矩形典型例题选讲.doc

矩形典型例题选讲本讲通过以下例题的分析与解答，介绍如何综合运用所学知识解决问题。例1. ：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O点，AE平分BAD，交BC于E点，若CAE=15，求BOE分析：由已知不难得出OBE=30，欲求BOE的度数，需解决BO与BE之间的大小关系。解：如图所示，在矩形ABCD中，AE平分BAD，EAD=EAB=45在ABE中，BAE=45，ABE=90AEB=45，AB=BEEAD=45，EAC=15CAD=30BAC=90-30=60矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，AO=BOABO是等边三角形，即AB=BO在BEO中，BE=BO而EBO=30 例2. 已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F是DE的中点，试确定线段AF与CF的位置关系。分析：如果连结BF，由已知，设法推出AFB+BFC=90，若连结AC，设与BD交于O点，并连结OF，还可利用矩形的对角线互相平分且相等，以及三角形中位线的性质，得出 ，相比之下，后者方法较好解：AFCF，证明如下，如图，连结AC，设它与BD交于O点，连结OF四边形ABCD是矩形， 在DBE中，DO=OB，DF=FE 又BE=BD，BD=AC 在ACF中，AO=OC， AFC=90AFCF。例3. 已知：如图，矩形ABCD中，CMBD，AE平分BAD和MC的延长线交于E点。求证：AC=CE分析：欲证AC=CE，只要E=CAE，为了证明这两个角相等，不妨设DAO=，这样可确定此图形的形状。只要求出E也等于45-即可解：如图，在矩形ABCD中，设DAO=EA平分BAD，EAD=45CAE=45-AO=OD，DOC是AOD的外角DOC=2又CMBD，MCO=90-2而OCM是ACE的一个外角E=OCM-CAE=(90-2)-(45-)=45-在ECA中，E=EACAC=CE 想一想：如果作ANBD于N点，由已知EMBD，可得ANME，则E=EAN，这样，欲证E=CAE，只要证EAN=CAE。这又转化为证明BAN=DAC。试一下，这样作辅助线进行证明如何？例4. 已知：如图，ABC中，AB=AC，ADBC于D点，AE是BAC的外角平分线，DEAB，交AE于E，试确定四边形是什么图形？解：四边形ADCE是矩形证明如下：对于ABC，AB=AC，ADBCB=ACB，BD=DC又AE是其外角CAF的一部分线 AEBC 又ABDE，四边形ABDE是平行四边形 例4 AE=BD，AB=DE，从而AC=DEAE DC四边形ADCE是平行四边形。又AC=DE，四边形ADCE是矩形。例5. 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)：第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B，得RtABE，如图(2)第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图(3)利用展开图(4)探究：(1)AEF是什么三角形？证明你的结论。(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。 解(1)证明：如图7-72AEF是等边三角形，证法一：由平行线分线段定理知PE=PA，BP是RtABE斜边上的中线，PA=PB，1=3又PNAD，2=3而21+2=901=2=30，在RtABE中，1+AEF=90AEF=60，EAF=1+2=60AEF是等边三角形。证法二：ABE与ABE完全重合，ABEABE，BAE=1由平行线等分线段定理知EB=BF又ABE=90，ABEABF，AE=AF AEF是等边三角形。(2)不一定。由上推证可知当矩形的长恰