第六章不等式教材分析.doc

第六章：“不等式”教材分析 房山区教师进修学校中学数学教研室 张 吉一、地位和作用不等式主要研究数的不等关系。它与数、式、方程、函数、三角等有密切的联系，在解决各类实际问题时也有广泛的应用因此，不等式是进一步学习数学的基础，是掌握现代科学技术的重要工具。1不等式具有变通灵活，应用广泛、知识综合，能力复合特点，因此它是高考数学命题中的热点问题，综观近几年的高考题中对不等式的考查，其分值约占1014%，着重考查：（1）求变量的范围；（2）解不等式；（3）使用均值不等式解最值、最优问题；（4）不等式的证明；（5）利用不等式解决应用问题。2小题特点：在选择题中侧重对不等式性质的考查，考查两个或三个实数的大小比较，有时还有与函数、方程等内容的小综合，在填空时侧重考查简单不等式的解法，建立不等式求参数的取值范围，应用基本不等式求函数最值等。3解答题的特点：它涉及数学各个分支，主要考查译读题目，肢解难点的数学能力及运动变化、树形结合、分类讨论、等价转化数学思想方法。（1）以函数（含数列）为背景，将函数的单调性、不等式的性质，基本不等式和均值定理等知识有机地结合在一起，考查考生的综合运用知识的能力。（2）以实际问题为背景，考查考生运用不等式和函数知识（建立函数模型）解决问题的能力，这样的试题一般是“两步曲”，第一步，建立函数关系，第二步，讨论不等关系，工具是均值不等式。（3）解不等式试题大多含有参数，似乎有点儿达到了分类讨论思想必考的情境。二、教学要求 （1）理解不等式的性质及其证明。 （2）掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理(不扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理)，并会简单的应用。 （3）掌握分析法、综合法、比较法等几种常用方法证明简单的不等式。 （4）掌握某些简单不等式的解法。（5）理解不等式 三、教学重点、难点1 教学重点（1）不等式的性质；（2）均值定理；（3）不等式的证明（方法：比较法、分析法、综合法、放缩法、数学归纳法；类型：证明等式、证明不等式、证明整除问题、证明公式、证明几何问题）；（4）不等式的解法（一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、指对数平等式、无理不等式、高次不等式、含参数的不等式）2教学难点（1）不等式的性质及其证明；（2）不等式的证明；（3）均值定理的应用。四、教学内容与课时安排（一）内容按排 (一)本章的主要内容是不等式的基本性质，不等式的证明，一些不等式的解法和含有绝对值不等式的定理等 。 (二)章头引言安排了一个实际问题求一个长方体无盖贮水池的最低总造价这个问题是一个求函数的最小值的问题，可以用函数的知识来解决，但如果用算术平均数与几何平均数的定理，则很容易。 第一小节是“不等式的性质”教科书首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明不等式的其他性质，都可由它们推导出来，另外，本小节还增加了两个利用不等式的性质证明不等式的例题，这一方面有利于学生运用、掌握不等式的性质及其推论，另一方面，也为学生以后学习不等式的证明打下了基础。 第二小节是“算术平均平均数与几何平均数”教科书首先证明了一个重要的不等式，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，最后，通过几个例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用。 第三小节是“不等式的证明”教科书通过七个例题分别介绍了证明不等式的三种基本方法比较法、综合法和分析法。 第四小节是“不等式的解法”教科书通过例1、例2，复习、总结了一元二次不等式、一元二次不等式组，简单的含有绝对值的不等式、简单的高次不等式和分式不等式的解法。 第五小节是“含有绝对值的不等式”在这一小节里，教科书介绍了含有绝对值的不等式的一个定理及其证明，并给出了它的两个推论，在例题中，介绍了它们的应用。 （二）课时安排1课时安排本章教材是在初中介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，高一学习了一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式的解法的基础上，研究了不等式的性质，不等式的证明和一些不等式的解法。本章教学约需17课时，具体分配如下，仅供以参考： 节次内容课时61不等式的性质 3课时62算术平均数与几何平均数2课时63不等式的证明6课时64不等式的解法举例2课时65含有绝对值的不等式2课时66小结与复习2课时五、分节说明（一）61不等式的性质1.本节重点与难点(1)重点: 实数的性质；不等式的性质。(2)难点:对不等式性质的理解与应用。2.内容分析与举例(1)实数的性质：；。(2)不等式的性质：；，；， ； 。例1 若则:(1)是_;(2)的取值范围是_;(3)的取值范围是_.例2 （1）若，则_; (2)若,则_;(3)若,则_; (4)若,则_;(5)若,则_; (6)若,则_.例3.若，则下列不等关系中不成立的是（ ）A B C D例4 已知a、b、c满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 例5 对任意实数，在下列命题中，真命题是（ ）A是的必要条件 B是的必要条件C是的充分条件 D是的充分条件例6 若，则下列不等式成立的是( ) （A）. （B）. （C）.（D）例7 若a0，b0，则不等式ba等价于（ ）Ax0或0x B.x C.x D.x(二)6.2算术平均数与几何平均数1.本节重点与难点（1）重点：对均值定理的理解。（2）难点：运用均值定理解决实际问题。2.内容分析与举例（1）重要不等式：（2）均值定理均值定理的内容：均值定理的适用条件：一正：参与运算的数都是正数；二定： 参与运算的数的和为定值或积为定值；三相等：当每个数都相等时取等号。和为定值时，积有最大值；积为定值时，和有最小值。（3）均值定理的推广：（当且仅当时取等号）。例11.,则函数的值域为( )A. B. C. D.-2,2例2.若,则函数有( )A.最大值 B. 最小值C. 最大值 D. 最小值例3.已知有（ ）A最大值B最小值C最大值1D最小值1例4设，已知命题；命题，则是成立的（ B ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件例5“abc”是“ab”的 （A ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件例6已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （B）（）8（）6（C）4（D）2例7某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力. 解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800. 蔬菜的种植面积 所以 当答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.（三）不等式的证明1.本节重点与难点（1）重点：掌握证明不等式常用的方法。（2）难点：掌握证明不等式常用的方法。2.内容分析与举例（1）证明不等式常用的方法：比较法：比差法与式比商法；综合法：由因导果，即：由已知条件出发，推导出要证明的不等式成立，其逻辑关系是：；分析法：执果索因，即：步步寻求上一步成立的充分条件，其逻辑关系是：；放缩法：把不等式一边一步步放大或缩小，推导不等式成立。判别式法：利用判别式推导出要证明的不等式。例1甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。若，问甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地点到指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别是，则 =甲比乙先到达指定地点。例2若,且,则( C ) A. B. C. D. 例3证明：。证明：设函数，则，即.(1)当，即时，由得当时，把代入(1)式,得,满足条件.综上可知, ,即.例4.已知,且满足,求的取值范围.解:2.例5.已知,求证:.证明: .原不等式成立.(四)不等式的解法1.本节重点与难点（1）重点：掌握一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、绝对值不等式、指数不等式、对数不等式、无理不等式及其不等式组的解法。（2）难点：绝对值不等式与无理不等式的解法。含参数的不等式的解法。2.内容分析与举例（1）一元二次不等式的解法：化二次项系数为正数；判断不等式对应的方程的根的情况；根据方程的根结合二次函数的图象写出解集。（2）高次不等式的解法：用穿线法，重根注意奇穿偶不穿。（3）分式不等式的解法：用穿线法；转化法：；。（4）绝对值不等式的解法：；，利用数轴标根法分段求解。（5）指数不等式解法：当时，；，利用换元法，令，则解出，再代入，求范围。（6）对数不等式的解法：当时，利用换元法，令则解出，再代入，求范围。（7）无理不等式的解法：（8）含参数的不等式的解法：需要分类讨论。例1（1）不等式的解集是（ A ） A B C D（2）不等式的解集为（ A ）A B C D 例2设函数 ，则使得的自变量的取值范围为 （ A ）A B C D例3（1）不等式的解集为（ D ）A B C D(2)不等式的解集是_.(3)不等式的解集是_.例4设a0,n1,函数f(x)=alg(x2-2n+1) 有最大值.则不等式logn(x2-5x+7) 0的解集为_(2,3)_.例5不等式的解集为_.解：综上：例6. 12（2006年江西卷）若不等式x2ax10对于一切x（0，）成立，则a的取值范围是（ C ）A.0 B.2 C.- D.-3解：设f（x）x2ax1，则对称轴为x若，即a1时，则f（x）在0，上是减函数，应有f（）0x1若0，即a0时，则f（x）在0，上是增函数，应有f（0）10恒成立，故a0若0，即1a0，则应有f（）恒成立，故1a0综上，有a故选C例7. (2006年山东卷）设f(x)= 则不等式f(x)2的解集为 (C)(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）例8.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为.数列的前项和为，点均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.解：（1）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n2