高考数学一轮总复习 第八篇 第8讲 立体几何中的向量方法（二）课件 理 湘教版.ppt

第8讲立体几何中的向量方法 二 2014年高考会这样考 能用向量方法解决直线与直线 直线与平面 平面与平面的夹角的计算问题 了解向量方法在研究几何问题中的应用 考点梳理 1 异面直线所成的角如图 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 则把a 与b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 1 空间的角 2 如果直线l与平面 不垂直 则l在 内的射影是一条直线l 将l与l 所成的角 定义为直线l与平面 所成的角 直线垂直于平面 则它们所成的角是直角 直线和平面平行 或在平面内 则它们所成的角是0 的角 3 二面角 定义 在一个平面上作一条直线 则这条直线将平面分成两部分 其中每部分都称为半平面 从一条直线l出发的两个半平面 组成的图形叫作 记为 这条直线l称为这个二面角的棱 半平面 都称为这个二面角的面 也可以在两个面内各取一个不在棱上的点a b 将二面角记作 二面角 l a l b 二面角的平面角 过二面角 l 的棱l上任意一点o作垂直于棱l的平面 分别与两个面 相交得到两条射线oa ob 则 aob称为二面角 l 的平面角 特别地 当二面角 l 是90 时称它为 此时称两个面 相互垂直 直二面角 1 设异面直线l1 l2的方向向量分别为m1 m2 则l1与l2的夹角 满足cos 2 设直线l的方向向量和平面 的法向量分别为m n 则直线l与平面 的夹角 满足sin 3 求二面角的大小 2 空间向量与空间角的关系 cos m1 m2 cos m n 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平面 的法向量 则二面角的大小 满足cos 或 cos n1 n2 cos n1 n2 两个关系 1 异面直线所成角与向量夹角的关系当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时 就是该异面直线的夹角 当异面直线的方向向量的夹角为钝角时 其补角才是异面直线的夹角 2 二面角与向量夹角的关系设二面角的两个面的法向量分别为n1 n2 则 n1 n2 或 n1 n2 是所求的二面角 这时要借助图形来判断所求角是锐角还是钝角 确定 n1 n2 是所求角 还是 n1 n2 是所求角 助学 微博 a 45 b 135 c 45 或135 d 90 考点自测 1 人教a版教材习题改编 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 答案c a 90 b 30 c 45 d 60 答案d 2 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a 1 0 1 b 0 1 1 那么 这条斜线与平面所成的角是 3 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面正方形abcd的中心 m是d1d的中点 n是a1b1上的动点 则直线no am的位置关系是 a 平行b 相交c 异面垂直d 异面不垂直 答案c a 30 b 60 c 120 d 150 答案a 5 2012 四川 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是棱cd cc1的中点 则异面直线a1m与dn所成的角的大小是 答案90 考向一求异面直线所成的角 1 三角形pcd的面积 2 异面直线bc与ae所成的角的大小 审题视点 1 先判断三角形的形状再求面积 2 异面直线的夹角 可以应用向量法 也可以应用异面直线的定义求解 图1 训练1 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知ab 4 ad 3 aa1 2 e f分别是线段ab bc上的点 且eb bf 1 求直线ec1与fd1所成的角的余弦值 考向二利用空间向量求直线与平面所成的角 1 求pb与cd所成的角 2 求直线pd与面pac所成的角的余弦值 审题视点 1 建立空间直角坐标系 将线线角转化为两向量的夹角来求解 2 求直线与平面所成的角 主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角 求得 即sin cos 1 异面直线的夹角与向量的夹角有所不同 应注意思考它们的区别与联系 2 直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角 由于向量方向的变化 所以要注意它们的区别与联系 1 求dp与cc 所成角的大小 2 求dp与平面aa d d所成角的大小 训练2 如图所示 已知点p在正方体abcd a b c d 的对角线bd 上 pda 60 例3 2012 重庆 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 ab 4 ac bc 3 d为ab的中点 1 求点c到平面a1abb1的距离 2 若ab1 a1c 求二面角a1 cd c1的平面角的余弦值 考向三利用向量求二面角 审题视点 分别取ab a1b1的中点d d1 连接cd d1d 可证得ab cd d1d两两垂直 因而可考虑建立空间直角坐标系求解 2 如图所示 过d作dd1 aa1交a1b1于d1 在直三棱柱中 易知db dc dd1两两垂直 以d为原点 射线db dc dd1分别为x轴 y轴 z轴的正半轴建立空间直角坐标系d xyz 求二面角的方法 1 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量 然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 2 分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 训练3 2012 山东 在如图所示的几何体中 四边形abcd是等腰梯形 ab cd dab 60 fc 平面abcd ae bd cb cd cf 1 求证 bd 平面aed 2 求二面角f bd c的余弦值 1 证明因为四边形abcd是等腰梯形 ab cd dab 60 所以 adc bcd 120 又cb cd 所以 cdb 30 因此 adb 90 即ad bd 又ae bd 且ae ad a ae ad 平面aed 所以bd 平面aed 命题研究 以 平行 垂直 距离和角 为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点 它以较高的新颖性 开放性 探索性和创造性深受命题者的青睐 此类问题的基本特征是 要判断在某些确定条件下的某一数学对象 数值 图形等 是否存在或某一结论是否成立 是否存在 的问题的命题形式有两种情况 如果存在 找出一个来 如果不存在 需要说明理由 这类问题常用 肯定顺推 的方法 求解此类问题的难点在于 涉及的点具有运动性和不确定性 所以用传统的方法解决起来难度较大 若用空间向量方法来处理 通过待定系数法求解其存在性问题 则思路简单 解法固定 操作方便 热点突破19 利用空间向量解决立体几何中的存在性问题 真题探究 2012 福建 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 ad 1 e为cd中点 1 求证 b1e ad1 2 在棱aa1上是否存在一点p 使得 dp 平面b1ae 若存在 求ap的长 若不存在 说明理由 3 若二面角a b1e a1的大小为30 求ab的长 备考 解决与平行 垂直有关的存在性问题的基本策略是 通常假定题中的数学对象存在 或结论成立 然后在这个前提下进行逻辑推理 若能导出与条件吻合的数据或事实 说明假设成立 即存在 并可进一步证明 若导出与条件或实际情况相矛盾的结果 则说明假设不成立 即不存在 如本题把线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直 利用两向量数量积为