高考数学一轮复习 11.5 数系的扩充与复数的引入课件 文 新人教A版.ppt

11 5数系的扩充与复数的引入 一 虚数单位i 1 它的平方等于 1 即i2 1 2 实数可以与它进行四则运算 进行四则运算时 原有的加 乘运算律仍然成立 二 复数的有关概念及其分类 1 形如a bi a b r 的数叫做复数 其中a b分别叫做复数a bi的实部 虚部 复数常用字母z表示 全体复数组成的集合叫做复数集 一般用字母c表示 复数a bi a b r 当且仅当b 0时 它是实数 当b 0时 它是虚数 当a 0且b 0时 它是纯虚数 2 复数的分类 复数集 实数集 虚数集之间的包含关系的框架形式 复数a bi a b r 复数集 实数集 虚数集之间的包含关系的韦恩图形式 3 复数相等 两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等 即a bi c di 特别地 a bi 0 a b c d r 三 复数的几何意义 1 复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x轴叫做实轴 y轴叫做虚轴 根据实轴 虚轴的规定 可以发现 a bi a b r 为实数 对应点z在x轴上 a bi a b r 为纯虚数 对应点z在去掉原点外的y轴上 2 点z a b 向量 a b 是复数z a bi a b r 的另外两种表示形式 它们都是复数z的几何表示 这三者之间构成了一一对应的关系 3 复数z a bi a b r 在复平面内对应的点z a b 到原点的 距离 oz 为复数的模值 即 oz z 四 复数的基本运算 1 复数代数形式的四则运算法则 设z1 a bi z2 c di a b c d r z1 z2 a bi c di a c b d i z1 z2 a bi c di a c b d i z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i 2 加 减法运算的几何意义 复数z1 a bi对应向量 a b 复数z2 c di对应向量 c d 则z1 z2对应的向量 即为以 为邻边的平行四边形的一条对角线 3 共轭复数 z z 2 2 1 设a是实数 且 是实数 则a等于 a b 1 c d 2 解析 先化简 得 i 又因为它是实数 所以1 a 0 即a 1 故选b 答案 b 2 i是虚数单位 若 a bi a b r 则乘积ab的值是 a 15 b 3 c 3 d 15 解析 1 3i a bi a 1 b 3 ab 3 答案 b 3 已知复数z1 1 i z1 z2 1 i 则复数z2 解析 设z2 a bi 1 i a bi 1 i 即a b b a i 1 i 由复数相等 得a 0 b 1 故z2 i 答案 i 题型1复数的概念 例1当实数m为何值时 z m2 5m 6 i 1 为实数 2 为虚数 3 为纯虚数 4 复数z对应的点在复平面内的第二象限 分析 本题是基础题 首先要将复数转化为a bi a b r 的形式 然后再结合题目要求进行求解 解析 1 若z为实数 则解得m 2 2 若z为虚数 则 解得m 2且m 3 3 若z为纯虚数 则 解得m 3 4 若z对应的点在第二象限 则 即 m 3或 2 m 3 念求解 点评 本题考查复数集中各数集的分类 题中给出的复数采用的是标准的代数形式 否则应先化为标准形式 再依据概 变式训练1设复数z lg m2 2m 2 m2 3m 2 i 1 若z对应的点位于复平面的第二象限 则m的取值范围为 2 若 z 则复数z 解析 1 由于z对应的点位于复平面的第二象限 因此 所以 m的取值范围为 1 m 1 或1 m 3 2 由 z 即lg m2 2m 2 m2 3m 2 i lg m2 2m 2 m2 3m 2 i 从而lg m2 2m 2 0 m2 2m 2 1 m 1或m 3 此时z 0或z 20i 答案 1 1 m 1 或1 m 3 2 0或20i 题型2复数中的基本运算 例2 1 设z 2 i 则z3 4z2 5z 2的值为 a 6 2i b 6 2i c 6 2i d 6 2i 2 已知复数z 1 i 则等于 a 2i b 2i c 2 d 2 们可以考虑常规的运算技巧 对所求的式子进行整体运算 解析 1 由于z 2 i 得z 2 i 那么z3 4z2 5z 2 z2 z 2 2z z 2 z 2 z 2 z 1 2 i 1 i 2 6 2i 故选a 2 已知z 1 i 则 2i 故选b 答案 1 a 2 b 分析 欲求值 直接代入即可 但这样运算量较大 为此 我 点评 本题难度不大 但运算量不小 稍不留心 可能会因为运算过程出错而产生错误结论 倘若注意整体 很快便可产生正确答案 变式训练2 1 化简的结果为 a i b 0 c 1 d i 2 已知关于x y的方程组 有实数解 则实数a b等于 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 1 i 选d 2 由方程组中的第一个方程得 将上述结果代入到第二个方程中去 得5 4a 10 4 b i 9 8i 由两复数相等 得 于是a b 3 故选c 答案 1 d 2 c 题型3有关复数模的运算 例3设复数z满足 z 5 且 3 4i z在复平面上对应的点在第二 四象限的角平分线上 若 z m 5 m r 求z和m的值 分析 本题中多处出现复数的模 因此 首先设复数z 然后逐步将已知条件转化为必要的等式 通过方程组进行求解 又因为 3 4i z在复平面上对应的点在第二 四象限的角平分线上 所以 3x 4y 4x 3y 0 得y 7x 由 或 解析 设z x yi x y r 由 z 5 得x2 y2 25 3 4i z 3 4i x yi 3x 4y 4x 3y i 当z i时 由 z m 5 即 1 7i m 5 得m 0或m 2 当z i时 由 z m 5 即 1 7i m 5 得m 0或m 2 点评 本题是复数关于模的运算 难度不大 只要我们按照基本思路 常规解题步骤 就能很快产生结论 即z i或z i 变式训练3在复数范围内解关于z的方程 z 2 z i i为虚数单位 为z的共轭复数 解析 原方程化简为 z 2 z i 1 i 设z x yi x y r 代入上述方程得x2 y2 2xi 1 i 原方程的解是z i 1 解关于复数基本概念型试题 一定要首先将复数转化为基本的代数形式 通过代数形式 结合试题的设问进行求解 2 解关于复数运算的试题 要注意常规的运算方法与技巧 比如 a bi c di ac bd bc ad i可以直接产生结论 而不要先利用多项式乘以多项式 然后再进行同类项合并 再比如 a ai 2 2a2i 1 i2等的灵活运用 以借助于图形 有时要将复数加 减的几何意义等一起进行运用 3 解关于模 复数与向量 复数与点的对应关系问题时 可 例已知x为实数 y为纯虚数 且满足 2x 1 3i yi y i 求xy的值 错解 原方程即 2x 1 3 y i y i 根据复数相等的条件 得解得所以xy 10 用了复数相等的充要条件 正确的解法是必须分离出实部 虚部 剖析 因为y为纯虚数 并非实数 所以方程右边的y并非复数的实部 左边的 3 y 也并非复数的虚部 上述解法错误地运 解得所以xy 6i 正解 设y bi b r b 0 代入原方程得 2x 1 3i b b 1 i 即 2x 1 b 3i b 1 i 根据复数相等的条件 得 1 基础再现 在复平面内 复数z 对应的点位于 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 解析 z 答案 c 2 视角拓展 已知z 1 i 1 i 则实数a b的大小关系为 a a b b a b c a b d 无法确定 解析 由z 1 i 得z2 z 1 zi 1 i 那么 由 1 i 得 1 i 2 a 1 i b i 1 i a 1 b 2 答案 b 3 高度提升 若x y为共轭复数 且 x y 2 3xyi 4 6i 则 x y 等于 a b 2 c 2 d 4 解析 x y为共轭复数 x y xy r 由复数相等的条件有 x y 2 2 答案 c 设x a bi a b r 则y a bi 4 高度提升 集合m 1 2 m2 2m 5 m2 5m 6 i n 3 10 且m n 则实数m的值为 a 2 b 2或4 c 2或 3 d 2或5 又由 m2 2m 5 m2 5m 6 i 10 即得m 3 答案 c 解析 由 m2 2m 5 m2 5m 6 i 3 即得m 2 5 能力综合 若i为虚数单位 图中复平面内点z表示复数z 则表示复数的点是 a e b f c g d h 解析 由图可知z 3 i 1 2i对应复平面内的点e 答案 a 6 基础再现 若复数z log2 x2 3x 3 ilog2 x 3 为实数 则x的值为 解析 由 x 4 答案 4 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 基础再现 式子 8的计算结果为 解析 8 4 4 1 答案 1 8 高度提升 若z2 3 4i 且复数z不在第三象限 是z的共轭复数 则 解析 由z2 3 4i 4 4i 1 22 2 2i i2 2 i 2 z 2 i 由于复数z不在第三象限 所以z 2 i 那么 i 答案 i 9 能力综合 复数z x yi x y r 满足 z 4i z 2 则2x 4y的最小值为 解析 由复数模的几何意义知 z 4i z 2 表示端点为a 0 4 b 2 0 的线段的垂直平分线 x 2y 3 2x 4y 2x 22y 2 2 2 2 4 当且仅当2x 22y 即x 2y 时 等号成立 答案 4 10 视角拓展 设复数z 若z2 az b 1 i 求实数a b的值 解析 z 1 i z2 az b 1 i 1 i 2 a 1 i b 1 i a b a 2 i 1 i 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 解得 a 3 b 4 11 高度提升 设存在复数z同时满足下列条件 复数z在复平面内对应点位于第二象限 z 2iz 8 ai a r 试求a的取值范围 解析 设z x yi x y r 由 得x0 由 得x2 y2 2i x yi 8 ai 即x2 y2 2y 2xi 8 ai 由复数相等得 a2 4 y 1 2 36 y 0 a2 36 又x 0 a 0 6 a 0