高考数学一轮复习 第八章 圆锥曲线课件 文 新人教A版.ppt

考向案 高频考点一 椭圆的定义 标准方程及简单几何性质 1 2012年江西卷 椭圆 1 a b 0 的左 右顶点分别是a b 左 右焦点分别是f1 f2 若 af1 f1f2 f1b 成等比数列 则此椭圆的离心率为 a b c d 2 解析 由椭圆的几何性质可知 a c 2c a c 又 成等比数列 故 a c a c 2c 2 可得 e 故应选b 答案 b 2 2012年新课标全国卷 设f1 f2是椭圆e 1 a b 0 的左 右焦点 p为直线x 上一点 f2pf1是底角为30 的等腰三角形 则e的离心率为 a b c d 故e 答案 c 解析 由题意知 f2f1p f2pf1 30 即 pf2x 60 2 a c 2c 3 2011年北京卷 已知椭圆g 1 a b 0 的离心率为 右焦点为 2 0 斜率为1的直线l与椭圆g交于a b两点 以ab为底边作等腰三角形 顶点为p 3 2 1 求椭圆g的方程 2 求 pab的面积 解得a 2 又b2 a2 c2 4 所以椭圆g的方程为 1 2 设直线l的方程为y x m 由消去y得 解析 1 由已知得c 2 4x2 6mx 3m2 12 0 设a b的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x1 x2 ab中点为e x0 y0 则x0 y0 x0 m 因为ab是等腰 pab的底边 所以pe ab 所以pe的斜率k 1 解得m 2 此时方程 为4x2 12x 0 解得x1 3 x2 0 所以y1 1 y2 2 所以 ab 3 此时 点p 3 2 到直线ab x y 2 0的距离d 所以 pab的面积s ab d 从这两年江西高考卷来看 对椭圆的考查 2012年以选择题的形式出现 中档题型 重点考查了椭圆的标准方程 几何性质 尤其是焦点 顶点 焦半径 离心率 所以在复习的过程中 既要重视椭圆基础知识应用及基本技能的训练 还要注意和其他数学知识 包括平面几何知识 的联系与结合 角度探究 1 短轴长为 离心率e 的椭圆的两焦点分别为f1 f2 过f1作直线交椭圆于a b两点 则 abf2的周长为 案例落实 答案 6 解析 设椭圆方程为 1 a b 0 依题意知 2b b 又e 解得a 故 abf2的周长为4a 4 6 2 以o为中心 f1 f2为两个焦点的椭圆上存在一点m 满足 2 2 则该椭圆的离心率为 a b c d 4t2 2 t2 2 得c t 又a 椭圆的离心率e 故选c 答案 c 解析 设f1 f2是x轴上的点 过m作x轴的垂线 交x轴于点n 则n 0 不妨设 t 则由勾股定理得 2 2 2 2 3 已知椭圆e经过点a 2 3 对称轴为坐标轴 焦点f1 f2在x轴上 离心率e 1 求椭圆e的方程 2 求 f1af2的角平分线所在直线的方程 b2 a2 c2 3c2 则椭圆方程为 1 将a 2 3 代入上式 得 1 c 2 故椭圆e的方程为 1 解析 1 设椭圆e的方程为 1 a b 0 由e 得a 2c 线所在直线的斜率为正数 设p x y 为 f1af2的角平分线所在直线上的任一点 则有 x 2 若3x 4y 6 5x 10 得x 2y 8 0 因其斜率为负 舍去 于是 由3x 4y 6 5x 10 得2x y 1 0 直线af2的方程为x 2 由椭圆e上的图形知 f1af2的角平分 2 由 1 知f1 2 0 f2 2 0 直线af1的方程为y x 2 即3x 4y 6 0 1 2011年江西卷 若双曲线 1的离心率e 2 则m 解析 由题知a2 16 即a 4 又e 2 所以c 2a 8 则m c2 a2 48 答案 48 高频考点二 双曲线的定义 标准方程及简单几何性质 2 2010年新课标全国卷 中心在原点 焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点 4 2 则它的离心率为 a b c d a 2b e 答案 d 解析 由题知该双曲线为标准双曲线 将其方程设为 1 则渐近线方程为y x 又 点 4 2 在渐近线上 3 2012年辽宁卷 已知双曲线x2 y2 1 点f1 f2为其两个焦点 点p为双曲线上一点 若pf1 pf2 则 pf1 pf2 的值为 解析 设p为右支上的点 则得2 pf1 pf2 4 设 pf1 pf2 t t 0 平方得t 2 故 pf1 pf2 2 答案 2 双曲线的考查近几年来仅出现在2011年江西高考卷第12题 主要考查双曲线的方程与性质 重基础 难度不大 因此在复习的过程中 应加强针对性 加深对双曲线基础知识的理解与应用 强化基础题的解题训练 重视技能方法的归纳与总结 避免解题失误 提高解题准确度 角度探究 案例落实 1 已知双曲线c 1的焦距为10 点p 2 1 在c的渐近线上 则c的方程为 a 1 b 1 c 1 d 1 解析 由 1的焦距为10 得到a2 b2 25 而其渐近线为y x过点 2 1 得2b a 故得到a2 20 b2 5 则双曲线的方程 为 1 答案 a 2 已知双曲线 1的右焦点为 3 0 则该双曲线的离心率等于 a b c d 解析 由题知 a2 5 9 解得a 2 e 答案 c 3 设f1 f2是双曲线x2 1的左 右焦点 p是双曲线上的一点 且3 pf1 4 pf2 则 pf1 等于 a 8 b 6 c 4 d 2 解析 由双曲线方程知a 1 点p在右支上 pf1 pf2 2 又3 pf1 4 pf2 pf1 8 选a 答案 a 高频考点三 抛物线的定义 标准方程及简单几何性质 1 2012年安徽卷 过抛物线y2 4x的焦点f的直线交该抛物线于a b两点 若 af 3 则 bf 解析 设 afx 0 及 bf m 则点a到准线l x 1的距离为3 所以有3 2 3cos cos 又m 2 mcos 所以m 答案 2 2011年新课标全国卷 已知直线l过抛物线c的焦点 且与c的对称轴垂直 l与c交于a b两点 ab 12 p为c的准线上一点 则 abp的面积为 a 18 b 24 c 36 d 48 解析 设抛物线的焦点为f 则 af 6 由抛物线的定义可知p到ab的距离是6 所以s abp 6 12 36 故选c 答案 c 3 2011年江西卷 已知过抛物线y2 2px p 0 的焦点 斜率为2的直线交抛物线于a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 两点 且 ab 9 1 求该抛物线的方程 2 o为坐标原点 c为抛物线上一点 若 求 的值 所以x1 x2 由抛物线定义得 ab x1 x2 p 9 所以p 4 从而抛物线的方程是y2 8x 解析 1 直线ab的方程是y 2 x 与y2 2px联立 从而有4x2 5px p2 0 又 8x3 即 2 2 1 2 8 4 1 即 2 1 2 4 1 解得 0或 2 2 由p 4 4x2 5px p2 0可简化为x2 5x 4 0 解得x1 1 x2 4 y1 2 y2 4 从而a 1 2 b 4 4 设 x3 y3 1 2 4 4 4 1 4 2 2011年与2012年江西高考卷关于抛物线的命题规律 主要体现在解答题 2011年高考为第19题 2012年高考为第20题 上 试题主要考查利用直接法求抛物线的方程与性质 考查将参数置于向量的坐标运算中 解方程的能力 此类问题有一定的综合性和难度 运算量较大 所以在复习过程中 应加强针对性 突出直线与抛物线相交的综合性问题的训练 同时还需注意抛物线基础知识在解题中灵活运用的训练 切实提高运用抛物线定义 方程 焦点 准线等知识解决问题的能力 角度探究 案例落实 1 已知f是抛物线y2 x的焦点 a b是该抛物线上的两点 af bf 3 则线段ab的中点到y轴的距离为 a b 1 c d 解析 法一 根据抛物线定义与梯形中位线定理 得线段ab中点到y轴的距离为 af bf 法二 设a b两点的横坐标为x1 x2 因为 af bf 3 所以x1 x2 p 3 x1 x2 则结合图形可知ab中点到y轴的距离为 答案 c 2 如图 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的直线交抛物线于点a b 交其准线于点c 若 bc 2 bf 且 af 3 则此抛物线方程为 a y2 9x b y2 6x c y2 3x d y2 x 解析 过点a b分别作准线的垂线 垂足分别为e d bc 2 bf 由抛物线定义知 bcd 30 ae af 3 ac 6 即f为ac的中点 p ae 故抛物线方程为y2 3x 选c 答案 c 3 如图 在直角坐标系xoy中 点p 1 到抛物线c y2 2px p 0 的准线的距离为 点m t 1 是c上的定点 a b是c上的两动点 且线段ab被直线om平分 1 求p t的值 2 求 abp面积的最大值 解析 1 由题意得得 2 设a x1 y1 b x2 y2 线段ab的中点为q m m 由题意知 设直线ab的斜率为k k 0 由 y2 y1 y2 y1 x2 x1 k 2m 1 所以直线ab的方程为y m x m 即x 2my 2m2 m 0 与抛物线y2 x联立整理得y2 2my 2m2 m 0 所以有 4m 4m2 0 y1 y2 2m y1y2 2m2 m 从而 ab y1 y2 设点p到直线ab的距离为d 则d 设 abp的面积为s 则s ab d 1 2 m m2 由 4m 4m2 0 得0 m 1 令u u 0 s u u 1 2u2 u 0 s u 1 6u2 由s u 0 得u 0 s u max s 故 abp面积的最大值为 高频考点四 直线与圆锥曲线的综合问题 1 2010年辽宁卷 设双曲线的 个焦点为f 虚轴的 个端点为b 如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 a b c d 答案 d 解析 不妨设双曲线的焦点在x轴上 设其方程为 1 a 0 b 0 f c 0 b 0 b 一条渐近线斜率为 直线fb的斜率为 1 即b2 ac c2 a2 ac 0 即 2 1 0 解得e 2 2012年北京卷 已知椭圆c 1 a b 0 的一个顶点为a 2 0 离心率为 直线y k x 1 与椭圆c交于不同的两点m n 1 求椭圆c的方程 2 当 amn的面积为时 求k的值 解析 1 由题意得 解得b 所以椭圆c的方程为 1 2 由消去y得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 4 0 设点m n的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 x1 x2 x1x2 所以 mn 又因为点a 2 0 到直线y k x 1 的距离d 所以 amn的面积为s mn d 由 解得k 1 3 2012年江西卷 已知三点o 0 0 a 2 1 b 2 1 曲线c上任意一点m x y 满足 2 1 求曲线c的方程 2 点q x0 y0 2 x0 2 是曲线c上的动点 曲线c在点q处的切线为l 点p的坐标是 0 1 l与pa pb分别交于点d e 求 qab与 pde的面积之比 x y 0 2 2y 由已知得 2y 2 化简得曲线c的方程是x2 4y 2 直线pa pb的方程分别是y x 1 y x 1 曲线c在q处的切线l的方程是y x 且l与y轴的交点为f 0 解析 1 由 2 x 1 y 2 x 1 y 得 分别联立方程组 解得d e的横坐标分别是 xd xe 则xe xd 2 fp 1 故s pde fp xe xd 1 2 而s qab 4 1 则 2 即 qab与 pde的面积之比为2 直线的方程 直线与圆锥曲线位置关系问题 综合性强 此类题型在近两年江西高考卷中均有体现 一般是直线与圆锥曲线 主要是抛物线 相交 相切 重点考查求曲线的方程 圆锥曲线的几何性质 考查与直线有关的斜率 向量知识 与几何图形相关的弦长 面积的度量与比值 考查根与系数关系 设而不求的方法 考查学生的综合分析能力 推理探究能力 识图用图能力 运算求解能力和方程思想 转化思想和数形结合思想 此类考题综合性强 运算量较大 因此在 复习的过程中 应注意强化此类问题的解题训练 及时总结解题规律与方法 重视根与系数关系与设而不求方法的应用 增强求简意识 突破解题难点 简化运算过程 不断提高数学综合问题的解题能力 角度探究 案例落实 1 设f1 f2分别是椭圆e x2 1 0 b 1 的左 右焦点 过f1的直线l与e相交于a b两点 且 af2 ab bf2 成等差数列 1 求 ab 2 若直线l的斜率为1 求b的值 2 l的方程为y x c 其中c 设a x1 y1 b x2 y2 则a b两点坐标满足方程组化简得 1 b2 x2 2cx 1 2b2 0 则x1 x2 x1x2 因为直线ab的斜率为1 所以 ab x2 x1 即 x2 x1 则 x1 x2 2 4x1x2 解得b 解析 1 由椭圆定义知 af2 ab bf2 4 又2 ab af2 bf2 得 ab 2 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆c1 1 a b 0 的左焦点为f1 1 0 且点p 0 1 在c1上 1 求椭圆c1的方程 2 设直线l同时与椭圆c1和抛物线c2 y2 4x相切 求直线l的方程 解析 1 由题意得 故所求的椭圆方程为 y2 1 2 由题意可知切线的斜率一定存在 设直线l的方程为y mx n 由 y2 4 my2 4y 4n 0 由题意得 4 2 4m 4n 0 mn 1 又由 x2 2 mx n 2 2 1 2m2 x2 4mnx 2 n2 1 0 又由题意得 4mn 2 4 1 2m2 2 n2 1 0 n2 2m2 1 由 得或 故直线l的方程为y x 或y x 3 已知两定点f1 0 f2 0 满足条件 2的点p的轨迹是曲线e 直线y kx 1与曲线e交于a b两点 如果 6 1 求曲线e的方程 2 求ab的直线方程 且a 1 c b 1 故曲线e的方程为x2 y2 1 x 1 2 设a x1 y1 b x2 y2 联立方程组消去y得 1 k2 x2 2kx 2 0 解析 1 由双曲线的定义知 曲线e是以f1 0 f2 0 为焦点的双曲线的左支 由直线与双曲线左支交于a b两点 得解得 k 1 又 ab x1 x2 2 依题意得2 6 整理后得28k4 55k2 25 0 解得k2 或k2 但 k 1 k 故直线ab的方程为x y 1 0 一 选择题 本大题共10小题 每小题5分 1 基础再现 实轴在y轴上的双曲线mx2 y2 1的虚轴长是实轴长的2倍 则m等于 a b 4 c 4 d 解析 由已知m 0 得a2 1 b2 且b 2a 则b2 4a2 即 4 解得m 即选a 答案 a 2 视角拓展 设集合a x y 1 b x y y 3x 则a b的子集的个数是 a 4 b 3 c 2 d 1 解析 在同一直角坐标系中作出函数y 3x及曲线 1的图像 可知它们有两个交点 即a b有两个元素 其子集有4个 答案 a 3 视角拓展 已知抛物线c1 y 2x2的图像与抛物线c2的图像关于直线y x对称 则抛物线c2的准线方程是 a x b x c x d x 解析 抛物线c1 y 2x2关于y x对称的抛物线c2的解析式为 x 2 y 2 即y2 x 故c2的准线方程为x 答案 c 4 视角拓展 设f1 f2是椭圆 1的两个焦点 p是椭圆上的点 且 pf1 pf2 4 3 则 pf1f2的面积为 a 4 b 6 c 2 d 4 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 易知 pf1f2为直角三角形 得 pf1f2的面积为 pf1 pf2 6 答案 b 解析 由椭圆的定义知 pf1 pf2 2a 2 7 又 pf1 pf2 4 3 解得 pf1 4 pf2 3 而 f1f2 2c 2 5 所以有 5 视角拓展 设o为坐标原点 f为抛物线y2 4x的焦点 a为抛物线上一点 若 4 则点a的坐标为 a 1 2 b 1 2 c 2 2 d 2 2 意舍去 再由y2 4x得y 2 答案 b 解析 设a x y 则 x y y2 4x 因为f 1 0 所以 1 x y 所以 x 1 x y2 4 得x 1 x 4x 4 解得x 1 x 4不合题 6 高度提升 设双曲线 1 a 0 b 0 的半焦距为c 离心率为 若直线y kx与双曲线的一个交点的横坐标恰为c 则k等于 a b c d 所以y ck 即 1 e2 1 e2 1 k2 k 答案 c 解析 因为直线与双曲线的一个交点的横坐标为c 7 高度提升 已知点p是双曲线 1 a 0 b 0 右支上一点 f1 f2分别是双曲线的左 右焦点 i为 pf1f2的内心 若 成立 则双曲线的离心率为 a 4 b c 2 d 答案 c 解析 由 得 pf1 pf2 2c p是右支上的点 所以 pf1 pf2 2a 即有 2c 2a e 2 选c 8 高度提升 已知点p在抛物线y2 4x上 那么点p到点q 2 1 的距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值时 点p的坐标为 a 1 b 1 c 1 2 d 1 2 pa pq aq 此时 点p到q点距离与点p到抛物线焦点距离之和取得最小值 p点的纵坐标为 1 代入抛物线方程有1 4x x 此时p点坐标为 1 故选a 解析 如图所示 抛物线的焦点为f 1 0 作pa垂直准线x 1于点a 则 pa pf 当a p q在同一条直线上时 pf pq 答案 a 9 高度提升 设抛物线y2 2x的焦点为f 过点m 0 的直线与抛物线相交于a b两点 与抛物线的准线相交于点c bf 2 则 bcf与 acf的面积之比等于 a b c d 2 xb 2 即xb 又 xa xb 3 xa 2 由图可知 解析 设直线方程为y k x 将方程代入y2 2x得k2x2 2k2 2 x 3k2 0 答案 a 10 能力综合 已知双曲线 1 a 0 b 0 上一点到双曲线的左 右焦点的距离之差为4 若已知抛物线y ax2上的两点a x1 y1 b x2 y2 关于直线y x m对称 且x1x2 那么m的值等于 a b c 2 d 3 因为点a x1 y1 b x2 y2 在抛物线y 2x2上 所以y1 2 y2 2 两式相减得y1 y2 2 x1 x2 x1 x2 不妨设x1 x2 又a b两点关于直线y x m对称 所以 1 所以x1 x2 而x1x2 解得x1 1 x2 解析 由双曲线的定义知2a 4 得a 2 所以抛物线的方程为y 2x2 因为中点m也在直线y x m上 所以 m 解得m 答案 a 设a x1 y1 b x2 y2 的中点为m x0 y0 则x0 y0 11 基础再现 椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形 则椭圆的离心率为 解析 焦距为2c 短轴长为2b 由已知得2c b 3c 又a2 b2 c2 9c2 c2 10c2 e 答案 二 填空题 本大题共5小题 每小题5分 12 基础再现 如图 已知c是双曲线e 1 a 0 b 0 上的一点 o是双曲线的中心 直线oc的倾斜角为 a是双曲线的右顶点 oa ac 则 解析 在 oac中 oa ac aoc oa a oc a 则点c的坐标为 a a 代入双曲线方程得 1 b2 a2 即 答案 13 视角拓展 动直线l的倾斜角为60 若直线l与抛物线x2 2py p 0 交于a b两点 且a b两点的横坐标之和为3 则抛物线的方程为 解析 设直线l的方程为y x b 联立消去y 得x2 2p x b 即x2 2px 2pb 0 x1 x2 2p 3 p 抛物线的方程为x2 y 答案 x2 y 14 视角拓展 在平面直角坐标系xoy中 已知 abc的顶点a 6 0 和c 6 0 若顶点b在双曲线 1的左支上 则 解析 由条件可知a c恰为已知双曲线的两个焦点 则 bc ba 10 且 ac 12 又在 abc中 有 2r 从而 答案 15 高度提升 设过点p x y 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a b两点 点p与点q关于y轴对称 o为坐标原点 若 2且 1 则点p的轨迹方程是 解析 设p x y 由 2可得a 0 b 0 3y 则 3y x y 所以 3y x y 1 化简可得x2 3y2 1 x 0 y 0 即为所求轨迹方程 答案 x2 3y2 1 x 0 y 0 16 基础再现 如图 已知椭圆的中心在原点 焦点在x轴上 长轴长是短轴长的2倍且经过点m 2 1 平行于om的直线l在y轴上的截距为m m 0 l交椭圆于a b两个不同点 1 求椭圆的方程 2 求m的取值范围 三 解答题 本大题共6小题 共75分 解析 1 设椭圆方程为 1 a b 0 由题意得解得所以椭圆方程为 1 2 因为直线l平行于om 且在y轴上的截距为m 又kom 所以l的方程为y x m 由 x2 2mx 2m2 4 0 因为直线l与椭圆交于a b两个不同点 所以 2m 2 4 2m2 4 0 解得 2 m 2 又m 0 故m的取值范围是 m 2 m 2 且m 0 17 基础再现 已知双曲线的中心在原点 焦点在x轴上 f1 f2分别是双曲线的两个焦点 离心率为 且过点 4 1 求双曲线方程 2 若点m 3 m 在双曲线上 求证 mf1 mf2 3 求 f1mf2的面积 设双曲线的方程为 1 又双曲线过点 4 即有 1 即a2 6 故所求双曲线的方程为 1 解析 1 由题意可得e a b f1mf2为直角三角形 即mf1 mf2 3 f1f2 4 4 6 2 m 3 m 在双曲线上 1 m2 3 m om 2 又c 2 即 of1 of2 om 2 18 视角拓展 已知抛物线p x2 2py p 0 1 若抛物线上点m m 2 到焦点f的距离为3 求抛物线p的方程 2 设过焦点f的动直线l交抛物线于a b两点 连接ao bo并延长分别交抛物线的准线于c d两点 求证 以cd为直径的圆过焦点f 的距离与到准线距离相等 即m m 2 到y 的距离为3 2 3 解得p 2 抛物线p的方程为x2 4y 2 直线l的斜率显然存在 设l y kx 解析 1 由抛物线定义可知 抛物线上点m m 2 到焦点f 设a x1 y1 b x2 y2 由消y得x2 2pkx p2 0 且 0 x1 x2 2pk x1x2 p2 a x1 y1 直线oa y x 与y 联立可得c 同理得d 焦点f 0 p p p p p2 p2 p2 p2 p2 0 以cd为直径的圆过焦点f 19 高度提升 若椭圆 1 a b 0 过点 3 2 离心率为 o的圆心为原点 直径为椭圆的短轴 m的方程为 x 8 2 y 6 2 4 过 m上任一点p作 o的切线pa pb 切点为a b 1 求椭圆的方程 2 若直线pa与 m的另一交点为q 当弦