是，则 当（，）时，（）；当（，）时，（） 所以（）在（，）上单调递减，在（，）上单调递增 所以（）在，）最小值是（）（）（）（） 由（），得 由于，设（），当（，）时，（），（）在（，）单调递减 因为，所以，） 综上，实数的取值范围是（分）.解：（）因为（），则， 若函数（）在（，）上单调递减， 则在（，）上恒成立， 即当时恒成立，所以（分） （）证明：根据题意， 因为，是函数的两个零点， 所以， 两式相减，可得，（分） 即，故 那么， 令，其中， 则 构造函数，（分） 则因为，所以（）恒成立， 故（）（），即 可知，故（分）【解析】. 解：由题意得： （）的零点个数即为的解的个数， 变形为，即函数与函数的交点个数， 分别画出两个函数图象如下图（其中蓝色实线为，红色实线为）： 所以函数图象有两个交点，即（）的零点个数为， 故选： 由题意得，函数零点个数即函数图象与轴交点个数，将其转化为两个函数图象交点个数即可 本题难度中上，考察学生对函数零点知识点的掌握情况，解题关键在于将零点问题转化为函数交点问题 .解：令（），则原函数方程等价为 作出函数（）的图象如图： 图象可知当由时，函数（）有个交点 所以要使（）（）有六个相异实根， 则等价为有两个根， 且， 令（）， 则由根的分布（如下图）可得，即，即， 解得， 则实数的取值范围是（，） 故选： 先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题同时在结合函数（）的图象，确定的取值范围 本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键 . 解：由题可知函数在（，上的解析式为， 由（）（）（）得（）（）， 可将函数（）在（，）上的大致图象呈现如图： 根据（）的几何意义，轴位置和图中直线位置为（）表示直线的临界位置， 因此直线的斜率的取值范围是 故选： 由（）（）（）得（）（），分别求出函数（）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可 本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键 . （）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可 （）当时，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性的性质即可证明：（）在，）有唯一零点； （）当时，（）的等价条件（）在，）最小值大于或等于，求函数的导数，利用函数最值和导数之间的关系即可求实数的取值范围 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数的几何意义研究切线问题以及，利用函数单调性，最值与导数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大 . （）求出函数的导数，根据函数的单调性，分离参数，问题转化为：当时恒