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1 7 3 4利用球面坐标计算三重积分 一 球面坐标 2 3 r 常数 即以原点为心的球面 常数 即以原点为顶点 z轴为轴的圆锥面 常数 即过z轴的半平面 4 球面坐标下的体积元素 5 为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标 用三组坐标平面r 常数 常数 常数把积分区域 分成许多小闭区域 考虑由r 各取得微小增量dr d d 所成的六面体的体积 如图 不计高阶无穷小 可把这个六面体看作长方形 6 经线方向的长为rd 这就是球面坐标系中的体积元素 纬线方向的宽为rsin d 于是 小六面体的体积为 向径方向的高为dr 7 二 三重积分的球面坐标形式 计算三重积分 一般是化为先r 再 最后 的三次积分 8 例如 半径为R的球体的体积 9 10 11 12 13 14 小结三重积分的计算方法 基本方法 化三重积分为三次积分计算 关键步骤 1 坐标系的选取 2 积分顺序的选定 直角 3 定出积分限 15 柱形体域锥形体域抛物体域 柱面坐标 长方体四面体任意形体 球面坐标 球形体域或其中一部分 直角坐标
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