（试题 试卷 真题）第15讲 平行与垂直、空间角和距离

第15讲 平行与垂直、空间角和距离一考纲要求（1）掌握两条直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定定理和性质定理（2）掌握异面直线、直线和平面所成的角、二面角的概念和求法（3）会求异面直线（只要求会计算已给出公垂线时的距离）、点与平面、直线和平面的距离（4）灵活应用三垂线定理及其逆定理二基础过关1. 已知m、n是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：若m，n，则mn；若m，m，则；若=n，mn，则m且m；若m，m，则.其中真命题的个数是 （ B ）A B CDA1B1C1D1BCEFO（A）0 （B）1 （C）2 （D）32. 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 （ B ）(A) (B) (C) (D)AB1CBMN3. 如图，RtABC，C=，AC=BC，M、N分别是BC、AB的中点，沿直线MN将BMN折起，使得二面角B1MNB为，则斜线B1A与平面ABC所成的角的正切值为 ( C )(A) (B) (C) (D) A B CDA1B1C1D1BC4. 如图：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点A关于A1C、BD1的对称点分别为P、Q，则P、Q两点间的距离为 （ A ）(A) (B) (C) (D) 5. 已知ABC中，AB=9，AC=15，BAC=，平面外一点P到三个顶点的距离都为14，则P到平面ABC的距离为 （ D ）(A)13 (B)11 (C)9 (D) 76. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 （ D ）(A) 直线 （B）圆 （C）双曲线 （D）抛物线ADCBP三案例探究例1如图,已知四棱锥PABCD，PBAD，侧面PAD为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与平面ABCD所成的二面角为120o，（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成的二面角的大小.（2004年全国理科试题）解：（1）如图：ADCBPEO作PO平面ABCD,垂足为O，连接OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连接PEADPB ADOBPA=PD OD=OAPEAD故 PEB为面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角 易得 PO故点P到平面ABCD的距离为（2）如图：取PB的中点G，取PC的中点F，连接EG、AG、GFADCBPEOFG 易得AGF为面PAB与面PCB所成的二面角的平面角易得PEG= 故 AD面POB ADEG 在中， 故故面APB与面CPB所成的二面角的大小为例2. 如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PA平面ABCD，AB=2，PC与平面ABCD成450角，E、F分别为PA、PB中点,(1)求异面直线DE与AF所成角的大小；(2)设M是PC上的动点，试问当M在何处，才能使AM平面PBD,并证明你的结论.(3)当AM平面PBD时,求二面角MABP的大小.PCBADEFMO解：（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0），D(0，2，0），E(0，0，），F(1，0，），=(0，-2，），=(1，0，），设异面直线DE与AF所成角为， 故异面直线DE与AF所成角的为 （2）过点A作AMPO，易得AM平面PBD在等腰直角PAC中， AMPO A(0，0，0），P(0，0，）O(1，1，0）M（ 故当M距离平面ABCD时，AM平面PBD,（3）可以先考虑二面角MABC的大小. 由（2）易知二面角MABC的大小为故二面角MABC的大小.DEBC1A1B1ACG例3. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.（1）求A1B与平面ABD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）(2)求点A1到平面AED的距离.解法一（1）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即EBG是A1B与平面ABD所成角.设F为AB中点，连结EF、FC，（2）连结A1D，有, 设A1到平面AED的距离为h，则 . 故A1到平面AED的距离为.解法二：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2）E（a，a，1） G（）.，解得a=1.A1B与平面ABD所成角是.（2）同上四热身演练1. 在下列关于直线l、m与平面、的命题中,真命题是 ( B ) (A) 若l且,则l (B) 若l且,则l.(C) 若l且,则l. (D) 若=m且lm,则l2. 如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是1、3、6(要求：把你认为正确图形的序号都填上) 3. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为 ( D ) (A) (B) (C) (D)4. 正三棱锥的侧面与下底面所成的二面角的余弦值为，则其相邻两侧面所成的二面角的余弦值为 ( D ) (A) (B) (C) (D) 05. 正方体ABCDA1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持APBD1，则动点P的轨迹是（ A ）(A) 线段B1C(B) 线段BC1 （C）BB1中点与CC1中点连成的线段（D）BC中点与B1C1中点连成的线段6. 已知平面a与平面b交于直线l，P是空间一点，PAa，垂足为A，PBb，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在b内的射影与点B在a内的射影重合，则点P到l的距离为.7. 已知RtABC的直角顶点C在平面内, 斜边AB，AB=2,AC、BC分别和平面成45和30的角，则AB到平面的距离为 2 .8. 在三棱锥中，平面，D为BC的中点,且三棱锥的体积为，则二面角SBCA的平面角的正切值为；点A到平面SBC的距离为.B1O1A1OBA9. 如图，三棱柱OABO1A1B1，平面 OBB1O1平面OAB，O1OB=60，AOB=90，且OB=OO1=2，OA=求：（1）二面角O1ABO的大小； （2）异面直线A1B与AO1所成角的大小.G （上述结果用反三角函数值表示）H解：（1）做O1GOB，GHAB，连接O1H 则O1HG为二面角O1ABO的平面角 易得O1G= ，GH= 故 二面角O1ABO的平面角为（2）如图所示建立坐标系，坐标原点为G，则B（0，1，0）,A（，-1，0），O1（0，0，） A1（，0，） 设A1B与AO1所成角为 故A1B与AO1所成角为DCBAEFMNPQ10. 如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上移动，点在上移动，若（）（1）求的长；（2）为何值时，的长最小；（3）当的长最小时，求面与面所成二面角 的大小.解（1）作交于点，交于点，连结，依题意可得，且，即是平行四边形。由已知，（2） ，当时，即当、分别为、的中点时，的长最小，最小值为（3）取的中点，连结、，为的中点，即即为二面角的平面角又，所以，由余弦定理有故所求二面角为A CB A1 C1 B1 HO11. 已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，且（1）求侧棱与底面所成角的大小；（2）求侧面与底面所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面的距离.（1）解：过点A1作A1HAC，侧面底面，可得A1H底面 A1AH为与底面所成的角 A1AH=（2）过点H作HOAB，连接A1O则 A1OH为侧面与底面所成二面角在A1OH中，A1H=，OH=1 A1OH=（3）易得，故顶点C到侧面的距离为.DEBC1A1B1AC12 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D、E分别是与的中点，（1）求与BE所成的角（2）在