高考数学总复习 第2章 第9节 函数与方程课件 新人教A版.ppt

第九节函数与方程 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的关系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 2 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 一 函数的零点1 函数零点的定义对于函数y f x x d 把使成立的实数x叫做函数y f x x d 的零点 f x 0 1 函数的零点是函数y f x 与x轴的交点吗 提示 函数的零点不是函数y f x 与x轴的交点 而是y f x 与x轴交点的横坐标 也就是说函数的零点不是一个点 而是一个实数 2 函数的零点与相应方程的根 函数的图象与x轴交点间的关系 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与有交点 函数y f x 有 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间内有零点 即存在c a b 使得 这个也就是方程f x 0的根 零点 x轴 f a f b 0 a b f c 0 c 2 函数零点存在性定理的条件是充要条件吗 提示 不是 满足函数零点存在性定理的条件一定有零点 不满足这些条件也不能说就没有零点 如图 f a f b 0 f x 在区间 a b 上照样存在零点 而且有两个 因此函数零点存在性定理的条件是充分条件 但并不必要 4 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 二 二分法1 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做 2 给定精确度 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 求区间 a b 的中点c 一分为二 二分法 零点 计算f c i 若f c 0 则c就是函数的零点 ii 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c iii 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 判断是否达到精确度 即若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复 答案 b 答案 c 3 函数图象与x轴均有公共点 但不能用二分法求公共点横坐标的是 解析 图b不存在包含公共点的闭区间 a b 使函数满足f a f b 0 答案 b 4 已知函数f x 4x m 2x 1有且只有一个零点 则实数m的值为 答案 2 5 方程2 x x2 3的实数解的个数为 解析 分别作出函数f x 3 2 x与函数g x x2的图象 x 0 f x 2 g x 0 从图象上可以看出它们有2个交点 答案 2 1 函数零点个数的判定有下列几种方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象和性质 如单调性 才能确定函数有多少个零点 3 画两个函数图象 看其交点的个数有几个 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 2 函数零点的求法有两种 代数法和几何法 代数法即求方程f x 0的实数根 但当有些方程无法求实根时 就要用几何法 即将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 1 用二分法求函数零点近似值 方程的近似解 由于计算量较大 而且是重复相同的步骤 因此我们可以通过设计一定的计算程序 借助计算器或计算机完成计算 其流程图如下 2 用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题 1 第一步中要使 区间长度尽量小 f a f b 的值比较容易计算且f a f b 0 2 根据函数的零点与相应方程根的关系 求函数的零点与求相应方程的根是等价的 对于求方程f x g x 的根 可以构造函数f x f x g x 函数f x 的零点即为方程f x g x 的根 若函数f x x3 x2 2x 2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 其参考数据如下 那么方程x3 x2 2x 2 0的一个近似根 精确度0 1 为 思路点拨 利用二分法求函数的零点 解决时可结合根的存在性定理 对于连续的函数f x 存在区间 a b 有f a f b 0 则在区间 a b 上存在x0 使得f x0 0成立 来判断 自主解答 通过参考数据可以得到 f 1 40625 0 054 0 f 1 4375 0 162 0 从而易知x0 1 40625 答案 1 40625 答案 1 5 2 设x1 x2是实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两实根 下面为几类常见二次函数零点分布情况需满足的条件 12分 1 m为何值时 f x x2 2mx 3m 4 有且仅有一个零点 有两个零点且均比 1大 2 若函数f x 4x x2 a有4个零点 求实数a的取值范围 思路点拨 1 二次函数结合图象求解 也可用方程思想求解 2 利用函数图象求解 规范解答 1 若函数f x x2 2mx 3m 4有且仅有一个零点 则等价于 4m2 4 3m 4 0 2分即4m2 12m 16 0 即m2 3m 4 0 解得m 4或m 1 3分 方程思想若f x 有两个零点且均比 1大 则作出g x 的图象 由图象可知要使 4x x2 a有四个根 则g x 与h x 的图象应有4个交点 11分故需满足0 a 4 即 4 a 0 12分 a的取值范围是 4 0 活学活用 3 例3中第 2 题若改为 a为何值时 函数f x 4x x2 a 1 有两个零点 2 有三个零点 3 无零点 如何求a的值或a的取值范围 解 1 当a 0或a 4时 f x 有两个零点 2 当a 4时 f x 有三个零点 3 当a 0时 f x 无零点 心得 1 解决由函数零点 方程根 的存在情况求参数的值或取值范围问题 关键是利用函数方程思想或数形结合思想 构建关于参数的方程或不等式求解 2 本题的易错点主要是分类讨论不周全 导致解析不完整或解答错误 表现在两个方面