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湘潭大学数学与计算科学学院 1 第四章数值积分方法与数值微分 2个研究对象 1 用数值 近似 方法求定积分 2 用数值 近似 方法求微分 湘潭大学数学与计算科学学院 2 4个需要关心的问题 1 为什么要用数值 近似 方法 2 有哪些数值 近似 方法 3 数值 近似 方法的精度如何 4 如何实现这些数值 近似 方法 湘潭大学数学与计算科学学院 3 1引言 一 数值积分方法的基本思想 二 代数精度的概念 三 插值型求积公式 湘潭大学数学与计算科学学院 4 一 数值积分方法的基本思想 其中F x 是f x 的原函数 即 方法一 牛顿 莱伯尼兹 Newton Leibniz 公式 研究对象1 怎样求定积分 主要有两种方法 湘潭大学数学与计算科学学院 5 存在的问题 例 1 原函数难求 无解析式 2 f x 仅提供样本值 湘潭大学数学与计算科学学院 6 方法二 数值积分公式 优点 普适性 在计算机上的可操作性 三要素 求积节点数 节点的分布 公式的系数 湘潭大学数学与计算科学学院 7 使得 只要给出计算 的一种算法便相应地获得 一种数值求积方法 举例 1个节点的数值积分公式 矩形求积公式 常取 湘潭大学数学与计算科学学院 8 左矩形求积公式 右矩形求积公式 中矩形求积公式 湘潭大学数学与计算科学学院 9 二 代数精度的概念 原则 恰当选取 使得 1 的代数精确度高 1 当求积节点个数给定后 怎样构造数值求积公式 定义1如果求积公式 1 对所有次数 项式是精确的 但对 次多项式不精确 则称 次代数精度 的多 1 具有 湘潭大学数学与计算科学学院 10 欲使求积公式 1 具有m次代数精度 只要令 都能精确成立 这就要求 中的上下标 它对于 注 这里省略了符合 1 湘潭大学数学与计算科学学院 11 如何构造求积公式 模式一 给定节点 系数待定 方法 令 得到 例 给定 则 梯形求积公式 构造求积公式 湘潭大学数学与计算科学学院 12 模式二 节点 系数全待定 注 梯形公式和中矩形公式都具有1次代数精度 方法 令 得到 例 构造矩形求积公式 对 精确成立 则 即中矩形公式 湘潭大学数学与计算科学学院 13 证明 2 考虑求积公式 定理1 任给个互异节 1 总存在个相应的求积系数 使 1 至少具有n次代数精度 精确成立 则得关于的线性代数方程组 令 1 对 湘潭大学数学与计算科学学院 14 2 湘潭大学数学与计算科学学院 15 其系数行列式为范德蒙行列式 构成的 2 有唯一解 1 对所有次数的多项式都是精确的 显然 以此组 湘潭大学数学与计算科学学院 16 三 插值型求积公式 定义 若 1 中的满足 3 4 则称求积公式 1 为插值型的 求积公式 1 求 4 将对应于节点 代入 1 得 3 的方法 的n次插值多
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