（试题 试卷 真题）2014年新课标Ⅱ高考数学(理)

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷）第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则( )A B C D2设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）A B C D3设向量满足，则( )A1 B2 C3 D54钝角三角形的面积是，则( )A5 B C2 D15某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A B C D6如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A B C D 7执行右图程序框图，如果输入的 均为2，则输出的（ ）是否结束输出，开始输入，是否A4 B5 C6 D78设曲线在点处的切线方程为，则（ ）A0 B1 C2 D39设满足约束条件则的最大值为（ ）A10 B8 C3 D210设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ）A B C D11直三棱柱中，分别是的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）A B C D12设函数若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ）A B C D第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二填空题13的展开式中，的系数为，则_(用数字填写答案)14函数的最大值为_15已知偶函数在单调递减，若，则的取值范围是_16设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是_三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知数列满足，（）证明是等比数列，并求的通项公式；（）证明：18（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， ，E为PD的中点（）证明：；（）设二面角为60， ， ，求三棱锥 的体积19 （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入 （单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号 1234567人均纯收入29333644485259（）求关于的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，20（本小题满分12分）设分别是椭圆 （ ）的左右焦点，M是C上一点且 与 轴垂直，直线与C的另一个交点为N（）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；（）若直线MN在 轴上的截距为2，且，求21（本小题满分12分）已知函数。（）讨论 的单调性；（）设 ，当时，,求的最大值；（）已知，估计 的近似值（精确到0.001）。22（本小题满分10）选修41：几何证明选讲如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E证明：（） ；（）。23 （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为 ，（）求C的参数方程；（）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定D的坐标24（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数 （ ）。（）证明：；（）若 ，求的取值范围参考答案一、选择题1D解析1：直接检验法把中的数，代入不等式，经检验满足。解析2：把0，1，2代人验证，只有1，2满足不等式，故选D. 考点：考查集合与一元二次不等式的知识，简单题.2A.解析： 与 关于虚轴对称， ，故选A.解析2：考察复平面坐标与复数一一对应，对应点关于虚轴（y轴）对称点为，因此考点：考查复数的基本知识，简单题.3A.解析： ，故选A.解析2：考察向量的运算，是课本上的原型，（1）同理有（2），(1)-(2)= 即考点：考查平面向量的数量积，中等题.4B.解析1：ABC面积为 ， 当B=45时， 此时，AC=AB=1,故A=90，这与ABC为钝角三角形矛盾.当B=135时，故选B.解析2：因为，所以，所以，或。当时，经计算为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。所以，使用余弦定理，得。解析3：考察三角形面积公式与余弦定理的简单应用，则有，因此当时，AC=1注意此时为等腰直角三角形不合题意舍去，当时，（大边对大角）满足条件考点：考查正余弦定理的应用，中等题.5A.解析1：设第i天空气优良记着事件 ，则 ,第1天空气优良，第2天空气也优良这个事件的概率为，故选A.解析2：考察独立事件的概率乘法，设某一天空气优良为事件A,后一天空气优良概B，则根据概率乘法有连续两天空气优良，得考点：考查条件概率的概率，简单题.6C.解析1：毛胚的体积制成品的体积 切削掉的体积与毛胚体积之比为： ，故选C.解析2：因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积。因为加工后的零件，左半部分为小圆柱，半径2，高为4，右半部分为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积。所以，削掉部分的体积与原体积之比等于 。解析3：三视图，注意三视图位置为（正，侧，俯）由图可以看出相当于一个平躺的圆柱（底面圆的半径为3，高为6）外侧消掉一部分（剩余部分小圆柱底面半径为2，高为4，大圆柱底面半径为3，高为2）则原毛坯的体积为，剩余部分体积为，因此考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题.7D.解析1：第1次循环，；第2次循环，。退出循环，。解析2：简单的程序框图，但由于变量涉及到5个，容易出错，同时一定要注意每一步执行的顺序根据流程图模拟运算有第一次结果，第二次结果，此时不成立退出循环，输出考点：考查算法的基本知识，简单题.8D.解析1：考察导数的几何意义，复合函数求导解析2：因为曲线在点处的切线方程为，又因为所以，解得，故选D.考点：考查导数的几何应用，中等题.9B解析1：考察线性规划问题，通过对应方程两两联立得交点分别为，（1,2）经检验都在可行域内，因此解析2：画出可行域，如右图：可行域为，计算得：，。因为：，所以的最大值为8解析3：作出，满足约束条件表示的平面区域如图阴影部分：做出目标函数：，当的截距最小时，有最大值。当经过点时，有最大值。由得：此时：有最大值，故选B解析4：作图即可.考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.10D解析1： 抛物线C的焦点的坐标为： 所以直线AB的方程为： 故 从而 弦长 又O点到直线 的距离 ,故选D.解析2：过点且倾斜角为的直线的方程为。由，得，将代入，消去，整理得。由弦长公式得，。直线的一般式方程为，原点到直线的距离。解析3：考察抛物线的定义及三角形面积，由已知得焦点坐标为，因此AB直线方程为，与抛物线方程联立化简得：联立方程得：，因此同时或者有又根据抛物线的定义有，同时根据原点到直线距离有高为，因此解析4：，设、，直线的方程为，代入抛物线方程得：， 由弦长公式得 由点到直线的距离公式得：到直线的距离 考点：综合考查抛物线的知识，弦长计算与分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为困难题.11C.解析1：设AC=2， 故选C.解析2：C分别以为轴，建立直角坐标系。不妨设，则，所以，。解析3：考察异面直线夹角问题，取BC中点D，连结MN,ND，由于因此有，则ND与NA所成夹角即为异面直线BN与AN夹角，设，则 ，因此解析4：如图所示，取的中点，连结、 ，分别是，的中点， 四边形为平行四边形， 所求角的余弦值等于的余弦值 不妨令，则 ，考点：考查空间夹角问题.中等题.12C.解析1： 令 ，即f(x)的极值点 存在f(x)的极值点 ，满足 又 存在，使得存在,使得 ，故选C.解析2：考察三角函数的性质及特称命题与全称命题（正难则反）转化，以及关于不等式恒成立问题的极值点即为三角型函数的最高或者最低点处的横坐标，由三角形性质可知，因此,假设不存在这样的，即对任意的都有，则，整理得：恒成立，即，最小值为，因此原特称命题成立的条件是 解析3：，令得：，又，即：，故：，即：，故：或考点：考查导数与极值，三角函数，不等式的知识，为困难题.二、填空题13 解析： 展开式中的系数为考点：考查二项展开式的通项公式，简单题.141解析1： 的最大值为1.解析2：考察两角和差的正弦公式，注意角的拆分，又，因此即最大值为1考点：本题考查和差角公式，为中等题.15 解析1：考察偶函数的性质，对称区间单调性相反，数形结合易得解析2：作出函数f(x)的示意图，如图所示因为 解析3：特殊化，数形结合因为偶函数在单调递减，所以不妨画出图像如下：函数的图像为：由图可知，不等式的解集为。考点：本题考查函数的单调性与奇偶性.简单题.16 解析1：数形结合，当时，恰好存在圆上（0,1）（1,0）两个点使得，结合图像，当M继续向右运动时，与圆上任意一点形成的夹角都小于45度，再结合对称性可得范围在解析2：直线的斜率为，设直线的斜率为，因为，所以，解得，或者。当时，直线的方程为，整理得。为保证点在圆上，令圆心到直线的距离，即，解得。当时，同理可得。解析3：设N点的坐标为 （1）当 时 OM,MN的斜率分别为： 即 取正号时，化简（*）式得： 取负号化简（*）式得： 故 且 （2）当时，取,此时满足题设.（3）当时，取，此时也满足题设.综上所述， 解析4：由图可知点所在直线与圆相切又，由正弦定理得：，即：又，即，解之：考点：考查应用斜率与倾斜角的概念，直线方程，园的方程,分析问题的能力.困难题.三、解答题17解析：(I) 是首项为 ，公比为3的等比数列(II)由(I)知，故 考点：考查等比数列的通项公式,求和公式，考查放缩法证明不等式的技巧.中等题. 18解析1：（）连接BD交AC于点O，连接EO。因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。又E为PD的中点，所以。 ， ，所以。（）因为，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直。如图，以A为坐标原点， 的方向为 轴的正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系 则 ， ，。设（ ），则 ， 。设 为平面ACE的法向量，则 即 可取 。又 为平面DAE的法向量，由题设 ，即 ，解得 。 因为E为PD的中点，所以三棱锥 的高为 ，三棱锥的体积 。解析2：(I)连接EF,因为四边形ABCD是矩形，故F为AC中点，又因为E为PD中点，故EF是PBD的中位线，从而 ,故 (II)建立坐标系如图所示.因为 ，E为PD中点 ，设 ，则 ，是矩形是平面ADE的法向量设平面AEC的法向量为 ，则 令 ，得 ，故 二面角的大小为60 解得三棱锥的高为 考点：考查空间线面关系，椎体的体积计算和向量法解决立体几何问题的技能，中等题.19解析1：（）由所给数据计算得 ， ， ，所求回归方程为 。（）由（1）知，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。将2015年的年份代号 代入（1）中的回归方程，得，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。解析2：（I） 回归方程为： (II)由于 ，故与是正线性相关的，因此从2007年到2013年农村居民的人均纯收入是逐年上升的.当时，即2015年农村居民的人均纯收入预测将达到6.8千元. 考点：考查线性回归方程，线性相关的概念的应用.难度中等.20解析1：（）根据 及题设知 ， 。将代入，解得 ，（舍去）。故C的离心率为 。（）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与 轴的交点 是线段的中点，故，即。 由 ，得。设 ，由题意知 ，则 即代入C的方程，得 。 将即代入，得。解得 ， ，故， 。解析2：（I）（不妨设M在x轴的上方）M的坐标满足方程组 MN的斜率为 又 椭圆离心率为 .(II)MN在y轴上的截距为2，O为的中点M的坐标为(c,4)(不妨设M在x轴的上方)由（I）得 (*) 作于T,由于 ,故有 ，即 把N点的坐标代人椭圆方程得： 把（*）与（*）联立得： 考点：考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，难题.21解析1：（），等号仅当 时成立。所以在R上单调递增。（），。（i）当 时， ，等号仅当 时成立，所以 在 单调递增，而 ，所以对任意 ，；（ii）当时，若满足 ，即 时，。而 ，因此当 时，。综上，的最大值为2.（）由（）知， 。当 时，；当 时，。所以的近似值为0.693.解析2：(I) 在R上递增.（II） （注意这里用分离变量法处里恒成立无法进行下去!） 又 令（1）当时 成立,故成立.(2)当时 而 ，此时 成立，故（3）当时 又 若时， 或 区间是的减区间 即在区间上这与在区间上大于0矛盾，故 综上所述， ，故 .(III)由（I）得，当时， ，由(II)得，当时， ，从而（注：由于题目给出了 的近似值，该怎么取x的值代人是显然的）令 ，则 由（II）的证明过程（3）知道，当b2时，在区间上.若，令，由，得 下面进行误差估计： 符合精度要求的值为 . 考点：本题