高考数学一轮复习 2.4二次函数与幂函数课件 文 新人教A版.ppt

2 4二次函数与幂函数 二次函数解析式的三种形式 1 一般式 y ax2 bx c a 0 2 顶点式 f x a x k 2 h 其中点 k h 为二次函数的顶点 3 零点式 f x a x x1 x x2 其中二次函数的零点为x1与x2 一 二次函数 二 二次函数的图像与性质 1 幂函数的概念 形如y x 的函数称为幂函数 其中 为常数 2 幂函数 y x 的性质 1 当 0时 图像都通过点 1 1 0 0 在第一象限内 函数值随x的增大而增大 在第一象限内 1与0 1的图像凹凸性不一样 三 幂函数 图像在点 1 1 处发生交叉 2 当 0时 图像都通过点 1 1 在第一象限内 函数值随x的增大而减小 图像在点 1 1 处发生交叉 1 已知幂函数f x 过点 4 2 则f 9 等于 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 设f x x 点 4 2 在函数图像上 2 4 f 9 3 答案 c 2 在同一坐标系内 函数y xa a 0 和y ax 的图像可能是 对于b 由y xa的图像知a0 不符合 通过比较知c符合 答案 c 解析 当a 0时 直线的斜率为正 在y轴上的截距为 0 此时幂函数y xa在 0 上是增函数 故a d图像不可能 3 若f x x2 ax 1有负值 则实数a的取值范围是 a a 2 b 2 a 2 c a 2或a 2 d 1 a 3 解析 f x x2 ax 1有负值 a2 4 0 即a 2或a 2 答案 c 题型1二次函数 幂函数基础试题 例1 1 已知函数f x 2x2 6x m的值恒小于0 则实数m的取值范围为 2 若函数f x x2 a 2 x b x a b 的图像关于直线x 1对称 则函数f x 的最大值为 分析 1 二次函数的开口向下 故只需二次函数的顶点在x轴的下方即可 2 函数的图像关于直线x 1对称 则定义域关于1对称 可列 出一个方程 对称轴为直线x 1 也可列出一个方程 解二元一次方程组得出a b的值 解析 1 f x 2x2 6x m 2 x2 3x m 2 x 2 m m 函数f x 2x2 6x m的值恒小于0 m 2 函数的图像关于直线x 1对称 f x x2 2x 6 4 x 6 f x 开口向上 图像在 4 6 上关于x 1对称 函数f x 的最大值为f 4 f 6 30 答案 1 2 30 点评 1 2 从二次函数的开口方向与参数的结合命题 还结合了恒成立与对称轴等问题 属二次函数的性质与应用范围 变式训练1 1 若函数f x x2 ax a r 则下列结论成立的是 a 函数f x 一定是偶函数 b 函数f x 一定存在零点 c 函数f x 在 0 上一定是增函数 d 函数f x 在 a 上一定是增函数 围是 解析 1 只有a 0时 函数f x 才是偶函数 故a错 函数f x 在 上是减函数 在 上是增函数 故c d错 2 f x x 1 2 1 1 知1 a b 令x2 2x 3 则x 3或x 1 或 2 b a 4 2 已知函数f x x2 2x x a b 的值域为 1 3 则b a的取值范 答案 1 b 2 2 4 分析 由f 3 x f x 可得到f x 的对称轴为x 由f 1 0可得a b c的一个方程 由 对任意实数x f x 恒成立 可知把f x 表示成a的形式后转化为含参不等式恒成立问题 题型2与二次函数有关的问题 例2已知二次函数f x ax2 bx c a 0 满足 f 3 x f x f 1 0 对任意实数x f x 恒成立 求f x 的解析式 解析 f 3 x f x 可得到f x 的对称轴为x b 3a f 1 0 a b c 0 c a b 2a f x ax2 3ax 2a 对任意实数x f x 恒成立 ax2 3ax 2a 恒成立 ax2 3ax 2a 0恒成立 a 1 f x x2 3x 2 点评 本题利用数形结合的思想确定函数的对称轴 并对恒成立问题进行转化分析再结合二次函数图像确定 0 变式训练2函数f x x2 2x 2在 t t 1 t r 上的最小值为g t 求g t 的解析式 解析 函数f x x2 2x 2的对称轴为x 1 开口向上 f x 在 1 上是减函数 在 1 上是增函数 当t 0时 t 1 1 函数f x 在 t t 1 上是减函数 g t f t 1 t2 1 g t 当0 t 1时 x t t 1 函数f x 的最小值g t f 1 1 当t 1时 函数f x 在 t t 1 上是增函数 g t f t t2 2t 2 1 若函数的单调递增区间为 1 求a的值 2 若函数f x 的值域为 0 9 求a的值 分析 1 利用复合函数确定函数的单调区间 再利用单调区间求a的值 2 利用函数的值域分析指数的范围 再求a的值 题型3二次函数与其他基本函数的结合 例3已知函数f x a r 解析 1 设g x 2x2 ax 1 对称轴为x 开口向下 则g x 在 上是增函数 在 上是减函数 y 3x在r上是增函数 则f x a r 在 上是增函数 在 上是减函数 1 a 4 2 函数f x 的值域为 0 9 则g x 2x2 ax 1的值域为 2 g x 2 x 2 1 1 1 2 a 2 点评 本题需要对问题进行转化 对二次函数有关问题的探究需要数形结合 故需要运用化归与数形结合的思想 第一小题也可以用导数的方法进行解答 变式训练3已知 a 1 若函数f x ax2 2x 1在区间 1 3 上的最大值为m a 最小值为n a 令g a m a n a 1 求g a 的函数表达式 2 判断函数g a 在区间 1 上的单调性 并求出g a 的最小值 解析 1 因为 a 1 f x 的图像为开口向上的抛物线 且对称轴为x 1 3 所以f x 有最小值n a f 1 当2 3 即a 时 f x 有最大值m a f 1 a 1 当1 2 即a 1 时 f x 有最大值m a f 3 9a 5 g a 2 设 a10 g a1 g a2 g a 在 上是减函数 设 a1 a2 1 则g a1 g a2 a1 a2 9 0 g a1 g a2 g a 在 1 上是增函数 当a 时 g a 有最小值 1 注意数形结合 密切联系图像是研究掌握二次函数性质的基本方法 二次函数f x ax2 bx c图像的开口方向 顶点坐标 对称轴及单调区间等是处理二次函数的重要依据 2 注意二次函数与方程 不等式和导数等的结合 充分利用二次函数的性质解决问题 3 注意对二次函数的零点问题 判别式 函数区间端点值的正负等的分析 帮助学生从知识 方法 思想等方面总结归纳 反思提高 a a 0 b a 0 c 0 a 4 d a 0或a 4 错解 f 2 x f 2 x f x 是偶函数 且对称轴为y轴 又f x 在 0 2 上是增函数 f x 在 0 上是增函数 a 0时 f a f 0 故选a 例二次函数f x 满足f 2 x f 2 x 又f x 在 0 2 上是增函数 且f a f 0 则实数a的取值范围是 剖析 由f 2 x f 2 x 的意义知 二次函数f x 关于x 2对称 不能判定函数是偶函数 其错因是由 数 转化为 形 的能力差造成的 正解 f 2 x f 2 x 二次函数f x 的对称轴为x 2 又f x 在 0 2 上是增函数 抛物线开口向下 如图 由图像可知 只有在区间 0 4 上 才有f x f 0 故选c 答案 c 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 若函数f x 4x2 mx 5在区间 2 上是增函数 则 a f 1 25 b f 1 25 c f 1 25 d f 1 25 解析 函数f x 4x2 mx 5的对称轴x 可知函数在 上单调递增 故只需 2 即m 16 f 1 9 m 25 答案 a 2 基础再现 函数f x kx2 kx 1与x轴有两个不同的交点 是 4 k 0 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分又不必要条件 解析 函数f x kx2 kx 1与x轴有两个交点 等价于即k 0或k 4 故选d 答案 d 3 视角拓展 函数f x ax2 bx c的图像如图所示 则不等式 0的解集是 a 3 b 3 c 3 d 3 解析 由图像可知f x a x 1 x 2 ax2 3ax 2a a 0 b 3a c 2a 不等式 0等价于 0 即 0 x 3或x 故选a 答案 a 4 视角拓展 函数f x 2x2 8x 5的图像上有三点a a y1 b a 1 y2 c a 2 y3 其中a 0 则 a y1 y2 y3 b y1 y3 y2 c y3 y2 y1 d y2 y1 y3 解析 函数的对称轴为x 2 开口向上 函数f x 在 2 上是减函数 a a 1 a 2 2 y3 y2 y1 故选c 答案 c 5 高度提升 若函数f x a b r 定义域为r 则3a b的取值范围是 a 2 b 6 c 6 d 0 解析 函数f x a b r 的定义域为r a 2 x2 bx a 2 0恒成立 当a 2时 只有b 0才有函数f x 定义域为r 3a b 6 当a 2时 由题意可知 2 a 2 b 2 a 2 由线性规划求得3a b 6 3a b的取值范围是 6 故选b 答案 b 6 基础再现 已知 2 1 1 2 则使函数y x 在 0 上单调递增的所有 值的集合为 解析 函数y x 在 0 上单调递增 0 1或 2 答案 1 2 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 基础再现 已知函数f x x2 x 2 x 4 6 则函数f x 的值域是 解析 函数f x 的开口向上 对称轴为x 4 6 f x f 2 f 4 16 4 2 10 f 6 36 6 2 40 函数f x 的值域是 40 答案 40 8 视角拓展 已知幂函数f x 的图像过点 2 8 g x x2 4 定义函数f x 则函数f x 的最小值为 解析 幂函数f x 的图像过点 2 8 f x x3 f 2 8 g 2 8 当x 2时 f x f 2 8 g x g 2 8 f x 8 当x 2时 g x f x x2 4 x3 0 xx2 x2 x3 x2 2 x 0 xx2 4 0 g x f x f x g x x2 4 4 综上 函数f x 的最小值为4 答案 4 9 高度提升 已知函数f x x a x b 2 a b m n m n 是方程f x 0的两个根 则实数a b m n的大小关系是 解析 如图所示 设函数g x x a x b a b 那么函数g x 的图像与x轴的交点的横坐标分别 答案 m a b n 为a b a b 而f x x a x b 2的图像是由函数g x 的图像向下平移2个单位得到的 由于m n m n 是方程f x 0的两个根 所以函数f x 的图像与x轴的交点的横坐标分别为m n m n 结合图形可知m a b n 10 视角拓展 已知幂函数y m n 的图像关于y轴对称 且在 0 上是减函数 求满足不等式 2a2 1 m 4 a m的a的取值范围 解析 函数在 0 上单调递减 m2 2m 3 0 解得 1 m 3 m n m 1 2 又 函数图像关于y轴对称 m2 2m 3是偶数 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 而22 2 2 3 3为奇数 12 2 1 3 4为偶数 m 1 函数y x 1在 0 0 上均为减函数 又2a2 1 0 2a2 1 14 a 0 解得1 a 4或a 故a的取值范围为 1 4 11 高度提升 已知函数f x 4x2 4ax a2 2a 2在区间 0 2 上有最小值3 求a的值 解析 f x 4 x 2 2a 2 对称轴为x 当 0 即a 0时 函数f x 在 0 2 上是增函数 f x min f 0 a2 2a 2 由a2 2a 2 3 得a 1 a 0 a 1 当0 2 即0 a 4时 f x min f 2a 2 由 2a 2 3 得a 0 4 舍去 当 2 即a 4时 函数f x 在 0 2 上是减函数 f x min f 2 a2 10a 18 由a2 10a 18 3 得a 5 a 4 a 5 综上所述 a 1 或a 5 12 能力综合 某企业生产一种产品时 固定成本为5000元 而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元 市场对此商品年需求量为500台 销售的收入函数为r x 5x x2 万元 0 x 5 其中x是产品生产的数量 单位 百台 1 把利润表示为年产量的函数 2 年产量多少时 企业所得的利