高考数学总复习 第2章 第4节 函数的奇偶性与周期性课件 新人教A版.ppt

第四节函数的奇偶性与周期性 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 最小正周期的含义 会判断 应用简单函数的周期性 一 函数的奇偶性 任意一个 f x f x y轴 原点 任意一个 f x f x 1 奇偶函数的定义域有何特点 提示 若函数f x 具有奇偶性 则f x 的定义域关于原点对称 反之 若函数的定义域不关于原点对称 则该函数无奇偶性 二 奇偶函数的性质1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 填 相同 相反 2 在公共定义域内 1 两个奇函数的和函数是 两个奇函数的积函数是 相同 相反 奇函数 偶函数 2 两个偶函数的和函数 积函数是 3 一个奇函数 一个偶函数的积函数是 3 若f x 是奇函数且在x 0处有定义 则f 0 0 4 若f x 是偶函数 则有f x f x f x 偶函数 奇函数 2 若f x 是偶函数且在x 0处有定义 是否有f 0 0 提示 不一定 如f x x2 1 而f 0 1 三 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中的正数 那么这个正数就叫做f x 的最小正周期 f x 存在一个最小 最小 答案 a 2 2011广东高考 设函数f x 和g x 分别是r上的偶函数和奇函数 则下列结论恒成立的是 a f x g x 是偶函数b f x g x 是奇函数c f x g x 是偶函数d f x g x 是奇函数 解析 函数f x 和g x 分别是r上的偶函数和奇函数 f x f x g x g x 令f x f x g x f x f x g x f x g x f x g x f x 故f x 为偶函数 即f x g x 是偶函数 答案 a 3 若函数f x 是定义在r上的偶函数 在 0 上是减函数 且f 2 0 则使得f x 0的取值范围是 a 2 b 2 c 2 2 d 2 2 答案 d 4 2011湖南高考 已知f x 为奇函数 g x f x 9 g 2 3 则f 2 解析 g 2 f 2 9 3 又因为f 2 f 2 所以f 2 9 3 6 答案 6 5 偶函数f x 是以4为周期的函数 f x 在区间 6 4 上是减函数 则f x 在 0 2 上的单调性是 解析 t 4 且在x 6 4 上单调递减 函数在 x 4 2 0 上也单调递减 又f x 为偶函数 故f x 的图象关于y轴对称 由对称性知f x 在 0 2 上单调递增 答案 递增 若f x f x 或f x f x 0 则f x 为奇函数 若f x f x 或f x f x 0 则f x 为偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既是奇函数又是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既不是奇函数也不是偶函数 2 分段函数奇偶性的判定步骤 1 分析其定义域是否关于原点对称 2 对x的值进行分段讨论 寻求f x 与f x 在各段上的关系 3 综合 2 在定义域内f x 与f x 的关系 从而判断f x 的奇偶性 思路点拨 首先判断函数的定义域 若可能具有奇偶性 则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简 最后判断f x 与f x 间的关系 相等还是互为相反数 特别提醒 函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质 其定义中要求f x 和f x 必须同时存在 所以函数定义域必须关于原点对称 这是函数具有奇偶性的前提 如果某一个函数的定义域不关于原点对称 它一定是非奇非偶函数 4 函数定义域为r 若x为无理数 则 x也是无理数 f x f x 0 若x为有理数 则 x也是有理数 f x f x 1 综上可知 对任意实数x都有f x f x f x 为偶函数 判断 或证明 抽象函数的奇偶性的步骤1 利用函数奇偶性的定义 找准方向 想办法出现f x f x 2 巧妙赋值 合理 灵活变形配凑 3 找出f x 与f x 的关系 得出结论 已知函数f x 对一切x y r 都有f x y f x f y 1 试判断f x 的奇偶性 2 若f 3 a 用a表示f 12 思路点拨 自主解答 1 显然f x 的定义域是r 关于原点对称 又 函数f x 对一切x y r都有f x y f x f y 令x y 0 得f 0 2f 0 f 0 0 再令y x 得f 0 f x f x f x f x f x 为奇函数 2 f 3 a且f x 为奇函数 f 3 f 3 a 又 f x y f x f y x y r f 12 f 6 6 f 6 f 6 2f 6 2f 3 3 4f 3 4a 解 1 令x1 1 x2 1得f 1 1 f 1 f 1 f 1 0 再令x1 1 x2 1 则f 1 1 f 1 f 1 即f 1 2f 1 f 1 0 令x1 x x2 1 则f x 1 f x f 1 即f x f x f x 是偶函数 关于函数周期性常用的结论 1 定义在r上的函数f x 若有两条对称轴x a x b 则f x 是周期函数且2 a b 是它的一个周期 2 若有两个对称中心 a 0 b 0 则f x 是周期函数且2 a b 是它的一个周期 3 若有一个对称中心 a 0 和一条对称轴x b 则f x 是周期函数且4 a b 是它的一个周期 5 如果t是函数y f x 的周期 则 kt k z且k 0 也是y f x 的周期 即f x kt f x 若已知区间 m n m n 的图象 则可画出区间 m kt n kt k z且k 0 上的图象 设f x 是定义在r上的奇函数 且对任意实数x 恒有f x 2 f x 当x 0 2 时 f x 2x x2 1 求证 f x 是周期函数 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 3 计算f 0 f 1 f 2 f 2011 自主解答 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 是周期为4的周期函数 2 当x 2 0 时 x 0 2 由已知得f x 2 x x 2 2x x2 又f x 是奇函数 f x f x 2x x2 f x x2 2x x 2 0 又当x 2 4 时 x 4 2 0 f x 4 x 4 2 2 x 4 又f x 是周期为4的周期函数 f x f x 4 x 4 2 2 x 4 x2 6x 8 从而求得x 2 4 时 f x x2 6x 8 3 f 0 0 f 2 0 f 1 1 f 3 1 又f x 是周期为4的周期函数 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 2008 f 2009 f 2010 f 2011 0 f 0 f 1 f 2 f 2011 0 特别提醒 本例 2 易找不到思路而无法进行 原因是不能灵活运用函数的奇偶性 周期性 活学活用 3 已知f x 是定义在r上的函数 且满足f 1 x f 1 x 则 f x 为偶函数 是 2为函数f x 的一个周期 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 若f x 是偶函数 则f x 2 f 1 1 x f 1 1 x f x f x 即f x 的一个周期为2 若2是f x 的一个周期 则f x f x 2 f 1 1 x f 1 1 x f x 即f x 是偶函数 综上知 f x 为偶函数 是 2为函数f x 的一个周期 的充要条件 答案 c 题眼 函数性质的综合应用 12分 函数f x 的定义域d x x 0 且满足对于任意x1 x2 d 有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 1 的值 2 判断f x 的奇偶性并证明 3 如果f 4 1 f 3x 1 f 2x 6 3 且f x 在 0 上是增函数 求x的取值范围 审题 1 从f 1 联想自变量的值为1 进而想到赋值x1 x2 1 2 判断f x 的奇偶性 就是研究f x f x 的关系 从而想到赋值x1 x x2 1 即f x f 1 f x 3 就是要出现f m n的形式求解 满分展示 解 1 令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 2分 2 f x 为偶函数 证明如下 4分令x1 x2 1 有f 1 1 f 1 f 1 解得f 1 0 令x1 1 x2 x 有f x f 1 f x f x f x f x 为偶函数 7分 3 f 4 4 f 4 f 4 2 f 16 4 f 16 f 4 3 8分由f 3x 1 f 2x 6 3 变形为f 3x 1 2x 6 f 64 f x 为偶函数 f x f x f x 不等式 等价于f 3x 1 2x 6 f 64 9分又 f x 在 0 上是增函数 3x 1 2x 6 64 且 3x 1 2x 6 0 答题样板 解函数不等式的问题一般是 第一步 确定函数f x 在给定区间上的单调性 第二步 利用奇偶性将函数不等式转化为f m f n 的形式 第三步 运用函数的单调性 去掉 函数的抽象符号 f 转化成一般的不等式或不等式组 第四步 解不等式或不等式组确定解集 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点及解题规范 心得 数学解题的过程就是一个转换的过程 解题质量的高低 取决于每步等价转换的规范程度 如果每一步等价转换都是正