2017_2018学年高中数学第二章几个重要的不等式学案选修.docx

第二章 几个重要的不等式1柯西不等式1.1简单形式的柯西不等式学习目标1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式.2.会用柯西不等的代数形式和向量形式证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.预习自测1.柯西不等式若a，b，c，dR，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号成立adbc.2.柯西不等式的向量形式设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立.自主探究1.如何证明：a1，a2，b1，b2R时，(aa)(bb)(a1b1a2b2)2?提示(aa)(bb)(a1b1a2b2)20abababababab2a1b1a2b20ab2a1b1a2b2ab0(a1b2a2b1)20.上式中等号成立a1b2a2b1.2.设平面上两个向量为(a1，a2)，(b1，b2)，你能证明|吗？提示cos，cos2，1，即(aa)(bb)(a1b1a2b2)2，|a1b1a2b2|.|，等号成立的充要条件为 (0).典例剖析知识点1利用柯西不等式证明不等式【例1】 已知3x22y26，求证：2xy.证明由于2xy(x)(y).由柯西不等式(a1b1a2b2)2(aa)(bb)得(2xy)2(3x22y2)6611，|2xy|，2xy.【反思感悟】 柯西不等式(aa)(bb)(a1b1a2b2)2 |a1b1a2b2|，应用时关键是对已知条件的变形.1.已知a，b，c，dR，x0，y0，且x2a2b2，y2c2d2，求证：xyacbd. 证明由柯西不等式知：acbdxy.xyacbd.【例2】 (二维形式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2R，用代数的方法证明 .证明()2xy2 xyxy2|x1x2y1y2|xyxy2(x1x2y1y2)xyx2x1x2xy2y1y2y(x1x2)2(y1y2)2【反思感悟】 在平面中设(x1，y1)，(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由向量加法的三角形法则知：|，由向量减法的几何意义知：|.2.利用柯西不等式证明：.证明(a2b2).知识点2利用柯西不等式求函数的最值【例3】 求函数y5的最大值.解函数的定义域为x|1x5.y526当且仅当5即x时取等号，故函数的最大值为6.【反思感悟】 解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.3.已知xy1，求2x23y2的最小值.解2x23y2(x)2(y)2(xy)2.课堂小结1.二维形式的柯西不等式(aa)(bb)(a1b1a2b2)2，当且仅当a1b2a2b1时等号成立.2.推论：(1)(ab)(cd)()2；(2)|a1b1a2b2|；(3)|a1b1|a2b2|.3.柯西不等式的向量形式|，当且仅当存在实数0，使时等号成立.4.二维形式的三角不等式(1)(或 )；(2) .随堂演练1.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.解(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).当且仅当时等号成立.2.写出空间代数形式的三角不等式.解有两种形式分别对应定理3、定理4.定理3为定理4为.3.已知a2b2c21，x2y2z21.求证：axbycz1.证明由柯西不等式得：(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2.a2b2c21，x2y2z21，|axbycz|1.axbycz1.一、选择题1.下列说法：二维形式的柯西不等式中a，b，c，d没有取值限制.二维形式的柯西不等式中a，b，c，d只能取数，不能为代数式.柯西不等式的向量式中取等号的条件是.其中正确的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.0个解析由柯西不等式的概念知，只正确，a，b，c，d是实数，没有其取值限制.答案A2.函数y的最小值是()A.20 B.25 C.27 D.18解析y2x(12x)()2()2(23)225.答案B3.设a、b(0，)，且ab，P，Qab，则()A.PQ B.PQC.P0，b0，ab0.ab.又ab，而等号成立的条件是，即ab，ab.即PQ.答案A二、填空题4.设a、b、c是正实数，且abc9，则的最小值是_.解析(abc)()2()2()218.2.答案25.若a2b2c22，x2y2z24，则axbycz的取值范围是_.解析(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2，(axbycz)28，2axbycz2.答案2，26.设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则的最小值为_.解析运用柯西不等式求解.根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.答案三、解答题7.若2x3y1，求4x29y2的最小值，并求出最小值点.解由柯西不等式(4x29y2)(1212)(2x3y)21，4x29y2.当且仅当2x13y1，即2x3y时取等号.由得4x29y2的最小值为，最小值点为.8.设a，b(0，)，若ab2，求的最小值.解(ab)()2()2(11)24.24，即2.当且仅当，即ab时取等号，当ab1时，的最小值为2.9.已知a2b21，a，bR，求证：|acos bsin |1.证明(acos bsin )2(a2b2)(cos2sin2)111，|acos bsin |1.1.2一般形式的柯西不等式学习目标1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式.2.会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值.预习自测1.定理2，设a1，a2，an与b1，b2，bn是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当向量(a1，a2，an)与向量(b1，b2，bn)共线时，等号成立.2.证明柯西不等式的一般形式的方法称为参数配方法.3.推论设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时“”成立.自主探究1.由二维的柯西不等式的向量式|，你能推导出二维的柯西不等式的代数式吗？提示设(a1，a2)，(b1，b2)，则a1b1a2b2代入向量式得：(aa)(bb)(a1b1a2b2)2.当且仅当a1b2a2b1时，等号成立.2.在空间向量中，|，你能据此推导出三维的柯西不等式的代数式吗？提示设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则a1b1a2b2a3b3代入向量式得(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.当且仅当与共线时，即存在一个数k，使得aikbi (i1，2，3)时，等号成立. 3.你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？提示柯西不等式的一般形式为：若a1，a2，an，b1，b2，bn都为实数，则有(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，证明如下：若a1a2an0，则不等式显然成立，故设a1，a2，an至少有一个不为零，则aaa0.考虑二次三项式(aaa)x22(a1b1a2b2anbn)x(bbb)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)20.对于一切实数x成立，设二次三项式的判别式为，则(a1b1a2b2anbn)2(aaa)(bbb)0.所以(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.即(aaa)|a1b1a2b2anbn|等号成立.典例剖析知识点1利用柯西不等式证明不等式【例1】 设a，b，c为正数且互不相等，求证：.证明2(abc)(ab)(bc)(ca)()2()2()2(111)29.a，b，c互不相等，等号不可能成立，从而原不等式成立.【反思感悟】 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的.1.已知a1，a2，a3为实数，b1，b2，b3为正实数.求证：.证明由柯西不等式得：(b1b2b3)(a1a2a3)2.知识点2利用柯西不等式求函数的最值【例2】 已知a，b，c(0，)且abc1，求的最大值.解111(4a14b14c1)(121212).当且仅当时取等号.即abc时，所求的最大值为.【反思感悟】 利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题.通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式.2.设2x3y5z29，求函数u的最大值.解根据柯西不等式1203(2x1)(3y4)(5z6)(111)2，故2.当且仅当2x13y45z6，即x，y，z时等号成立，此时umax2.知识点3利用柯西不等式解方程【例3】 在实数集内解方程解由柯西不等式，得(x2y2z2)(8)262(24)2(8x6y24z)2.(x2y2z2)(8)262(24)2(6436576)392，又(8x6y24y)2392，(x2y2z2)(8)262(24)2(8x6y24z)2，即不等式中只有等号成立，从而由柯西不等式中等号成立的条件，得，它与8x6y24z39联立，可得x，y，z.【反思感悟】 利用柯西不等式解方程，关键是由不等关系转换成相等关系，然后再通过等号成立的条件求出未知数的值.3.利用柯西不等式解方程：2.解21.又由已知2.所以等号成立，由等号成立的条件1得：24x8x6，x，即方程的解为x.课堂小结柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法；教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面也有广泛的应用.柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等.应用时，通过拆常数、重新排序、添项、改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式.随堂演练1.ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：(a2b2c2)36R2.证明由三角形中的正弦定理得sin A，所以，同理，于是左边(a2b2c2)36R2.故原不等式获证.2.已知a1，a2，an都是实数，求证：(a1a2an)2aaa.证明(121212)(aaa)(1a11a21an)2.n(aaa)(a1a2an)2(a1a2an)2aaa.一、选择题1.设a，b，c(0，)，且abc3，则的最小值为()A.9B.3C.D.1解析()2()2()2即(abc)32.又abc3，3，最小值为3.答案B2.已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值为()A.1 B.n C. D.2解析由柯西不等式(aaa)(xxx)(a1x1a2x2anxn)2得11(a1x1a2x2anxn)2，a1x1a2x2anxn1.所求的最大值为1.答案A3.已知2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.， B.，C.1， D.1，解析x2y2z2，当且仅当时，等号成立，则4k9k16k29k10，解得k，选B.答案B二、填空题4.已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为_.解析4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2即4(16e2)(8e)2，即644e26416ee25e216e0，故0e.答案5.设a，b，c0且abcA(A为常数).则的最小值为_.解析.答案三、解答题6.已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的最值.解由柯西不等式得，有(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2由条件可得，5a2(3a)2解得，1a2当且仅当时等号成立，代入b，c，d时，amax2.b1，c，d时，amin1.7.设a1a2anan1，求证：0.证明a1an1(a1a2)(a2a3)(anan1)，(a1a2)(a2a3)(anan1)()2n21.(a1an1)1.即，故0.8.设P是ABC内的一点，x，y，z是P到三边a，b，c的距离.R是ABC外接圆的半径，证明：.证明由柯西不等式得， .设S为ABC的面积，则axbycz2S2， ，故不等式成立.9.已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值.解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立.又a0，b0，所以|ab|ab.所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式，得(491)(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立，故a2b2c2的最小值是.2排序不等式学习目标1.了解排序不等式的“探究猜想证明应用”的研究过程.2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.预习自测1.定理1：设a，b和c，d都是实数，如果ab，cd，那么acbdadbc，此式当且仅当ab(或cd)时取“”号.2.定理2：(排序不等式)设有两个有序实数组a1a2an及b1b2bn，则(顺序和)a1b1a2b2anbn (乱序和) a1bj1a2bj2anbjn (逆序和) a1bna2bn1anb1.其中j1，j2，jn是1，2，n的任一排列方式.上式当且仅当a1a2an(或b1b2bn)时取“”号.自主探究1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？提示有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系.与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种.与单价一元对应的只有一种.由乘法分步计数原理知共有3216种不同的购买方案.根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多的件数，即15243219元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即12243525元.2.设有两组实数，a1a2a3，b1b2b3，设c1、c2、c3是b1、b2、b3的任一个排列，作和a1c1a2c2a3c3，你能猜测和的最大值及最小值分别是怎样的和式吗？提示由问题1我应得到启发，和最大的应该为a1b1a2b2a3b3，和最小的应该是a1b3a2b2a3b1.3.有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i1，2，10)个人的水桶需要ti分，假设这些ti各不相同，问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最小？这个最少的总时间等于多少？(根据排序原理回答)提示不妨设t1t2t10，1230，abc0，于是abc.1.已知a1a2an，b1b2bn，求证：(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn).证明令Sa1b1a2b2anbn，则Sa1b2a2b3anb1，Sa1b3a2b4anb2，Sa1bna2b1anbn1，将上面n个式子相加，并按列求和可得nSa1(b1b2bn)a2(b1b2bn)an(b1b2bn)(a1a2an)(b1b2bn)S(a1a2an)(b1b2bn)即(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn).【例2】 设a1，a2，an是n个互不相同的正整数，求证：1a1.证明122232.设c1，c2，cn是a1，a2，an由小到大的一个排列，即c1c2c3cn，根据排序原理中，逆序和乱序和，得c1a1，而c1，c2，cn分别大于或等于1，2，n，c111，1a1.2.设c1，c2，cn为正数组a1，a2，an的某一排列，求证：n.证明不妨设0a1a2an，则.因为，是，的一个排序，故由排序原理：逆序和乱序和得a1a2ana1a2an.即n.知识点2利用排序原理求最值【例3】 设a，b，c为任意正数，求的最小值.解不妨设abc，则abacbc，由排序不等式得，上述两式相加得：23.即.当且仅当abc时，取最小值.3.设00，则有由排序不等式，得，即，.2.已知a，b，c为正数，abc.求证：.证明abc0，a3b3c3，a3b3a3c3b3c3，又a5b5c5，由排序原理得：(顺序和乱序和)，即，又a2b2c2，由乱序和逆序和得：.一、选择题1.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A.axbycz B.azbycxC.aybzcx D.aybxcz解析法一用特值法进行验证.令x1，y2，z3，a1，b2，c3.A项：axbycz14914；B项：azbycx34310；C项：aybzcx26311；D项：aybxcz22913.故选B.法二由顺序和乱序和反序和.可得azbycx最小.答案B二、填空题2.设a1，a2，a3，an为正数，那么Pa1a2an与Q的大小关系是_.解析假设a1a2a3an，则，并且aaaa，Pa1a2a3an，是反顺和，Q是乱顺和，由排序不等式定理PQ.答案PQ三、解答题3.设a1，a2，an为正数，求证：a1a2an.证明不妨设a1a2an0，则有aaa也有BC，则有abc，由排序原理：顺序和乱序和.aAbBcCaBbCcA；aAbBcCaCbAcB；aAbBcCaAbBcC.上述三式相加得3(aAbBcC)(ABC)(abc)(abc).法二不妨设ABC，则有abc，由排序不等式，即aAbBcC(abc)，.5.设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3b3c33abc.证明不妨设abc0，a2b2c2，由排序原理：顺序和逆序和，得：a3b3a2bb2a，b3c3b2cc2b，c3a3a2cc2a，三式相加得2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2).又a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.所以2(a3b3c3)6abc，a3b3c33abc.当且仅当abc时，等号成立.6.设a，b，c是正实数，求证：aabbcc(abc).证明不妨设abc0，则lg alg blg c.据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg calg ablg bclg cclg aalg bblg calg ablg bclg calg ablg bclg c上述三式相加得：3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)lg(abc).故aabbcc(abc).7.设xi，yi (i1，2，n)是实数，且x1x2xn，y1y2yn，而z1，z2，zn是y1，y2，yn的一个排列.求证： (xiyi)2 (xizi)2.证明要证 (xiyi)2 (xizi)2只需证y2xiyiz2xizi.因为yz，只需证xizixiyi.而上式左边为乱序和，右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立.故不等式 (xiyi)2 (xizi)2成立.8.已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).证明不妨设abc0.则a2b2c2，abacbc，a2(ab)b2(ac)c2(bc)a2(bc)b2(ac)c2(ab)，即a3c3a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab)，又a2b2c2，abc，a2bb2aa3b3，b2cc2bb3c3.即a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab).3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法学习目标1.理解归纳法和数学归纳法原理.2.会用数学归纳法证明有关问题.预习自测1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常称为归纳法.2.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当n取初始值n0时命题成立；(2)假设当nk时命题成立，证明nk1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.自主探究1.为什么数学归纳法能够证明无限多个正整数都成立的问题呢？提示这是因为第一步首先验证了n取一个值n0，这样假设就有了存在的基础，至少kn0成立，根据假设和合理推证，证明出nk1也成立.这实质上是证明了一种循环.如验证了n01成立，又证明了nk1也成立，这就一定有n2成立；n2成立，则n3也成立；n3成立，则n4也成立.如此反复，以至对所有nn0的整数就都成立了.数学归纳法非常巧妙地解决了一种无限多的正整数问题，这就是数学方法的神奇.2.在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？提示不可以；这两个步骤缺一不可，只完成步骤而缺少步骤，就作出判断可能得出不正确的结论.因为单靠步骤，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定.同样，只有步骤而缺少步骤时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤也就没有意义了.3.利用数学归纳法时，第二步为什么必须利用归纳假设？提示第二步实际上是证明一个条件命题：“假设nk(kn0，kN)时命题成立，证明当nk1时命题也成立”，其本质是证明一个递推关系，若不用归纳假设，就是没有证明这种递推关系，所以归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了.典例剖析知识点1利用数学归纳法证明等式【例1】 用数学归纳法证明12223242(1)n1n2(1)n1.证明(1)当n1时，左边121，右边(1)01，等式成立.(2)假设nk(kN，k1)时，等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有：12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k，nk1时，等式也成立.由(1)(2)得对任意nN有：12223242(1)n1n2(1)n1.【反思感悟】 利用数学归纳法证明等式的关键是当nk1时利用假设nk成立进行转化证明，要分清楚增加的几项分别是什么.1.用数学归纳法证明：1.证明(1)当n1时，左边1，右边，命题成立.(2)假设当nk (k1)时命题成立，即1，那么当nk1时，左边1.上式表明当nk1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立.【例2】 证明1(其中nN)成立的过程如下，请判断证明是否正确？为什么？证明：(1)当n1时，左边，右边1.当n1时，等式成立.(2)假设当nk (k1)时，等式成立，即1，那么当nk1时，左边1右边.这就是说，当nk1时，等式也成立. 根据(1)和(2)，可知等式对任何nN都成立.解不正确，错误的原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了当nk1时，式子的和，而没有利用“归纳假设”.正确的证明如下：(1)当n1时，左边，右边1，等式成立.(2)假设当nk (kN，k2)时，等式成立，就是1，那么当nk1时，左边111右边.这就是说，当nk1时，等式也成立.根据(1)和(2)，可知等式对任意nN都成立.【反思感悟】 在推证“nk1”命题也成立时，必须把“归纳假设”nk时的命题，作为必备条件使用上，否则不是数学归纳法.对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1的关系时，项数发生什么变化被弄错是常见错误.2.用数学归纳法证明： (n2).证明(1)当n2时，左边1，右边，等式成立.(2)假设当nk (kN，k2)时，等式成立，即.则当nk1时，即nk1时，等式成立.由(1)(2)知，对于任意正整数n(n2)，原等式成立.知识点2用数学归纳法证明不等式【例3】 用数学归纳法证明：12 (n2).证明(1)当n2时，12，命题成立.(2)假设nk (kN，k2)时命题成立，即12，当nk1时，12222，命题成立.由(1)、(2)知原不等式在n2时均成立.【反思感悟】 (1)由nk到nk1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.3.1 (nN).证明(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，即命题成立.(2)假设当nk(kN，k1)时，命题成立，即1.那么当nk1时，1.由(1)(2)知原不等式在nN时均成立.课堂小结1.数学归纳法的两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就可能得出不正确的结论，因为单靠(1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤(2)而没有步骤(1)也可能得出不正确的结论.因为缺少(1)，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了.2.数学归纳法证明的关键是第二步，此处要搞清两点：(1)当nk1时，证明什么，即待证式子的两端发生了哪些变化.(2)由nk推证nk1时，可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明，只不过必须得把nk时的结论作为条件应用上.随堂演练1.用数学归纳法证明：“1aa2an1 (a1)”在验证n1时，左端计算所得项为()A.1 B.1aC.1aa2 D.1aa2a3答案C2.用数学归纳法证明等式：123n2 (nN)，则从nk到nk1时，左边应添加的项为()A.k21B.(k1)2C.D.(k21)(k22)(k23)(k1)2答案D3.已知a1，an1，nN，求证：an2.证明(1)n1时，a1，a12.(2)假设nk (k1)时，ak2，当nk1时，ak12.故nk1时，命题成立.由(1)(2)知，nN时，an(n2，nN).证明(1)当n2时，左边，不等式成立.(2)假设nk (k2，kN)时命题成立，即，则当nk1时，所以当nk1时不等式也成立.由(1)(2)可知，原不等式对一切n2，nN均成立.9.在数列bn中，b12，bn1(nN).求b2，b3，试判定bn与的大小，并加以证明.解由b12，bn1，得b2，b3.经比较有b1，b2，b3.猜想bn(nN).下面利用数学归纳法证明.(1)当n1时，因b12，所以b1.(2)假设当nk(k1，kN)时，结论成立，即bk.bk0.当nk1时，bk10.bk1，也就是说，当nk1时，结论也成立.根据(1)、(2)，知bn(nN).10.用数学归纳法证明：当nN时，(123n)n2.证明(1)当n1时，左边1，右边121，左边右边，不等式成立.(2)假设nk (k1，kN)时不等式成立，即(123k)k2，则当nk1时，左边(12k)(k1)(123k)(123k)(k1)1k2(k1)1k21(k1)，当k2时，11，左边k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说，当nk1时，不等式成立.由(1)(2)知，当nN时，不等式成立.3.2数学归纳法的应用学习目标1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式.2.了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用.3.会用数学归纳法证明贝努利不等式.预习自测1.对任何实数x1和任何正整数n，有(1x)n1nx.2.设为有理数，x1，如果01，则(1x)1x；如果1，则(1x)1x，当且仅当x0时等号成立.典例剖析知识点1用数学归纳法证明绝对值不等式【例1】 设x1，x2，xn为实数，证明：|x1x2xn|x1|x2|xn|.证明(1)|x1x2|x1|x2|，n2时命题成立.(2)假设命题nk (k2，kN)时成立，即|x1x2xk|x1|x2|xk|，于是，当nk1时，|x1x2xk1|(x1x2xk)xk1|x1x2xk|xk1|x1|x2|xk|xk1|.即当nk1时，命题也成立.由(1)(2)知，对于任意nN命题都成立.1.证明不等式|sin n|n|sin | (nN).证明(1)当n1时，上式左边|sin |右边，不等式成立.(2)假设当nk (k1)时，命题成立，即有|sin k|k|sin |.当nk1时，|sin(k1)|sin(k)|sin kcos cos ksin |sin kcos |cos ksin |sin k|sin |k|sin |sin |(k1)|sin |.即当nk1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立.知识点2用数学归纳