概率之1-4-2 条件概率(专衔本)--全概率公式及贝叶斯公式.ppt

一 条件概率 二 乘法定理 三 全概率公式 五 小结 第四节条件概率 四 贝叶斯公式 例1有三个箱子 分别编号为1 2 3 其中1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 求取得红球的概率 解 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 即B A1B A2B A3B 且A1B A2B A3B两两互斥 B发生总是伴随着A1 A2 A3之一同时发生 P B P A1B P A2B P A3B 运用加法公式得 1 2 3 将此例中所用的方法推广到一般的情形 就得到在概率计算中常用的全概率公式 对求和中的每一项运用乘法公式得 P B P A1B P A2B P A3B 代入数据计算得 P B 8 15 1 样本空间的划分 三 全概率公式 注意 可推广到可列无穷划分 则对任一事件B 有 2 全概率公式 设为随机试验的样本空间 A1 A2 An是两两互斥的事件 且有P Ai 0 i 1 2 n 全概率公式 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用 综合运用 加法公式P A B P A P B A B互斥 乘法公式P AB P A P B A P A 0 说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题 分解为若干个简单事件的概率计算问题 最后应用概率的可加性求出最终结果 图示 化整为零各个击破 全概率公式的来由 不难由上看出 全 部概率P B 被分解成了许多部分之和 某一事件B的发生有各种可能的原因 i 1 2 n 如果B是由原因Ai所引起 则B发生的概率是 每一原因都可能导致B发生 故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和 即全概率公式 P BAi P Ai P B Ai 全概率公式 我们还可以从另一个角度去理解 例2有一批同一型号的产品 已知其中由一厂生产的占25 二厂生产的占35 三厂生产的占40 又知这三个厂的产品次品率分别为5 4 2 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少 设事件B为 任取一件为次品 解 由全概率公式得 25 35 40 5 4 2 注 使用全概率公式关键是找互不相容的完备事件组 即划分 例310个人一次抽签 10张签中有五张是幸运签 另五张是空签 试求第1人 第2人以及第10人抽中幸运签的概率 解 令Ai 第i个人抽到幸运签 i 1 2 10 例4盒中放有12个乒乓球 其中有9个是新的 第一次比赛时 从中任取3个来用 比赛后仍放回盒中 第二次比赛时再从盒中任取3个 求第二次取出的球都是新球的概率 解设B表示 第二次取出的球都是新球 由于第二次取出的球都是新球的概率与第一次比赛时取出的3个球的新球个数有关 设Ai表示 第一次取了i个新球 i 0 1 2 3 显然A0 A1 A3两两互不相容 且P Ai 0 A0 A1 A3 由全概率公式 因此 练习 两台机床加工同样的零件 第一台的废品率为0 04 第二台的废品率为0 07 加工出来的零件混放 并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍 现任取一零件 问是合格品的概率为多少 解令B 取到的零件为合格品 Ai 零件为第i台机床的产品 i 1 2 此时 全部的零件构成样本空间 A1 A2构成 的一个划分 由全概率公式得 例1有三个箱子 分别编号为1 2 3 其中1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 求取得红球的概率 问题改为 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 实际中还有下面一类问题 是 已知结果求原因 该球取自哪号箱的可能性最大 或者问 该球取自哪号箱的可能性最大 这一类问题在实际中更为常见 它所求的是条件概率 是已知某结果发生条件下 求各原因发生可能性大小 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 或者问 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式 有三个箱子 分别编号为1 2 3 1号箱装有1个红球4个白球 2号箱装有2红球3白球 3号箱装有3红球 某人从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 1 1红4白 某人从任一箱中任意摸出一球 发现是红球 求该球是取自1号箱的概率 记Ai 球取自i号箱 i 1 2 3 B 取得红球 求P A1 B 运用全概率公式计算P B 将这里得到的公式一般化 就得到 贝叶斯公式 四 贝叶斯公式 该公式于1763年由贝叶斯 Bayes 给出 它是在观察到事件B已发生的条件下 寻找导致B发生的每个原因的概率 贝叶斯公式 在贝叶斯公式中 P Ai 和P Ai B 分别称为原因的验前概率和验后概率 P Ai i 1 2 n 是在没有进一步信息 不知道事件B是否发生 的情况下 人们对诸事件发生可能性大小的认识 即实验前的假设概率 当有了新的信息 知道B发生 应当重新估计对诸事件Ai的概率 即计算事件Ai在事件B发生的条件下的条件概率P Ai B 在不了解案情细节 事件B 之前 侦破人员根据过去的前科 对他们作案的可能性有一个估计 设为 比如原来认为作案可能性较小的某甲 现在变成了重点嫌疑犯 例如 某地发生了一个案件 怀疑对象有甲 乙 丙三人 甲 乙 丙 P A1 P A2 P A3 但在知道案情细节后 这个估计就有了变化 P A1 B 知道B发生后 P A2 B P A3 B 例2有一批同一型号的产品 已知其中由一厂生产的占25 二厂生产的占35 三厂生产的占40 又知这三个厂的产品次品率分别为5 4 2 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少 问题改为 现从这批产品中任取一件是次品 问这件次品是哪一个厂家生产的概率最大 例6有一批同一型号的产品 已知其中由一厂生产的占25 二厂生产的占35 三厂生产的占40 又知这三个厂的产品次品率分别为5 4 2 现从这批产品中任取一件是次品 问这件次品是哪一个厂家生产的概率最大 设事件B为 任取一件为次品 解 在使用Bayes公式时 往往先利用全概率公式 解 例7 由贝叶斯公式得所求概率为 上题中概率0 95是由以往的数据分析得到的 叫做先验概率 验前概率 而在得到信息之后再重新加以修正的概率0 97叫做验后概率 先验概率与后验概率 例8某一地区患有癌症的人占0 005 临床诊断记录表明 利用某种试验检查癌症患者具有如下效果 对癌症患者进行试验 结果呈阳性反应的概率为0 95 正常人对这种试验反应呈阳性的概率为0 04 现抽查了一个人 试验反应是阳性 问此人是癌症患者的概率有多大 则表示 抽查的人不患癌症 已知P A 0 005 P 0 995 P B A 0 95 P B 0 04 解 设A 抽查的人患有癌症 B 试验结果是阳性 问题归结为求P A B 现在来分析一下结果的意义 由贝叶斯公式 可得 代入数据计算得 P A B 0 1066 2 检出阳性是否一定患有癌症 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 如果不做试验 抽查一人 他是患者的概率P A 0 005 验前概率 患者阳性反应的概率是0 95 若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息 此人是患者的概率为P A B 0 1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义 从0 005增加到0 1066 将近增加约21倍 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 2 检出阳性是否一定患有癌症 试验结果为阳性 此人确患癌症的概率为 P A B 0 1066 即使你检出阳性 尚可不必过早下结论你有癌症 这种可能性只有10 66 平均来说 1000个人中大约只有107人确患癌症 此时医生常要通过再试验来确认 这一讲我们介绍了 全概率公式 贝叶斯公式 它们是加法公式和乘法公式的综合运用 值