（试题 试卷 真题）第21讲：面动问题--解法归纳（63页）

第21讲：面动问题-解法归纳数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。1618讲，我们从运动对象的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 1921讲我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行探讨。面动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动面（包括平移和旋转），或由点动、线动形成面动，并对面在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。结合2013年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之线动问题的探讨：（1）平面几何中三角形的面动问题；（2）平面几何中四边形的面动问题；（3）平面几何中圆的面动问题；（4）解析几何中的面动问题。一、平面几何中三角形的面动问题：典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年天津市3分）如图，在ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将ADE绕点E旋转180得CFE，则四边形ADCF一定是【】A矩形 B菱形 C正方形 D梯形【答案】A。【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定。【分析】根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是例2：（2013年青海西宁3分）如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的底和矩形的宽重合，并且沿矩形两条宽的中点所在的直线自右向左匀速运动至等腰三角形的底与另一宽重合设矩形与等腰三角形重叠部分（阴影部分）的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为【 】例3：（2013年福建莆田4分）如图，将RtABC（其中B=35，C=90）绕点A按顺时针方向旋转到AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于【 】 A55 B70 C125 D145例4：（ 2013年广西梧州3分）如图，ABC以点O为旋转中心，旋转180后得到ABCED是ABC的中位线，经旋转后为线段ED已知BC=4，则ED=【 】A2B3C4D1.5例5：（2013年贵州遵义3分）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为【 】A B C D3cm例6：（2013年辽宁铁岭3分）如图，点G、E、A、B在一条直线上，RtEFG从如图所示是位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动设EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是【 】【答案】D。【考点】面动问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，数形结合思想和分类思想的应用。【分析】设GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，RtEFG向右匀速运动的速度为1， 当E点在点A左侧时，S=0。当点G在点A左侧，点E在点A右侧时，如答图1，AE=tm，GA=a（tm）=a+mt，PAEF，GAPGEF。例7：（2013年内蒙古包头3分）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将ABE绕点B顺时针旋转90到CBE的位置若AE=1，BE=2，CE=3，则BEC= 度例8：（2013年广东广州3分）如图，RtABC的斜边AB=16, RtABC绕点O顺时针旋转后得到，则的斜边上的中线的长度为 . 例9：（2013年广西贺州3分）如图，在ABC中，AB=6，将ABC绕点B顺时针旋转60后得到DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是 【答案】。【考点】旋转问题，扇形面积的计算，转换思想的应用。【分析】根据旋转的性质知ABD=60，ABCDBE，SABCSDBE。例10：（2013年山西省13分）数学活动求重叠部分的面积。问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），将两块全等的直角三角形纸片ABC和DEF叠放在一起，其中ACB=E=90，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G。求重叠部分（DCG）的面积。（1）独立思考：请解答老师提出的问题。（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将DEF绕点D旋转，使DEAB交AC于点H，DF交AC于点G，如图(2)，你能求出重叠部分(DGH)的面积吗？请写出解答过程。（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分(DMN)的面积。任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出DMN的面积是 .请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。【答案】解：（1）ACB=90，D是AB的中点，DC=DB=DA。B=DCB。又ABCFDE，FDE=B。FDE=DCB。DGBC。AGD=ACB=90。DGAC。又DC=DA，G是AC的中点。CG=AC=8=4，DG=BC=6=3。SDCG=CGDG=43=6。 ABCFDE（ASA）。 SDDMNSDGH=。 开放型（答案不唯一）。例11：（2013年重庆市B12分）已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AEDE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，现有一张硬纸片GMN，NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。如图2，GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。当点N到达终点B时，GMNP和点同时停止运动。设运动时间为t秒，解答问题：（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设GMN与AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。例12：（2013年广东省9分）有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90，AB=AC=6，在三角板DEF中，FDE=90，DF=4，DE=。将这副直角三角板按如图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上，现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动。（1）如图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则EMC= 度；（2）如图（3），在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围。例13：（2013年黑龙江大庆6分）如图，把一个直角三角形ACB（ACB=90）绕着顶点B顺时针旋转60，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H（1）求证：CF=DG；（2）求出FHG的度数例14：（2013年湖北襄阳7分）如图1，点A是线段BC上一点，ABD和ACE都是等边三角形（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将ABD绕点A顺时针旋转得到ABD当旋转角为 度时，边AD落在AE上；在的条件下，延长DD交CE于点P，连接BD，CD当线段AB、AC满足什么数量关系时，BDD与CPD全等？并给予证明的性质求出AC=AE，ACE=60，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出PCD=ACD=30，从而得到ABD=DBD=BDD=ACD=PDC=30，然后利用“角边角”证明BDD与CPD全等。例15：（2013年山东临沂11分）如图，矩形ABCD中，ACB=30，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F（1）当PEAB，PFBC时，如图1，则的值为 ；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转（060）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当6090，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论二、平面几何中四边形的面动问题：典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年湖北恩施3分）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为【 】A B C D例2：（2013年辽宁盘锦3分）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的RtGEF的一边GF重合正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与RtGEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为【 】ABCD【答案】B。【考点】面动问题的函数图象，正方形和直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。【分析】分类讨论：例3：（2013年湖北黄冈3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线L上，将矩形ABCD沿直线L作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 .例4：（2013年江苏南京2分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形ABCD的位置，旋转角为a (0a0)的图象和矩形ABCD的第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6) （1）直接写出B、C、D三点的坐标； （2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式【答案】解：（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）。（2）猜想矩形的A、C两顶点恰好同时落在反比例函数的图象上。例9：（2013年浙江金华、丽水12分）如图1，点A是轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），M是线段AB的中点。将点M绕点A顺时针方向旋转900得到点C，过点C作轴的垂线，垂足为F，过点B作轴的垂线与直线CF相交于点E，点D是点A关于直线CF的对称点。连结AC，BC，CD，设点A的横坐标为，（1）当=2时，求CF的长；（2）当为何值时，点C落在线段CD上；设BCE的面积为S，求S与之间的函数关系式；（3）如图2，当点C与点E重合时，将CDF沿轴左右平移得到，再将A，B，为顶点的四边形沿剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形。请直接写出符合上述条件的点坐标，【答案】解：（1）当=2时，OA=2， 点B（0，4），OB=4。 又BAC=900，AB=2AC，可证RtABORtCAF。 如图3，当时，点的坐标为（2，0）， 根据，为拼成的三角形，此时点的坐标为（2，4）。例10：（2013年山东德州12分）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90，得到DOC，抛物线经过点A、B、C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当CEF与COD相似时，点P的坐标；是否存在一点P，使PCD得面积最大？若存在，求出PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）在RtAOB中，OA=1，OB=3OA=3。DOC是由AOB绕点O逆时针旋转90而得到的，DOCAOB。OC=OB=3，OD=OA=1。A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（3，0）代入解析式得，解得：。例11：（2013年辽宁锦州14分）如图，抛物线经过ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？【答案】解：（1）抛物线经过点A（0，3），B（2，3），解得：。在RtMNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=。当DMN是等腰三角形时：若DN=MN，则=，解得t=。若DM=MN，则DM2=MN2，即22+（）2=（）2，解得t=2或t=6（不合题意，舍去）。若DM=DN，则DM2=DN2，即22+（）2=（）2，解得t=1。综上所述，当t=1、2或时，DMN是等腰三角形。 （4）当正方形DEFG与ABC的重叠部分为五边形时，如答图3，定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值，分类思想和转换思想的应用。【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，令y=0解方程，求出点C的坐标。（2）如答图1，由CEFCOA，根据比例式列方程求出OE的长度。（3）如答图2，若DMN是等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论。（4）当正方形DEFG与ABC的重叠部分为五边形时，如答图3，由S=S正方形DEFGS梯形MEDNSFJK求出S关于t的表达式，然后由二次函数的性质求出其最值。例12：（2013年江苏扬州10分）如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（1）求直线AB对应的函数关系式；（2）有一宽度为1的直尺平行于x轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0m3试比较线段MN与PQ的大小例13：（2013年湖南娄底10分）如图，在ABC中，B=45，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，