2.3.3等比数列的前n项和

数列求和学习目标：1掌握一些数列常见的求和方法，如倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、奇偶分析法等(重点、难点)2在求和过程中，体会转化与化归思想的应用3错位相减时的项数计算(易错点) 基础初探教材整理数列求和的方法阅读教材P55P57，P62第12题，第13题，P68第13题，完成下列问题1分组求和法若cnanbn，an，bn，cn前n项和分别为An，Bn，Cn，则CnAnBn，以此可以对数列an分组求和2错位相减法求和设数列an为等比数列且公比q1，则Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn.两式相减，(1q)Sna1(1qn)，Sn(q1)这种求和的方法叫错位相减法3裂项相消法求和将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的这种求和的方法叫裂项相消法4数列an的an与Sn的关系：数列an的前n项和Sna1a2a3an，则an1若an，则数列an的前10项和S10 .【解析】an，S10.【答案】2数列1，2，3，4，的前n项和是 【解析】Sn(123n)1.【答案】1小组合作型分组求和求和：Sn.【精彩点拨】先分析通项anx2n2，再分组求和，注意x的取值范围【自主解答】当x1时，Sn(x2x4x2n)2n2n2n；当x1时，Sn4n.综上知，Sn分组求和法的求和策略有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将其每一项拆开，可分为几个等差、等比或常数列，然后分别求和，再将其合并即可像这种数列求和方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项变形 再练一题1已知数列11，4，7，3n2，求其前n项的和【解】设Sn(11)将其每一项拆开再重新组合得，Sn(1473n2)，当a1时，Snn；当a1时Sn.错位相减法求和已知数列an，a11，an23n2(n2)，求数列nan的前n项和Tn.【精彩点拨】利用错位相减法求Tn，但本题需注意n的范围【自主解答】Tna12a23a3nan.当n1时，T11；当n2时，Tn14306312n3n2，3Tn34316322n3n1，得：2Tn1(43)2(31323n2)2n3n1222n3n11(12n)3n1，Tn(n2)又T1a11也满足上式，Tn(nN*)1若cnanbn，其中an为等差数列，bn为等比数列，则cn的前n项和可用错位相减法求得2用错位相减法求和时应注意：两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和注意两式相减后所得式子第一项后是加号，最后一项前面是减号 再练一题2求数列的前n项和Sn.【解】Sna1a2a3an，Sn123n，Sn12(n1)n， 得，Snnn1n，Sn2.裂项相消法求和求和：，n2.【精彩点拨】由逐项裂项相消求和【自主解答】，原式.1裂项相消法的裂项方法(1)；(2)若an为等差数列，公差为d，则；(3).2如果数列的通项公式可转化为f(n1)f(n)的形式，常采用裂项相消法求和再练一题3求和：1. 【解】2，原式22.探究1如何求数列(1)n的前n项的和？【提示】分n为奇、偶数两类分别求数列(1)n的和探究2若数列an的前n项和为Sn，则an与Sn间存在怎样的关系？如何由Sn求通项an?【提示】由Sna1a2an可知Sn1a1a2an1(n2)，anSnSn1(n2)，又a1S1，an已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.【精彩点拨】(1)由SS1S4列出关于a1的方程，求a1，从而求出an.(2)对bn进行裂项，并对n为奇数和偶数分类求和【自主解答】(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.当n为偶数时，Tn1.当n为奇数时，Tn1. 所以Tn奇偶性分析适用的数列往往是与(1)n有关的摆动数列，常用的思路有两个：一是邻项相并，二是利用SnS奇S偶，两种思路都要考虑奇数项、偶数项的项数.1数列an的通项公式an2n2n1，则其前n项和Sn .【解析】Sn(2222n)13(