数量关系的方案问题.doc

关于数量关系的方案问题 “数量关系方案问题”其核心是在若干种可能的处理方法中，找出最优的方案来，“最优”反应在数学中，大多就是“最大”或“最小”。 解决方案问题，根据问题的类型之特点，基本上可以分为四种方法：“列举法”、“函数法”“不等式的整式解”法，“不等式组的整式解”法，“两个函数的比较法”。1：列举法 所谓“列举法”，就是把可选择的方案悉数列出，然后根据要求从中确定出“最优者”，在可选择的方案数量有限且容易全部确定的情况下，易采用这种方法。例一： 为了提高土地的利用率，将小麦、玉米、黄豆三种农作物套种在一起，俗称“三种收发”，这样的种植法可将土地每亩的总产量提高40%。小麦玉米黄豆亩产量（千克）400680250销售单价（元/千克）212.6种植成本（元/亩）20013050 现将面积为10亩的一块农田“三种三”收套种，为保证主要农作物的种植比例，要求小麦的种植面积占整个种植面积的一半。（1） 在保证小麦面积不变的情况下，玉米、黄豆的种植面积均不得低于一亩，切两种农作物均以整亩数种植，三种农作物套种的种植亩数，有那几种种植方案？（2） 在（1）中的种植方法中，采用哪几种套种方案，才能使总销售价最高？最高价是多少？（3） 在（1）中的种植方案中，采用哪种套用方案，才能使总利润最大？最大利润是多少？【观察与思考】对于（1）（2）（3）均用列举法，把相应的方案列出来，然后根据要求，选定“最优着”。 解： （1）将种植方案可以列举出来，如下：方案1234小麦亩数5555玉米亩数1234黄豆亩数4321 （2）先列举出每种方案对应的销售总价：方案相应的总销售价方案12*400*5*1.4+1*680*1*1.4+2.6*250*4*1.4=10192方案22*400*5*1.4+1*680*2*1.4+2.6*250*3*1.4=10234方案32*400*5*1.4+1*680*3*1.4+2.6*250*2*1.4=10276方案42*400*5*1.4+1*680*1.4+2.6*250*1*1.4=10318采用方案4.即小麦5亩、玉米4亩、黄豆1亩，可使总销售价最高，7370元。（3）列举出各方案对应的总利润： 方案相应的总利润方案110192-（200*5+130*1+50*4）=9862方案210234-（200*5+130*2+50*3）=8824方案310276-（200*5+130*3+50*2）=8786方案410318-（200*5+130*4+50*1）=8748采用方案1，即小麦5亩、玉米1亩、黄豆4亩，可使总利润最高，最高利润为9862元。2 化归为“函数不等式的整数解” 例2 某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土产品共120吨去外地销售。按计划20辆车都要装运，每辆车只能装同一种土产品，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题： 土产品种类甲乙丙每辆汽车运载量（吨）865每吨土产品获利（百元）121610 （1） 设装运甲土产品的车辆数为x，装运乙种土产品的车辆数为y,求y与x之间的函数关系式？（2） 如果装运每车土产品的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案。（3） 若要是此次销售利润最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的植？ 【观察与思考】对于问题（1），可采用“等式导出法”来建立函数关系式；对于（2）根据限制条件简历不等式组，得出相应不等式的整数解，用列举法列出符合要求的答案。对于问题（3）用列举法求出最大利益的值。解：（1）8x+6y+5(20-x-y)=120y=20-3x X3 由（2） 20-3x 3 20-x-(20-3x3) 方案1：甲种三辆 乙种11辆 丙种6辆方案2：甲种:4辆 乙种8辆 丙8辆方案3：甲种5辆 乙种5辆 丙种10辆（3 ）：方案1销售利润4812+11616+6510=1644百元=（16。44）（万元） 方案2销售利润:4812+8616+8510=1552（百元）=15.52(万元) 方案3销售利润：5812+5616+10510=1460(百元)=（14.60）（万元） 故方案3销售利润最大，最大利润为16.44万元。 例3 某公司经营甲乙两种商品，每件甲商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙商品进价8万元，售价10万元，且它们的售价和进价始终不变。现准备购进甲乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元。（1） 该公司有几种进货方案？（2） 该公司采用哪种进货方案获得利润最大？最大利润是多少？（3） 若用（2）中所求的得利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案？【观察与思考】 对于（1），可用“函数不等式的整数解”法，来确定出方案；对于（2），可用函数的增减性来确定，也可以用列举法来确定。对于（3），可用列举法来确定。 解： 设购进甲商品x件，所以资金为y万元，则 Y=12x+8(20-x)=4x+160 由1904x+160200,得7.5x10 因为x是正整数，所以x=8 x=9 x=10,得三种进货方案： 方案（1）购进甲商品8件，乙种商品12件； 方案（2），购进甲商品9件，乙种商品11件 方案（3）购进甲种商品10件，乙中商品10件。（4） 用不超过45万元，可进货的方案和相应的利润为：方案（1）甲种商品3件，乙种商品1件，可获利润（14.5-12）3+（10-8）1=9.5 方案（2）甲种商品2件，乙种商品2件，可获利润（14.5-12）2+（10-8）2=9；方案（3）甲种商品1件，乙种商品4件，可获利润（14.5-12）1+（10-8）4=10.5）方案（4）乙种商品 5件，可获利10.5万元3，化归为不等式组的整数解例4 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机，冰箱，洗衣机共15台。三中家电的进价和售价如下表所示：种类 价格进价（元/台）售价（元/台）电视机20002100冰箱24002500洗衣机16001700（1） 在不超过现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？（2） 国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴。在（1）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需要补贴农民多少钱?【观察与思考】对于本题（1），由“洗衣机数量不大于电视机数量的一半”与“不超出现有资金” 两个不等式关系构成不等式组，由其整数解确定进货方案。对于问题（2），用“列举法”列出各方案的补贴。解：设购进电视机，冰箱各X台，则洗衣机为（15-2x）台 15-20.5x 解这个方程的 6x7 依题意得 v 2000x+2400x=1600(15-2x)32