高考数学总复习 9.5空间的距离课件 人教版.ppt

第五讲空间的距离 空间的距离 1 空间的距离包括两点间的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 两直线间的距离 含两平行直线间的距离和异面直线间的距离 直线与和它平行的平面间的距离 两平行平面间的距离等六种距离 它们是立体几何中重要的度量关系 也是高考的必考内容 2 在各种距离中 两点间的距离 点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何问题 可用平面几何法求解 3 三种空间距离 点到平面的距离 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 直线到与它平行的平面的距离 一条直线和一个平面平行 这条直线上任一点到该平面的距离叫做这条直线到与它平行的平面的距离 两个平行平面的距离 两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 注意 1 点到平面的距离实际上就是从平面外一点引这个平面的垂线 这个点和垂足间的距离就是点到平面的距离 此定义实际上给出了求点到平面的距离的方法 即要求一点到一平面的距离 只要找到此点在平面内的射影即可 2 直线到与它平行的平面的距离实际上就是直线上任一点到平面的距离 当直线与平面相交或直线在平面内时 直线与平面的距离为零 3 两平行平面之间的距离就是一个平面上任意一点到另一个平面的距离 所以由定义可以推知 直线到与它平行平面的距离和两个平行平面间的距离可归结为求点到面的距离 4 空间所有的距离最终都转化为两点间的距离来解决 1 正方体abcd a1b1c1d1的棱上到异面直线ab cc1的距离相等的点的个数为 a 2b 3c 4d 5解析 如图由正方体性质知bc中点 a1d1中点 b1 d四点都是符合题意的点 答案 c 答案 d 解析 b1c1 bc 且b1c1 平面a1bcd1 bc 平面a1bcd1 b1c1 平面a1bcd1 从而点b1到平面a1bcd1的距离即为所求 过点b1作b1e a1b于e点 bc 平面a1abb1 且b1e 平面a1abb1 bc b1e 又bc a1b b b1e 平面a1bcd1 答案 c 5 如图 已知圆柱的高为80cm 底面半径为10cm 轴截面上有p q两点 且pa 40cm b1q 30cm 若一只蚂蚁沿着侧面从p点爬到q点 问蚂蚁爬过的最短路径是 cm 如图 四棱锥p abcd中 pd 平面abcd pd dc bc 1 ab 2 ab dc bcd 90 1 求点p到四边形abcd各边的距离 2 求点a到平面pbc的距离 2 解法一 如图 1 过点a作bc的平行线交cd的延长线于e 过点e作pc的垂线 垂足为f 则有ae 平面pbc 所以点a到平面pbc的距离等于点e到平面pbc的距离 由于易知bc 平面pcd 故ef bc 而bc pc c 所以ef 平面pbc b版 解法二 过点d作de bc于e 则e为ab中点 pd 平面abcd pd cd pd de bcd 90 cd bc cd de 以d为坐标原点 de为x轴 dc为y轴 dp为z轴 建立空间直角坐标系 如图 2 则d 0 0 0 a 1 1 0 b 1 1 0 c 0 1 0 p 0 0 1 题后总结 求点到平面的距离一般有四种思路 一是作出垂线段 求出垂线段的长 这种方法的难点在于找垂足的位置 而实际问题中垂足的位置通常是一些特殊的点 例如三角形的重心 垂心 一些线段的中点等 二是转化的方法 转化为求其他点到面的距离 在求其他点到面的距离时一般是利用面面垂直构造距离求解 三是利用等体积法 即通过转换三棱锥的顶点位置 建立方程求出点到平面的距离 四是向量法 已知正方形abcd的边长为1 过d作pd 平面abcd 且pd 1 e f分别是ab和bc的中点 1 求d点到平面pef的距离 2 求直线ac到平面pef的距离 自主解答 1 解法一 如图所示 ef bd ef pd ef 平面pdb 又 ef 平面pef 平面pef 平面pdb 平面pef 平面pdb pg d点到平面pef的距离就是d到pg的距离h 2 连结ac交bd于o 则o到平面pef的距离即为所求 因为平面pdg 平面pef 所以o到pg的距离就是o到平面pef的距离 如图所示 在rt pdg中 作oh pg交pg于h pdg ohg 题后总结 1 求距离的一般步骤是 一作 二证 三计算 即先作出表示距离的线段 再证明它就是要求的距离 然后再计算 其中第二步的证明易被忽视 应引起重视 2 求距离问题体现了化归与转化的思想 一般情况下需要转化为解三角形 解 解法一 1 如图 在矩形abcd中 ad bc 从而ad 平面pbc 故直线ad与平面pbc的距离为点a到平面pbc的距离 因pa 底面abcd 故pa ab 由pa ab知 pab为等腰直角三角形 又点e是棱pb的中点 故ae pb 12分 如图所示 已知abc a1b1c1是正三棱柱 e e1分别是ac和a1c1的中点 1 求证 平面ab1e1 平面bec1 2 当该棱柱各棱长都为a时 求 1 中两个平行平面间的距离 所以be 平面ab1e1 5分又be ec1 e 所以平面ab1e1 平面bec1 6分 2 取cc1的中点f 连结a1f分别交ae1 ec1于m n 因为各棱长都为a 所以acc1a1为正方形 所以a1f ec1 7分因为e为ac中点 所以be ac 又因为平面abc 平面acc1a1 所以be 平面acc1a1 所以be a1f 8分 又因为ec1 be e ec1 平面bec1 be 平面bec1 所以a1f 平面bec1 9分又平面bec1 平面ab1e1 所以a1f 平面ab1e1 10分所以a1f为平面ab1e1和平面bec1的公垂线 题后总结 面面平行问题常常转化为线面平行问题 而线面平行又可转化为线线平行 或者利用垂直于同一直线的两个平面平行 所以要注意转化思想的应用 在求两个平行平面间的距离时若公垂线不好找 可转化为求点到面的距离 活学活用 2 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 1 ab ad 2 e f分别为a1b1 cd中点 1 求证 平面ad1e 平面bc1f 2 求平面ad1e与平面bc1f的距离 解 解法一 1 证明 取c1d1的中点g 连接b1g fg 由d1g綊eb1 得d1e gb1 由gf綊b1b 得fb綊gb1 d1e fb d1e 面bc1f 又由ab綊c1d1 得ad1 bc1 d1a 面bc1f 平面ad1e 平面bc1f b版 解法二 如图建立空间直角坐标系d xyz 则a 2 0 0 b 2 2 0 c1 0 2 1 d1 0 0 1 e 2 1 1 f 0 1 0 易错点 情况考虑不全致误已知点e是线段ab中点 且a b到平面 的距离分别为6和8 则e到平面 的距离为 错因分析 本解法错在考虑不全面 忽视a b与平面 的位置造成错误 规范解答 分别过a b e作 的垂