广西钦州市灵山县第二中学高中数学 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修21.ppt

椭圆及其标准方程 一 8 1椭圆及其标准方程 2003年10月15日是全中国人感到骄傲和自豪的日子 这一天在中国发生了什么震惊世人的事件 中国人终于实现了什么梦想 如何精确地设计 制作 建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢 生活中的椭圆 一 课题引入 椭圆的画法 1 在画图过程中 绳子长度变化了吗 请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部 并将两脚固定 用笔绷紧细绳在纸上移动 观察画出的轨迹是什么曲线 动手实验 结合实验以及 圆的定义 思考讨论一下应该如何定义椭圆 它应该包含几个要素 1 在平面内 2 到两定点f1 f2的距离等于定长2a 3 定长2a f1f2 反思 1 椭圆的定义 平面内与两定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做 两焦点的距离叫做 o x y m 椭圆的焦点 焦距 o x y f1 f2 m 2 求椭圆的方程 步骤一 建立直角坐标系 设动点坐标 步骤二 找关系式 步骤三 列方程 步骤四 化简方程 步骤五 验证 求曲线方程的步骤 3 方程的推导 以两定点f1 f2的所在直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 如图 设 f1f2 2c c 0 m x y 为椭圆上任意一点 则有f1 c 0 f2 c 0 且m到f1 f2的距离和为2a 由椭圆的定义 可知 mf1 mf2 2a 由两点间的距离公式 可知 即 两边平方得 a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c2 a2y2 即 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 因2a 2c 即a c 故a2 c2 0 令a2 c2 b2 其中b 0 代入上式 可得 两边同时除以a2 a2 c2 得 这就是所求椭圆的轨迹方程 它表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点是f1 c 0 f2 c 0 这里c2 a2 b2 4 椭圆标准方程分析 我们把方程叫做椭圆的标准方程 它表示的椭圆的焦点在x轴上 焦点是f1 c 0 f2 c 0 这里c2 a2 b2 如果椭圆的焦点在y轴上 焦点是f1 o c f2 0 c 这里c2 a2 b2 方程是怎样呢 由两点间的距离公式 可知 设 f1f2 2c c 0 m x y 为椭圆上任意一点 则有f1 0 c f2 0 c 又由椭圆的定义可得 mf1 mf2 2a 4 椭圆标准方程分析 只须将 1 方程的x y互换即可得到 这个也是椭圆的标准的方程 x y 椭圆的标准方程的再认识 1 椭圆标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 3 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足a2 b2 c2 a b c都大于0 4 由椭圆的标准方程可以求出三个参数a b c的值 2 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点在哪一个轴上 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 a 4 b 1 焦点在x轴上 焦点在y轴上 a b 10 课堂练习 1 动点p到两个定点f1 4 0 f2 4 0 的距离之和为8 则p点的轨迹为 a 椭圆b 线段f1f2c 直线f1f2d 不能确定 b 练习1 下列方程哪些表示椭圆 若是 则判定其焦点在何轴 并指明 写出焦点坐标 练习2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 2 焦点为f1 0 3 f2 0 3 且a 5 1 a b 1 焦点在x轴上 3 两个焦点分别是f1 2 0 f2 2 0 且过p 2 3 点 4 经过点p 2 0 和q 0 3 小结 求椭圆标准方程的步骤 定位 确定焦点所在的坐标轴 定量 求a b的值 图形 方程 焦点 f c 0 f 0 c a b c之间的关系 c2 a2 b2 mf1 mf2 2a 2a 2c 0 定义 注 共同点 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上 中心在坐标原点的椭圆 方程的左边是平方和 右边是1 不同点 焦点在x轴的椭圆项分母较大 焦点在y轴的椭圆项分母较大 复习 椭圆 例1 填空 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若cd为过左焦点f1的弦 则 f2cd的周长为 例题精析 5 4 3 3 0 3 0 6 0 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 cf1 cf2 2a 2 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若曲线上一点p到左焦点f1的距离为3 则点p到另一个焦点f2的距离等于 则 f1pf2的周长为 2 1 0 1 0 1 2 p pf1 pf2 2a 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程 1 两焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点p到两焦点距离之和等于10 2 两焦点的坐标分别是 2 0 2 0 且椭圆经过点p 求椭圆标准方程的步骤 定位 确定焦点所在的坐标轴 定量 求a b的值 1 两焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点p到两焦点距离之和等于10 解 因为椭圆的焦点在x轴上 所以可设它的方程为 2a 10 2c 8 即a 5 c 4 故b2 a2 c2 52 42 9 所以椭圆的标准方程为 2 两焦点的坐标分别是 2 0 2 0 且椭圆经过点p 解 因为椭圆的焦点在x轴上 所以可设它的方程为 由椭圆的定义可知 又因c 2 所以椭圆的标准方程为 故b2 a2 c2 10 22 6 练习1 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆 则m的取值范围是 0 4 变1 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆 则m的取值范围是 1 2 变2 方程 分别求方程满足下列条件的m的取值范围 表示一个圆 表示一个椭圆 表示焦点在x轴上的椭圆 例题讲解 例2已知b c两个定点 且 的周长等于16 求顶点a的轨迹方程 分析在解析几何中 求符合某种条件的点的轨迹方程 要建立适当的坐标系 在 中 的周 长为16 可知 点a到b c两点的距离为 常数 即 因此 点a的轨迹是以b c为焦点的椭圆 解建立坐标系 使x轴经过b c 原点0与b c的中点重合 由已知 有 即点a的轨迹是椭圆 且2c 6 2a 16 6 10 a b c o x y 但当点a在直线bc上 即y 0时 a b c三点不能构成三角形 注意求出曲线的方程后 要注意检查一下方程的曲线上的点是否都是符合题义 变式 在平面直角坐标系中 已知三角形中b 3 0 c 3 0 且三边 ac bc ab 长依次成等差数列 求顶点a的轨迹方程 请同学回答 分析 因为b 3 0 c 3 0 所以 bc 6 又三边 ac bc ab 长依次成等差数列 根据例题同理可知a点的轨迹方程是 2 abc中 三边a c b成等差数列 且a c b 若a 1 0 b 1 0 则动点c的轨迹方程为 1 椭圆的两个焦点分别是f1 8 0 和f2 8 0 且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20 则此椭圆方程是 3 椭圆 1的焦距是2 则m的值 a 5b 8c 5或3d 20 请同学们思考 例3如图 已知一个圆的圆心为坐标原点 半径为2 从这个圆上任意一点p向x轴作垂线段pp 求线段pp 中点m的轨迹 方法 代入法 利用中间变量求点