（试题 试卷 真题）湖北省荆州市2004年初中数学竞赛--2005年全国初中数学竞赛选拔赛试题

荆州市2004年初中数学竞赛2005年全国初中数学竞赛选拔赛试题考生注意：题号后标有“初二”者，为初二年级考生试题；题号后标有“初三”者为初三年级考生试题；没有特别标志的试题为公共试题，两个年级考生都做。初二年级考生不能做初三年级试题，初三年级考生不能做初二年级试题。满分均为120分。一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1若n满足(n2004)2+(2005n)2=1，则(2005n)(n2004)等于（ ）A1B0CD12如图1，已知CGE=120，则A+B+C+D+E+F=（ ）A150B210C240D2703设x、y、z均为正实数，且满足 ，则x、y、z三个数的大小关系是（ ）AzxyByzxCxyzDzyx4（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A点和B点（如图2）；A点和B点之间的距离是100米，陈洁离开A以每秒8米的速度沿着与AB成60角的直线上滑行，在陈洁离开A点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B点，这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度最早相遇.则最早相遇的时间是（ ）A18秒B20秒C22秒D秒5（初三）二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点（1，0）两点，则S=a+b+c的值的变化范围是（ ）A0S1B0S2C1S2D1S16（初三）方程组在实数范围内解的组数为（ ）A多于5组B5组C3组D1组7（初二）已知a、b都是正整数，那么a、b和8为边组成的三角形有（ ）A3个B4个C5个D无数个8（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不一定按此）.则此五边形的面积为（ ）A680B720C745D7609（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱（ ）图3A8元B6元C5元D4元二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）10已知p, q均为质数，且满足5p2+3q=59，则p+q= .11如图3，G是边长为4的正方表ABCD的边BC上一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD=5，则FG的长为 .12若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 人.13（初三）已知ABC是非等腰直角三角形，BAC=90，在BC所在直线上取两点D、E使DB=BC=CE，连结AD、AE；已知BAD=45，那么tanCAE= .14（初三）如图4，已知圆内接等边三角形ABC，在劣弧BC上有一点P，若AP与BC交于点D，且PB=21，PC=28，则PD= .15（初三）四条直线y=x+10，y=x+10，y=x10, y=x10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有 .（注：若x，y为整数，则(x、y)为整点）16（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的盈利是 元.17（初二）方程|x2y3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是 .18（初二）已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P使AOP为等腰三角形.则符合条件的点P共有 个.三、（本大题满分15分）19（初三）已知k是整数，且方程x2+kxk+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值.20（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入33的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x的值并说明理由.四、（本大题满分15分）21某出版公司为一本畅销书价如下： 这里的n表示订购书的数量，C(n)是订购书所付的钱款数（单位：元） （1）有多少个n，会出现买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少？ （2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，则出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？五、（本大题满分15分）22（初三）如图6：已知AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线，且BD垂直平分半径OC；在AC上取一点P使CP=OC，连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项.23（初二）如图7：已知在四边形ABCD中，AB=AD，ABAD；连结AC，过A点作AEAC，且使AE=AC；连结BE，过A点作AHCD，垂足为H，且交BE于点F，求证BF=EF.六、（本大题满分15分）24（初三）如图8，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，P在CD上移动，AP与DM交于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的是大值.25（初二），如图9，某古城护城河在CC处起直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计）.设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A，B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米.恰当地架桥可使ADD EED的路程最短.这个最短路程是多少米？参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；解答题请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1若n满足(n2004)2+(2005n)2=1，则(2005n)(n2004)等于（B）A1B0CD1 解答：设(2005n)=a, (n2004)=b a+b=1 a2+b=1 故选B.2如图1，已知CGE=120，则A+B+C+D+E+F=（ C ）A150B210C240D270解答：连结AG，则AGC=B+BAG, AGE=F+FAG,B+BAF+F=EGC=120则理C+D+E=BGF=120即A+B+C+D+E+F=240故选C3设x、y、z均为正实数，且满足 ，则x、y、z三个数的大小关 系是（ A ）AzxyByzxCxyzDzyx解答：x、y、z为正实数，则有，从而即得zxy.故选A.4（初三）两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A点和B点（如图2）；A点和B点之间的距离是100米，陈洁离开A以每秒8米的速度沿着与AB成60角的直线上滑行，在陈洁离开A点的同时，李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B点，这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度最早相遇.则最早相遇的时间是（ B ）A18秒B20秒C22秒D秒 解答：如图：过C作CDAB于点D 设满足题设的时间为t秒，则有AC=8t，BC=7t，又A=60. 由勾股定理知（舍）故选B.5（初三）二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和点 （1，0）两点，则S=a+b+c的值的变化范围是（ B ）A0S1B0S2C1S2D1S1解答：分别令x=0, y=1和x=1, y=0. 求得c=l, a=b1 S=a+b+c=2b.由题设知，且a0又由b=a+1及a0可以推知2b2.0S4的任何正整数，均可与8一起构成三角形的三边，故选D.8（初二）将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形（顺序不 一定按此）.则此五边形的面积为（ C）A680B720C745D760解答：如图：注意到切去的三角形的三边分别为5、12、13.S五边形=S长方形S三角形=3125512=745 故选C.9（初二）水果市场有甲、乙、丙三种水果，如果买甲2千克，乙1千克，丙4千克，共付 钱6元；如果买甲4千克，乙2千克，丙2千克，共付钱4元；今要买甲4千克，乙2 千克，丙5千克，则共应付钱（ A ）A8元B6元C5元D4元 解答：设甲、乙、丙三种水果每千克价分别为x、y、z元，由题设知（1）2+（2）得8x+4y+10z=16即4x+2y+5z=8，故选A.二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）10已知p, q均为质数，且满足5p2+3q=59，则p+q= 15 .解答：因为5p2+3q为奇数，故p, q必为一奇一偶，而p , q 均为质数，故p，q中有一个为2.若q为2，则5p2=，不合题意，舍去；若p为2，则q=13即p+q=15.11如图3，G是边长为4的正方表ABCD的边BC上一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD=5，则FG的长为.解答：连结AG SADG=S正方形ABCD=S长方形DEFG=16FG=，注：利用AEDGDC亦可.12若干名游客要乘坐汽车，要求每辆汽车坐的人数相等，如果每辆汽车乘坐30人，那么有一人未能上车；如果少一辆汽车，那么，所有游客正好能平均分到各辆汽车上，已知每辆汽车最多容纳40人，则有游客 961 人. 解答：设有x辆汽车，少一辆汽车后每辆车坐y人，有30x+1=y(x1) 从而所以x=2（不合题意）；x=32. 因此游客数为3032+1=961人.13（初三）已知ABC是非等腰直角三角形，BAC=90，在BC所在直线上取两点D、E使DB=BC=CE，连结AD、AE；已知BAD=45，那么tanCAE= . 解答：分别过B、C两点作BM/AC，CN/AB分别交AD、AC于M、N；容易知道AC=2BM，AB=2CN 又tanBAD=BM, tan从而tanBADtanCAE=又tanBAD=1即tanCAE=.14（初三）如图4，已知圆内接等边三角形ABC，在劣弧BC上有一点P，若AP与BC交于点D，且PB=21，PC=28，则PD= 12 .解答：由ABDCPD知又由ACDBPD知 二式相除得（注：此处用角平分线定理亦可直接得出）ABDCPD知15（初三）四条直线y=x+10，y=x+10，y=x10, y=x10，在平面直角坐标系中围成的正方形内（包含四边）整点的个数有 221 .（注：若x，y为整数，则(x、y)为整点） 解答：如图：分4个三角形考虑：AOB（仅不含BO边），BOC（仅不含CO边）COD（仅不含DO边）DOA（仅不含AO边）每个三角形内所含整点的个数均为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，再考虑原点，故共有554+1=221.16（初二）某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的盈利是 12 元. 解答：设盈利25%的成本价为x元, 亏损25%的成本价为y元,则有90x=25%x， 90y=25%y 解得x=72，y=120.从而利润为：(x+y)180=12元17（初二）方程|x2y3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是 1 . 解答：由题设知从而得到F面四个方程组： 解以上方程组，得惟一整数解.18（初二）已知点A（1，1）在平面直角坐标系中，在坐标轴上确定点P使AOP为等腰三角形.则符合条件的点P共有 8 个. 解答：当P在x轴上若OA为腰时，由OA=OP得P1(，0)，P2(，0)；由OA=AP得P3(2, 0); 若OA为底时，得P4（1，0）有4个点.当P在y轴上对称地也有4个点，所以满足题设的点共有8个.三、（本大题满分15分）19（初三）已知k是整数，且方程x2+kxk+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值. 解：设方程两个不相等的正实数根为a,b（不妨设ab） 于是a+b=k, ab=k+1.消去k有abab=1，即(a1)(b1)=2（10分） 只有a1=1，b1=2.即a=2，b=3.进而k=5.（15分）20（初二）如图5所示，将1到9这9个自然数填入33的方格中，使每一行、每一列，每条对角线的和都相等，试确定正中间方格x的值并说明理由. 解：x=5.（5分） 其理由是：按如图所示填字母a, b, c, d, e ,f , g , h , 有: a+b+c+d+x+e+f+g+h=1+2+3+4+5+6+7+8+9=458分 且有四式相加得(a+b+c+d+x+e+f+g+h)+3x=60 从而3x=15即x=5.（15分）四、（本大题满分15分）21某出版公司为一本畅销书价如下： 这里的n表示订购书的数量，C(n)是订购书所付的钱款数（单位：元） （1）有多少个n，会出现买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少？ （2）若一本书的成本是5元，现有两个人来买书，每人至少买一本，两人共买60本，则出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？ 解：（1）由C（25）=275，C（24）=288，C（23）=276，C（22）=264；有C（25）（23）C（24） 由C(49)=490, C(48)=528, C(47)=517, C(46)=506, C(45)=495, C(44)=484, 有C(49)C(45)C(46)C(47)C(48); 故共有6个n（即23，24，45，46，47，48）出现买多于n本书比恰买n本所花的钱少.（5分） （2）设两人共购买a本和b本共付钱S元，不妨设ab，由a+b=60知道1a30 （i）当1a11时，49b59，S=12a+10b=10(a+b)+2a=600+2a 602S622 （ii）当12a24时，36b48 S=12a+11b=660+a 672S684 （iii）当25a30时，30b48 S=11a+11b=660 故出版公司最少赚602605=302元，最多赚684605=384元（15分）五、（本大题满分15分）22（初三）如图6：已知AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线，且BD垂直平分半径OC；在AC上取一点P使CP=OC，连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项. 证明：连结OB、AF. BD垂直平分半径OC，BO=BC 又OB=OC=CP CP=CB从而PBC=BPC； 又PBD=PBCCBD ABP=BPCBAC 而已知OCBD得到点C是弧BD中点 BAC=DAC=CBD 因此PBD=ABP即P为ABD的内心.（10分） 这样一来，EAF=ABF，F=F， AEFBAF即得AF2=EFBF 又因为FAP=FAE+CAD FPA=ABF+BAC 由内心可知，CAD=BAC，FAE=ABF 所以FAP=FPA即PF=AF （15分） 因此PF2=EFBF结论成立.23（初二）如图7：已知在四边形ABCD中，AB=AD，ABAD；连结AC，过A点作AEAC，且使AE=AC；连结BE，过A点作AHCD，垂足为H，且交B