数值分析54.ppt

湘潭大学数学与计算科学学院 1 5 4迭代方法 湘潭大学数学与计算科学学院 2 设非奇异 迭代法求解的基本思路 把线性方程组的解 化为一个迭代序列的极限来实现 首先将线性方程组化为一个适合迭代的 等价方程组 取任意初始向量构成迭代序列 湘潭大学数学与计算科学学院 3 若迭代序列收敛 即 则有 即为原线性方程组的解 定理5 13 对于任何初始向量 迭代法 收敛的充分必要条件为 其中为矩阵的谱半径 湘潭大学数学与计算科学学院 4 证明 记 则由 有 或 可以看出 对于任意的 即任意 从而收敛的充分必要条件为 证毕 湘潭大学数学与计算科学学院 5 定理5 14 误差估计 若迭代矩阵的某种范数 则迭代方法 有如下误差估计 证明 略 将线性方程组化为等价的适合迭代的形式 的方法很多 但下面几种方法经常用到 他们的优点是这些迭代方法的收敛性可以由矩阵 的性质加以判断 湘潭大学数学与计算科学学院 6 我们将矩阵分解为 其中 Jacobi迭代方法 湘潭大学数学与计算科学学院 7 将化为等价形式 若所有 则上式可写为分量形式 或即 湘潭大学数学与计算科学学院 8 定义迭代法为 其中Jacobi迭代矩阵 式可写为分量形式 方法 1 称为Jacobi迭代方法 1 湘潭大学数学与计算科学学院 9 解方程组写成分量形式 即 湘潭大学数学与计算科学学院 10 迭代格式 湘潭大学数学与计算科学学院 11 由定理5 13 Jacobi方法收敛的充分必要条件为 并由定理5 14知 若 则Jacobi迭代法收敛 湘潭大学数学与计算科学学院 12 Gauss Seidel迭代方法 利用 定义 2 这样在计算新分量时 利用了新值 例求方程组 湘潭大学数学与计算科学学院 13 的Gauss Seidel迭代格式 湘潭大学数学与计算科学学院 14 记 其中 分别为的 严格下 上三角形部分元素构成的三角阵 Gauss Seidel方法的矩阵形式为 或者 这说明Gauss Seidel方法的迭代矩阵为 从而有 湘潭大学数学与计算科学学院 15 由定理5 13 Gauss Seidel方法收敛的充分必要条件为 湘潭大学数学与计算科学学院 16 例 给出方程组其中 问 分别利用Jacobi迭代法和Gauss Seidel迭代法是否收敛 解 对 湘潭大学数学与计算科学学院 17 而 即 所以 对 Jacobi方法收敛 G S方法发散 同理 对于 其中 湘潭大学数学与计算科学学院 18 即得 而 湘潭大学数学与计算科学学院 19 则 湘潭大学数学与计算科学学院 20 SOR方法 超松弛方法 SOR 方法迭代格式如下 即 湘潭大学数学与计算科学学院 21 为写成矩阵形式 变形为 称为松弛因子 即为方法 即 亦即 湘潭大学数学与计算科学学院 22 其中 SOR法的迭代矩阵为 湘潭大学数学与计算科学学院 23 解 湘潭大学数学与计算科学学院 24 湘潭大学数学与计算科学学院 25 湘潭大学数学与计算科学学院 26 SOR方法收敛的充分必要条件 证明 由 湘潭大学数学与计算科学学院 27 湘潭大学数学与计算科学学院 28 即 所有特征值之模的乘积为 等号仅当的所有特征值的模都相等时成立 又SOR方法收敛 即得 即有 湘潭大学数学与计算科学学院 29 湘潭大学数学与计算科学学院 30 例 给定 其中 证明当时对称正定 从而G S迭代方法收敛 证明当时Jacobi迭代方法收敛 湘潭大学数学与计算科学学院 31 1 由题设知 为对称阵 证明 要求 时对称正定 从而G S迭代方法收敛 湘潭大学数学与计算科学学院 32 2 由定理 是对角元素为正的实对称阵 由 1 知 当时 对称正定 所以 当时Jacobi迭代方法收敛 湘潭大学数学与计算科学学院 33 课堂练习 写出求解下方程组的