高考数学一轮复习 3.3 等比数列课件 文 新人教A版.ppt

3 3等比数列 一 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起 每一项与它前一项的比都等于同一个常数q q 0 这个数列叫做等比数列 常数q称为等比数列的公比 二 通项公式与前n项和公式 1 通项公式 an a1qn 1 a1为首项 q为公比 推广形式 an amqn m 变式 q n m n n m 2 前n项和sn公式 sn 3 若数列 an 是等比数列 则其前n项和为sn a qn c 且a c 0 4 三个数或四个数成等比数列且又知道乘积时 则三个数可设为 a aq 四个数可设为 aq aq3 三 等比中项 如果a g b成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 即 g是a与b的等比中项 a g b成等比数列 g2 a b 四 等比数列的判定方法 1 定义法 q n n q 0是常数 an 是等比数列 2 中项法 an an 2 n n 且an 0 an 是等比数列 五 等比数列的常用性质 1 数列 an 是等比数列 则数列 pan p 0是常数 都是等比数列 2 在等比数列 an 中 等距离取出若干项也构成一个等比数 列 即an an k an 2k an 3k 为等比数列 公比为qk 3 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 4 若等比数列 an 的前n项和为sn 则sk s2k sk s3k s2k s4k s3k 是等比数列 q 1 1 已知x 2x 2 3x 3是一个等比数列的前三项 则其第4项等于 a b c 27 d 27 解析 由已知 2x 2 2 x 3x 3 x 4或x 1 2x 2 0 舍去 等比数列的前三项为 4 6 9 a4 答案 a 2 设sn为等比数列 an 的前n项和 已知3s3 a4 2 3s2 a3 2 则公比q等于 a 3 b 4 c 5 d 6 解析 两式相减得 3a3 a4 a3 a4 4a3 q 4 答案 b 3 等比数列 an 中 a7 a11 6 a4 a14 5 则等于 a 或 b 或 c d 解析 因为a7 a11 a4 a14 6 又a4 a14 5 解得a4 2 a14 3或a4 3 a14 2 设公比为q 当a4 2 a14 3时 得q10 此时 q10 当a4 3 a14 2时 同理得 答案 a 题型1五个基本量的有关计算 例1 1 等比数列 an 中 已知a1 a2 a3 a4 10 a5 a6 a7 a8 5 则数列 an 的前16项和s16为 a 50 b c d 2 已知在等比数列 an 中 a1 a3 10 a4 a6 则该数列的公比q 分析 利用等比数列的基本量a1 q等之间的关系 根据条件 利用合理的公式求解 解析 1 a1 a2 a3 a4 10 a5 a6 a7 a8 5 a5 a6 a7 a8 a1 a2 a3 a4 q4 5 10q4 解得q4 a5 a6 a7 a8 5且q4 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 s16 a1 a2 a3 a16 15 2 a4 a6 a1q3 a3q3 a1 a3 q3 10 q3 q3 q 答案 1 b 2 点评 等比数列基本量的求解关键是利用通项公式 前n项和公式列方程求解 变式训练1 1 设sn为等比数列 an 的前n项和 8a2 a5 0 则等于 a 11 b 5 c 8 d 11 2 设 an 是由正数组成的等比数列 sn为其前n项和 已知a2a4 1 s3 7 则s5等于 a b c d 解析 1 通过8a2 a5 0 设公比为q 将该式转化为8a2 a2q3 0 解得q 2 11 2 由a2a4 1可得q4 1 因此a1 又因为s3 a1 1 q q2 7 联立两式有 3 2 0 an 是由正数组成的等比数列 q 所以s5 答案 1 d 2 b 题型2等比数列性质的应用 例2 1 已知在等比数列 an 中 a1 a2 a3 1 a4 a5 a6 8 则a6 a7 a8的值为 a 32 b 48 c 60 d 64 2 正项等比数列 an 中 81 则 等于 a b 3 c 6 d 9 分析 1 根据等比数列的性质可以解决问题 2 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 由已知 81 81 解析 1 设数列 an 的公比为q 则q3 8 q 2 又数列 an an 1 an 2 也是以2为公比的等比数列 故a6 a7 a8 a1 a2 a3 q5 32 2 81 81 2 81 因为数列各项都是正数 9 答案 1 a 2 d 点评 灵活运用性质 可以大大减少计算量 从等比数列的本质特征入手去思考 分析题意同时 注意对于含有较多字母 的客观题 可以取满足条件的数字代替字母 代入验证 若能排除3个选项 剩下唯一的就一定正确 若不能完全排除 可以取其他数字验证继续排除 高考重点考查创新意识 综合与灵活地应用所学的数学知识 思想和方法 要在这上面下工夫 变式训练2 1 已知等比数列 an 的各项均为正数 公比q 1 设p log0 5a5 log0 5a7 q log0 5 p与q的大小关系是 a p q b p q c p q d p q 2 设等比数列 an 中 前n项和为sn 已知s3 8 s6 7 则a7 a8 a9等于 a b c d 解析 1 p log0 5 log0 5 q log0 5 由 q 1 a3 a9 又y log0 5x在 0 上递减 log0 5 log0 5 即q p 2 由题意 s3 s6 s3 s9 s6 成等比数列 所以 s6 s3 2 s3 s9 s6 解得s9 s6 即a7 a8 a9 答案 1 d 2 a 题型3等比数列的判定或证明 例3已知数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 n n 1 令bn an 1 an 证明 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 分析 1 要证明数列 an 1 an 为等比数列 只需证明为一个与n无关的常数即可 2 借用 1 的通项公式可求出an的表达式 解析 1 b1 a2 a1 1 当n 2时 bn an 1 an an an an 1 bn 1 bn 是以1为首项 为公比的等比数列 2 由 1 知bn an 1 an n 1 当n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 1 n 2 1 1 1 n 1 n 1 当n 1时 1 1 1 a1也适合 an n 1 n n 点评 等比数列的定义是判定或证明一个数列为等比数列的最基本方法之一 利用它解题时务必注意式子 q中要求对于任意n 2的正整数成立 且q是不为零的常数 变式训练3设数列的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn 2an 证明数列是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 由已知有a1 a2 4a1 2 解得a2 3a1 2 5 故b1 a2 2a1 3 又an 2 sn 2 sn 1 4an 1 2 4an 2 4an 1 4an 于是an 2 2an 1 2 an 1 2an 即bn 1 2bn 因此数列 bn 是首项为3 公比为2的等比数列 2 由 1 知等比数列 bn 中b1 3 公比q 2 所以an 1 2an 3 2n 1 于是 因此数列 是首项为 公差为的等差数列 所以 n 1 n 即an 3n 1 2n 2 1 要熟练应用通项公式及其变形公式 比如等比数列中 am an qm n等 2 等比数列的学习可类比等差数列来进行 注意运用函数 方程 不等式等数学思想方法分析和解决问题 3 熟练掌握等比数列的基本性质 重视各种公式的正用 逆用 变形等 4 注意等比数列使用的限制条件 例设数列 an 对所有正整数n都满足 a1 2a2 22a3 2n 1an 8 5n 求数列 an 的前n项和sn 错解 a1 2a2 22a3 2n 1an 8 5n a1 2a2 22a3 2n 2an 1 8 5 n 1 由 得2n 1an 5 an an 1 an 是等比数列 a1 3 故求得sn 6 剖析 本题中运用 时 显然在n 2时才能成立 所以 也只能在n 2时才能成立 正解 由上可知 n 2 令n 1 由 得a1 3 令n 2由 得a2 所以数列 an 不是等比数列 但从第二项开始以后各项构成等比数列 sn 3 2 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 在等比数列 an 中 已知a1 1 a4 8 则a5等于 a 16 b 16或 16 c 32 d 32或 32 解析 由已知条件可知 q3 8 q 2 a5 a4 2 16 答案 a 2 视角拓展 等比数列 an 的前n项和为sn 且4a1 2a2 a3构成等差数列 若a1 1 则s4等于 a 7 b 8 c 15 d 16 解析 由题意可知 2 2a2 4a1 a3 4q 4 q2 解得q 2 s4 15 答案 c 3 视角拓展 已知等比数列 an 且an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 那么a3 a5的值为 a 5 b 10 c 15 d 20 解析 a2a4 a4a6 a2a4 2a3a5 a4a6 2a3a5 a3 a5 2 即 a3 a5 2 25 an 0 a3 a5 5 答案 a 4 视角拓展 设a和g分别是a b的等差中项和等比中项 则a2 b2的值为 a 4a2 2g2 b a2 g2 c 2a2 g2 d 2a2 2g2 解析 由已知得故a2 b2 a b 2 2ab 4a2 2g2 答案 a 5 高度提升 已知正项等比数列 an 满足a7 a6 2a5 若存在两项am an使得 4a1 则 的最小值为 a b c d 不存在 解析 因为正项等比数列 an 满足a7 a6 2a5 则有a1q6 a1q5 2a1q4 即q2 q 2 0 解得q 2或q 1 舍去 存在两项am an使得 4a1 即a1 4a1 m n 6 m n 5 5 4 当且仅当 时取等号 即最小值是 答案 a 6 基础再现 已知等差数列 an 公差d 0 a1 a3 a4成等比数列 则 解析 a1 a4 即 a1 2d 2 a1 a1 3d d 0 a1 4d 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 答案 7 视角拓展 设等比数列 an 的前n项和为sn 若a2014 3s2013 2015 a2013 3s2012 2015 则公比q 解析 两式相减可得a2014 a2013 3 s2013 s2012 整理得a2014 4a2013 所以公比q 4 答案 4 8 视角拓展 在等比数列 an 中 公比q 2 且a1a2 a13 213 则a2a5a8a11 解析 由已知可知 a1a2 a13 q1 2 3 12 q6 13 213 所以a1q6 2 从而a2a5a8a11 q22 a1q6 4 24 4 答案 4 9 高度提升 设正项等比数列 an 的前n项和为sn 且210s30 s10 210 1 s20 则数列 an 的公比为 解析 210s30 s10 210 1 s20 210 s30 s20 s20 s10 即210q10 1 q10 10 等比数列的各项都是正项 q 答案 10 视角拓展 已知四个数 前三个数成等比数列 和为19 后三个数成等差数列 求此四个数 解析 依题意可设这四个数分别为 4 d 4 4 d 则由前三个数的和为19可列方程得 4 d 4 19 整理得 d2 12d 28 0 解得d 2或d 14 这四个数分别为 25 10 4 18或9 6 4 2 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 11 视角拓展 设 an 是公比大于1的等比数列 sn为数列 an 的前n项和 已知s3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求证 数列 bn 为等差数列 解析 1 由已知得 解得a2 2 设数列 an 的公比为q 由a2 2 可得a1 a3 2q 又s3 7 可知 2 2q 7 即2q2 5q 2 0 解得q1 2 q2 由题意得q 1 q 2 a1 1 故数列 an 的通项公式为an 2n 1 2 由 1 得a3n 1 23n bn ln23n 3nln2 又bn 1 bn 3ln2 数列 bn 是等