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2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码： 636 科目名称： 数学分析 一、（20分）解答以下三个小题：（1）用分析定义证明：如果，则.（13分）（2）如果，是否一定有？为什么？（3分）（3）计算极限.（4分）证：（1），：. 2分利用三角不等式，得 5分而（常数） 7分对上述的，：. 9分. 11分取，则，当时，有. . 13分（2）不一定. 1分反例：数列，.有 ，但数列发散. 3分（3） 2分 4分二、（12分）如果函数在上可导，且，试证：在区间内存在唯一的，使得.证：由已知，在上可导.在上应用Lagrange中值定理，得 ， 5分， 7分由零点存在定理，存在，使. 9分 再证零点唯一，只要证函数在上单调，而由，即知在上严格单调减少，从而上述是唯一的. 12分三、（12分）求函数的不定积分. 解：时， 3分 时， 6分 得出 8分 12分四、（10分）计算.解： 4分 5分 9分 10分五、（12分），试求（1）；（8分）（2）.（4分）解：（1） 3分 8分 （2） 4分六、（10分）证明积分关于一致收敛.证： ， 4分 而 收敛， 8分由判别法，知积分对一致收敛. 10分七、（21分）判断下列三个小题中级数的敛散性.（每小题7分）(1) ； (2) ； (3) . 解:(1) 由 3分知收敛；发散； 5分时收敛，发散. 7分 （2）由 ，（或 ） 4分而收敛，知收敛. 7分（3）由 , 4分发散，知发散. 7分八、（25分）设函数 （1）计算函数的偏导数；（10分）（2）问函数点是否连续？是否可微？为什么？（8分）（3）问偏导函数在点是否连续？为什么？（7分）解:(1) 3分= 8分对称地， 10分(2)在点可微，从而在点也连续 3分 因为，. ，.所以 ， 7分即 . 点可微 . 8分（3） 偏导函数在点不连续. 2分因为极限不存在：由不存在，即知 （或由沿直线时极限不存在，即知）所以在点不连续 . 6分 同理，点也不连续 . 7分九、（12分）计算曲线积分，其中是以点为中心，为半径的圆周（），取逆时针方向.解：，则 ，在不含原点的区域上积分与路径无关. 2分当时，由Green公式，得 . 4分当时，取足够小的椭圆，使之含于内，取逆时针方向，由Green公式：， 8分 . 12分十、（16分）解答以下两个小题：（1）证明 ；（8分）（2）
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