高考数学总复习 第二章第八节 函数与方程课件 理.ppt

第八节函数与方程 1 函数零点 1 定义 对于函数y f x x d 把使 成立的实数x叫做函数y f x x d 的零点 2 函数零点与方程根的关系 方程f x 0有实根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 3 零点存在定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 内有零点 即存在x0 a b 使得 f x 0 x轴 零点 f a f b 0 a b f x0 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 3 二分法对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分为二 零点 1 函数的零点是函数y f x 的图象与x轴的交点吗 提示 不是 函数的零点是一个实数 是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 2 若函数y f x 在区间 a b 内有零点 则y f x 在区间 a b 上的图象是否一定是连续不断的一条曲线 且有f a f b 0呢 提示 不一定 如图所示 函数都有零点 但不连续或不满足f a f b 0 1 教材改编题 如图所示的函数图象与x轴均有交点 但不能用二分法求交点横坐标的是 解析 二分法适用于在 a b 上连续且f a f b 0的情形 答案 a 2 2011 福建高考改编 若函数f x x2 mx 1有两个零点 则实数m的取值范围是 a 1 1 b 2 2 c 2 2 d 1 1 解析 依题意 m2 4 0 m 2或m 2 答案 c 答案 c 4 2012 保定模拟 下列是函数f x 在区间 1 2 上一些点的函数值 由此可判断 方程f x 0的一个近似解为 精确度0 1 且近似解保留两位有效数字 解析 f 1 438 f 1 4065 0 且 1 438 1 4065 0 0315 0 1 f x 0的一个近似解为1 4 答案 1 4 函数零点的求解与判定 思路点拨 注意到三角函数cosx的有界性 可将区间 0 分成 0 1 与 1 两部分 根据函数的单调性和零点存在定理分别在两个区间上确定函数零点的个数 答案 b 解析 由f x x a 0 得f x x a 令g x x a 在同一坐标系中分别作出函数f x 与g x 的图象 如图所示 从图象可知 当a 1时 两函数图象有且只有一个交点 故实数a的取值范围是 1 答案 1 若函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 参考数据如下 二分法及其应用 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 精确度0 1 为 a 1 25b 1 375c 1 40625d 1 5 思路点拨 1 二分法求近似零点 需将区间一分为二 逐渐逼近 2 必须满足精确度要求 即 a b 0 1 尝试解答 根据题意知函数的零点在1 40625至1 4375之间 又 1 4375 1 40625 0 03125 0 1 故方程的一个近似根可以是1 40625 答案 c 1 解答本题一要从图表中寻找数量信息 二要注意精确度的含义 切不可与 精确到 相 混淆 2 1 用二分法求函数零点的近似解必须满足 y f x 的图象在 a b 内连续不间断 f a f b 0 2 在第一步中 尽量使区间长度缩短 以减少计算量及计算次数 在用二分法求方程x3 2x 1 0的一个近似解时 现在已经将根锁定在区间 1 2 内 则下一步可断定该根所在的区间为 函数零点的应用 思路点拨 1 g x m有零点 可以分离参数转化为求函数最值 2 结合函数f x 与g x 图象特征 转化为关于m的不等关系 进而求出m的取值范围 f x x2 2ex m 1 x e 2 m 1 e2 其对称轴x e f x max m 1 e2 若函数f x 与g x 的图象有两个交点 必须有m 1 e2 2e 即m e2 2e 1 即g x f x 0有两个相异实根 m的取值范围是 e2 2e 1 1 第 2 问常见的错误是 不能找出f x max与g x min之间的不等关系 或弄错不等号方向 2 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题 关键是利用函数方程思想或数形结合思想 构建关于参数的方程或不等式 解方程 不等式 确定参数范围 或采取分离参数 转化为求函数的值域加以解决 设函数f x ax2 bx b 1 a 0 1 当a 1 b 2时 求函数f x 的零点 2 若对任意b r 函数f x 恒有两个不同零点 求实数a的取值范围 解 1 当a 1 b 2时 f x x2 2x 3 令f x 0 得x 3或x 1 函数f x 的零点为3或 1 2 依题意 f x ax2 bx b 1 0有两个不同实根 b2 4a b 1 0恒成立 即对于任意b r b2 4ab 4a 0恒成立 所以有 4a 2 4 4a 0 a2 a 0 a2 a 0 解之得0 a 1 因此实数a的取值范围是 0 1 从近两年的高考试题来看 函数的零点 方程的根的问题是高考的热点 题型以客观题为主 考查函数的零点 方程的根并注重考查函数与方程的思想方法 思想方法之四数形结合思想在求函数零点中的应用 2011 山东高考 已知函数f x logax x b a 0 且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 n n 则n 解析 令y1 logax y2 b x 函数f x 的零点就是这两个函数图象交点的横坐标 由于直线y2 b x在y轴上的截距b满足3 b 4 结合图象 如图所示 函数f x 有唯一零点x0 且x0 2 注意到2 a 3 且3 b 4 可进一步得到 f 2 loga2 2 b 1 2 b 0 f 3 loga3 3 b 1 3 b 0 且f x logax x b在 0 上是增函数 x0 2 3 故n 2 答案 2 易错提示 1 作图不规范 难以直观观察到x0 2 导致计算有误 2 缺乏数形结合的思维意识 难以联想到求f 2 f 3 值的符号 思维受阻