高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第一节 绝对值不等式课件 文.ppt

选修4 5不等式选讲第一节绝对值不等式 1 绝对值不等式 a b a b a c c b a b c 2 绝对值不等式的解法 1 x a绝对值不等式的解法 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型绝对值不等式的解法 ax b c ax b c x a x a x x a或x a x r x 0 r c ax b c ax b c或ax b c 3 平均值不等式 1 定理1 对任意实数a b 有a2 b2 2ab 此式当且仅当a b时取 号 2 定理2 对任意两个 a b 有 此式当且仅当 时取 号 我们称为正数a与b的 为正数a与b的 可叙述为两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值 正数 算术平均值 几 何平均值 a b 3 定理3 对任意三个 a b c 有a3 b3 c3 3abc 此式当且仅当 时取 号 4 定理4 对任意三个 a b c 有 此式当且仅当 时取 号 又可叙述为 三个正数的算术平均值 它们的几何平均值 正数 a b c 正数 a b c 不小于 5 一般地 对n个正数a1 a2 an n 2 有 此式当且仅当 时取 号 又可叙述为 n个正数的算术平均值 它们的几何平均值 6 利用平均值不等式求最值对两个正实数x y a1 a2 an 不小于 如果它们的和s是定值 则当且仅当 时 它们的积p取得最 值 如果它们的积p是定值 则当且仅当 时 它们的和s取得最 值 x y 大 x y 小 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若a b 5 函数的最小值是2 解析 1 错误 当ab 0时 有当ab 0时 有 2 正确 3 错误 其几何意义为数轴上的点x到点1 5的距离之差小于2 4 正确 5 错误 的最小值不是2 函数既没有最大值也没有最小值 答案 1 2 3 4 5 考向1利用平均值不等式求最值 典例1 1 若直线ax by 2 0 a 0 b 0 和函数f x ax 1 1 a 0且a 1 的图像恒过同一个定点 求的最小值 2 若00 y 0 且9x y xy 0 求x y的最小值 思路点拨 1 先由直线ax by 2 0 a 0 b 0 和函数f x ax 1 1恒过同一个定点 得出a b所满足的等量关系 然后变形 构造出 和 或 积 为定值的形式 2 可根据题目条件 变形构造出 和 或 积 为定值的形式 利用平均值不等式求解 3 应将已知条件变形并建立与x y的关系 然后再利用平均值不等式求解 规范解答 1 函数f x ax 1 1的图像恒过定点 1 2 代入ax by 2 0 得 2 00 f x 2x 3 x 2 x 3 x 当且仅当x 3 x 即时等号成立 函数f x 2x 3 x 的最大值为 3 方法一 x 0 y 0 9x y xy 0 9x y xy 即 当且仅当时 成立 又即x 4 y 12时 上式取等号 故当x 4 y 12时 x y取最小值16 方法二 由9x y xy 0 得 x 1 y 9 9 定值 可知x 1 y 9 x y x 1 y 9 10 当且仅当x 1 y 9 3 即x 4 y 12时 成立 故当x 4 y 12时 x y取最小值16 互动探究 若将本例题 3 中 y 0 改为 y 18 其他条件保持不变 求x y的最小值 解析 9x y xy 0 方法一 设18 y1 y2 则 y2 y1 18 y2 y1 0 y2 9 y1 9 9 0 f y2 f y1 0 即f y2 f y1 f y 在 18 上为增函数 f y min f 18 20 即x y的最小值为20 方法二 y 18 f y 0 f y 在 18 上是增函数 f y min f 18 20 即x y的最小值为20 拓展提升 利用平均值不等式求最值的一般步骤 变式备选 2013 渭南模拟 设实数a b满足2a b 9 1 若 9 b a 3 求a的取值范围 2 若a b 0 且z a2b 求z的最大值 解析 1 由2a b 9 得9 b 2a 即 9 b 2 a 所以 9 b a 3可化为3 a 3 即 a 1 解得 1 a 1 所以a的取值范围为 1 a 1 2 因为a b 0 所以z a2b a a b 33 27 当且仅当a b 3时 等号成立 故z的最大值为27 考向2绝对值不等式的解法 典例2 解下列不等式 1 4x 5 25 2 2x 1 2 思路点拨 1 2 可利用绝对值的定义转化为不含绝对值的不等式求解 对 2 也可采用两边平方法求解 3 可采用 零点分段法 也可构造函数 利用分段函数的图像进行求解 规范解答 1 4x 5 25 4x 5 25或4x 5 25 4x 20或4x 30 x 5或 原不等式的解集为 x x 5或 2 方法一 2x 1 2 3x 解得 原不等式的解集为 方法二 2x 1 2 解得x 3 x 4 当时 2x 1 x 4 2 解得 2x 1 x 4 2 解得x 7 x 7 综上可知 不等式的解集为方法二 令y 2x 1 x 4 则 x 5 y 3x 3 x 5 x 4 作出函数y 2x 1 x 4 与函数y 2的图像如图 它们的交点为 7 2 和 2 所以 2x 1 x 4 2的解集为 7 互动探究 将本例题 3 的不等式改为 2x 1 x 4 2 试求该不等式的解集 解析 当时 2x 1 4 x 2 当时 2x 1 4 x 2 解得x 3 当x 4时 2x 1 x 4 2 解得 x 4 综上可知不等式的解集为r 拓展提升 用 零点分段法 解 x a x b c或 x a x b c c 0 型不等式的四个步骤 1 令每个含绝对值符号的代数式为零 并求出相应的根 2 将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间 3 由所分区间去掉绝对值符号可得若干个不等式 解这些不等式 求出解集 4 取各个不等式解集的并集即原不等式的解集 变式备选 解下列不等式 1 2 x 3 x 3 8 解析 1 原不等式等价于不等式组解得x 0且x 1 原不等式的解集为 x x 0且x 1 2 当x8 解得x8 此时不等式无解 当x 3时 x 3 x 3 8 即x 4 此时不等式的解集为 x x 4 综上 不等式的解集为 x x4 考向3含有参数的绝对值不等式的解法 典例3 2012 新课标全国卷 已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 思路点拨 1 将a 3代入函数f x 然后通过零点分区间讨论不等式f x 3的解集 2 解不等式f x x 4 的解集 由区间 1 2 是解集的子集确立a的取值范围 规范解答 1 当a 3时 当x 2时 由f x 3 得 2x 5 3 解得x 1 当2 x 3时 f x 3无解 当x 3时 由f x 3 得2x 5 3 解得x 4 综上所述 不等式f x 3的解集为 1 4 2 由f x x 4 得 x a x 2 x 4 即 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围为 3 0 拓展提升 含有参数的不等式的解法若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项 一般采用数形结合法 包括几何法 图像法 和区间讨论法 数形结合法是根据绝对值意义在数轴上找对应满足题意的数 直接写出解集 或构造函数画出图像 由图像直接写出未知数的取值范围得出解集 区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的代数值等于零时未知数的值 将这些值依次标在数轴上 这样数轴被分成若干个区间 这些区间内的不等式的解集的并集即为不等式的解集 分段讨论时 注意不要遗漏区间的端点 变式训练 设函数f x x 1 x a 1 若a 1 解不等式f x 3 2 如果对于 x r f x 2恒成立 求a的取值范围 解析 1 当a 1时 f x x 1 x 1 由f x 3得 x 1 x 1 3 当x 1时 不等式化为1 x 1 x 3 即 2x 3 不等式组 当 11时 不等式化为x 1 x 1 3 即2x 3 不等式组的解集为综上得f x 3的解集为 2 若a 1 f x 2 x 1 不满足条件 若a 1 f x 的最小值为1 a 若a 1 f x 的最小值为a 1 所以对于 x r f x 2恒成立的充要条件是 a 1 2 即a 3或a 1 a的取值范围为 1 3 考向4含绝对值不等式的恒成立问题 典例4 1 若不等式 x 1 x 3 a的解集为r 求a的取值范围 2 2013 济宁模拟 不等式 x 3 x 1 a2 3a对任意实数x恒成立 求实数a的取值范围 思路点拨 1 求出 x 1 x 3 的取值范围 只要a小于 x 1 x 3 的最小值即可 2 求出 x 3 x 1 的取值范围 只要使其最大值小于或等于a2 3a即可 规范解答 1 因为 x 1 x 3 表示数轴上的点p x 与两定点a 1 b 3 距离的和 即 x 1 x 3 pa pb 由绝对值的几何意义知 pa pb 的最小值为 ab 4 无最大值 不等式 x 1 x 3 a的解集为r a的取值范围为a 4 2 方法一 因为 x 3 x 1 表示数轴上的点p x 与两定点b 3 a 1 距离的差 即 x 3 x 1 pb pa 由绝对值的几何意义知 pb pa 的最大值为 ab 4 最小值为 ab 4 对任意实数x 不等式 x 3 x 1 a2 3a恒成立 a2 3a 4 即a2 3a 4 0 解得a 4或a 1 a的取值范围为 1 4 方法二 由 x 3 x 1 x 3 x 1 4知 x 3 x 1 的最大值为4 由题意知4 a2 3a 解得a 4或a 1 a的取值范围为 1 4 拓展提升 不等式恒成立问题的三种解法 1 分离参数法运用 f x a f x max a f x a f x min a 可解决恒成立中的参数范围问题 2 更换主元法对于直接从主元入手非常困难或不可能解决的含参不等式恒成立问题 可转换思维角度 将主元与参数互换 常可得到简捷的解法 3 数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时 若能数形结合 揭示问题所蕴含的几何背景 发挥形象思维与抽象思维各自的优势 可直观解决问题 提醒 不等式的解集为r可转化为不等式恒成立问题 而不等式的解集为 的对立面也是不等式恒成立问题 如f x m的解集为 则f x m恒成立 变式训练 2013 福州模拟 已知函数f x