2015-2016-数值分析计算实习题目.doc

数值分析计算实习题目一.误差分析与估计计算，并估计误差。算法一：，。算法二：，。实验要求：(1)分别用算法一和算法二计算，请判断哪种算法能给出更精确的结果。(2)请从理论上证明你实验得出的结果，解释实验的结果。设算法一中的计算误差为，由递推计算到的误差为；算法二中的计算误差为，由向前递推计算到的误差为。如果在上述两种算法中都假定后面的计算不再引入其他误差，试给出与的关系和与的关系。(3)算法一中通常会很小，当增大时，的变化趋势如何？算法二中通常相对比较大，当减少时，误差又是如何传播的？即比较两个算法，当某一步产生误差后，该误差对后面的影响是衰减的还是扩张的。(4)通过理论分析与计算实验，针对两个算法的稳定性，给出你的结论。答案：matlab算法:clearallclcE(1)=exp(-1);%算法一开始forn=2:20E(n)=1-n*E(n-1);endE=vpa(E,6)%算法一结束，输出结果A(20)=0;%算法二开始forn=20:-1:2A(n-1)=(1-A(n)./n;endA=vpa(A,6)%算法二结束，输出结果symsx%原积分值求解forn=1:20s=int(x.n).*exp(x-1),0,1);a(n)=s;endC=eval(a)%输出结果n=1:20;plot(n,E,b+:,n,A,g*-,n,a,r)%作图进行差异比较二.估计某地居民的用水速度和每天的用水量某用水管理机构需要估计公众的用水速度（单位：G/h，加仑/小时）和每天总用水量。许多供水单位由于没有测量流入或流出水流量的设备，而只能测量水箱中的水位（误差），当水箱水位低于最低水位L时，水泵开始将水灌入水箱，直至水位达到最高水位H为止，但是依然无法测量水泵灌水量。因此，在水泵工作时无法立即将水箱中的水位与水量联系起来。水泵一天灌水次，每次约2小时。试估计在任一时刻t（包括水泵灌水期间）流出水箱的流量（即流速），并估计一天的总用水量。下表给出了某小区一天的真实用水数据，水箱是直径57E，高40E的正圆柱体，当水位落到27E以下，水泵自动启动把水灌入水箱，当水位回升至35.5 E时，水泵停止工作。()实验要求：(1)用最小二乘法求以上数据的拟合多项式，并作出的图形。(2)根据题目要求，估计一天的总用水量。表一 某小区某一天的真实用水数据时间/s水位/E时间/s水位/E03175466363350331631104995332606635305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225202279571854276728543275275021269732284269779254泵水35932泵水82649泵水39332泵水859683475394353550899533397433183445932703340提示：先将表中数据转换成用水时间与用水量的关系。时间t：单位h，1s=1/3600h水量：单位 水量 再求出每个时间段的平均流速，然后进行拟合。问题分析：记V表示水的容积；iV表示时刻it(单位：h)水的容积；()ft表示流出水箱的水的流速(单位：G/h),它是时间的函数；p表示水泵的灌水速度(G/h)。先将表1中数据作变换,时间单位用小时(h),水位高转换成水的体积(2Vrhp=单位:3310,17.481GEG=)。由于要求的是水箱流量与时间的关系,因此根据变换后的表的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度。公式即为：平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度然后需要做时间与平均水流量的散点图。用绘制散点图的命令画出数据的散点图，发现散点图分布不均匀，需用多阶多项式进行拟合。这里采用八阶多项式进行拟合。根据拟合出的函数做出相应的拟合曲线。分别将一天中最小时刻和最大时刻代入到水的流速拟合函数，得到这两时刻的流速,根据它们之间的关系进而求出一天的用水量。问题求解：（1）先将表1中数据作变换,时间单位用小时(h),水位高转换成水的体积(2Vrhp=单位:3310,17.481GEG=)。将时间单位换算成h:输入:tt=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,35932,39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270/3600/N输出：0.,0.921111,1.84306,2.94972,3.87139,4.97806,5.9,7.00639,7.92861,8.96778,9.98111,10.9256,10.9542,12.0328,12.9544,13.8758,14.9822,15.9039,16.8261,17.9317,19.0375,19.9594,20.8392,22.015,22.9581,23.88,24.9869,25.9083水位高转换成水的体积输入：vv=Pi*(57/2)2*3175,3110,3054,2994,2947,2892,2850,2795,2752,2697,no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data,3475,3397,3340*10(-2)*7.481/103/N输出：606.098,593.69,583.,571.546,562.574,552.074,544.057,533.557,525.349,514.849,0.三绘制直升飞机旋转机翼外形轮廓线已知某个直升飞机旋转机翼外形轮廓线的12个点的坐标如下：表二 某直升飞机机翼外形轮廓线12个点的坐标X52028015678393033978156280520Y0-30-36-35-28-900283536300实验要求：采用三次样条技术，画出飞机机翼的外形轮廓线。四计算多重积分的蒙特卡洛方法以二重积分为例说明算法的基本思想。设 我们总可以把积分区域包含在矩形中，而且不失一般性假设。因此，被积函数下面的柱体可以包含在立方体之中。在中随机选取一个点，其中，分别是在区间，中均匀分布的随机数。几何概率的理论告诉我们点落在里的概率等于的体积与的体积之比，即 所以 计算时用抽样的办法算出落在中的频率，以此来代替概率，得到其中是抽样总数，是抽样点落在之中的频数。实验要求：设，其中 (1)用高斯求积公式计算积分。(2)取不同的，用蒙特卡洛算法计算积分。对于每一个计算次，计算出个结果的均方差，画出之间的曲线。五解非线性方程组的牛顿法。设所要求解的方程组为，牛顿法的计算公式为，。实际计算时采用如下步骤：，。 (*)即，首先求解线性方程组(*)得到，然后对进行修正。注：是含有个未知量的由个方程组成的方程组。是未知向量。是映射的雅可比矩阵。实验要求：用牛顿法求解非线性方程组 注：此方程组在区域上有唯一解，取初始近似进行计算。首先建立函数fun储存方程组编程如下将fun.m保存到工作路径中:function f=fun(x);%定义非线性方程组如下%变量x1 x2 x3%函数f1 f2 f3syms x1 x2 x3f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x12-81*(x2+0.1)2+sin(x3)+1.06;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=f1 f2 f3;建立函数dfun用来求方程组的雅克比矩阵将dfun.m保存到工作路径中:function df=dfun(x);%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中f=fun(x);df=diff(f,x1);diff(f,x2);diff(f,x3);df=conj(df);编程牛顿法求解非线性方程组将newton.m保存到工作路径中:function x=newton(x0,eps,N);con=0;%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N;f=subs(fun(x0),x1 x2 x3,x0(1) x0(2) x0(3);df=subs(dfun(x0),x1 x2 x3,x0(1) x0(2) x0(3);x=x0-f/df;for j=1:length(x0);il(i,j)=x(j);endif norm(x-x0)clearn=500;c=;fork=2:nH=hilb(k);D=diag(sqrt(diag(H);D1=inv(D);H1=D1*H*D1;c=c,cond(H1)/cond(H);endC=log(c);k=2:n;plot(k,C,r-)(3) 对于，给定不同的右端项。分别用和,两种方法求解方程组，比较计算结果。(4)取不同的并以的第一列为右端向量。用高斯-塞德尔方法迭代求解，观察其收敛性。最后你能对于有关Hilbert矩阵的计算得出哪些结论。七循环赛排名次矩阵特征值与特征向量若有只球队，进行循环赛，胜的队得一份，负的队得零分，没有平局。如何确定一种方法，使得球队排名更加合理。下表是6只球队的比赛情况，表的每一行表示每个队的获胜情况，如第一行表示球队1战胜球队2，4，5，6，负于球队3。表三 6只球队的比赛得分情况球队1234561-1011120-0111311-1004000-1150010-1600100-通常的方法是计算各队的得分，从高到低排名次。如前面6只球队的得分是 按得分计算，球队1排名第一，球队2，3并列第二。这种方法有两个缺点：第一是不能区分球队2与球队3的高低(因为不计算小分)；第二是没有考虑所打败对手的强弱，因为不论你战胜的是强队还是弱队，都得1分。那么，如何确定一种方法，使得排名更加合理?提示： 如何考虑对手的强弱，首先就要回答一个问题用什么指标刻画对手的强弱?从直观上讲，所谓对手强，就是对手战胜的队多，对手弱就是