线性代数第3章向量精美教程.ppt

第3章向量 3 1n维向量及其线性运算 3 2向量组的线性相关性 3 3向量组的秩与矩阵的秩 3 4向量空间 考研园地 下页 3 1n维向量及其线性运算 定义1 由n个数组成的一个有序数组 称为一个n维向量 简称为向量 通常用小写黑体希腊字母 等表示 向量的分量 分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数向量称为复向量 本章 上页 下页 3 1n维向量及其线性运算 一个行向量与一个列向量即使每个分量对应相等 也不能把它们等同起来 行向量 列向量 转置向量 注意 本章 上页 下页 3 1n维向量及其线性运算 定义2 如果两个n维向量 对应的分量相等 则称这两个向量相等 记作 本章 上页 下页 3 1n维向量及其线性运算 设向量 两个向量 定义3 则向量 称为向量 的和 记作 向量 称为 的负向量 记为 的减法 看成是 的负向量 的和 记为 本章 上页 下页 称为数 与向量的乘积 记作 3 1n维向量及其线性运算 定义4 设 如果一个n维向量的所有分量都等于零 则称它为零 为一个实数 则向量 定义5 向量 用黑体0表示 注意 n维零行向量 n维零列向量都写成0 但意义不同 本章 上页 下页 3 1n维向量及其线性运算 向量的加法 减法和数与向量的乘法运算统称为向量的线性运算 向量的线性运算规律 交换律 结合律 本章 上页 下页 3 1n维向量及其线性运算 向量的线性运算规律 为n维向量 k l是数 本章 上页 下页 例1 已知 解 3 1n维向量及其线性运算 求 本章 上页 下页 例2 试将下列线性方程组写成向量形式 解 3 1n维向量及其线性运算 本章 上页 下页 例3 证 3 1n维向量及其线性运算 则 证明 若 则命题已经成立 本章 上页 下页 3 2向量组的线性相关性 1 向量组的线性关系 2 向量组的线性相关与线性无关 本章 上页 下页 上页 下页 3 2向量组的线性相关性 1 向量组的线性关系 本节 则称向量 和n维向量 3 2向量组的线性相关性 给定m个n维向量组 如果存在 一组数 使 可由向量组 线性表示 或线性表出 定义1 称为向量组 设 为m个n维向量 为任意 m个数 则向量 的一个线性组合 上页 下页 本节 向量形式 3 2向量组的线性相关性 如果存在一组数 是线性方程组 的解 则 的常数列构成的向量 就可由方程的系数构成的向量组 线性表出 反之 若 的常数列构成的向量 可由向量组 线性表出 即 则数组 是线性方程组 的解 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 例1 证明向量 解 可由向量 线性表示 并具体将 表示出来 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 例2 证明 向量组 证 中任意一个向量 都可以由向量 线性表示 由定义知向量 都可以由向量 线性表示 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 例3 证明 零向量是任一同维向量组 证 的线性组合 由定义知零向量是任一同维向量组 的线性组合 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 例4 设 证 由定义知向量 向量 则称向量组 为n维单位坐标向量组 证明 任一n维 都可以由向量组 线性表示 可以由向量组 线性表示 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 定义2 设有两个向量组A 若B组中的每个向量都可以由向量组A线性表示 则称向量组 及B B可以由向量组A线性表示 若向量组B可以由向量组A线性 表示 且向量组A又可以由向量组B线性表示 则称这两个向 量组等价 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 向量组的等价具有以下性质 2 对称性 若向量组A与向量组B等价 则向量组B与向量组A等价 3 传递性 若向量组A与向量组B等价 且向量组B与向量C等价 则向量组A与向量组C等价 1 反身性 任何一个向量组都与自身等价 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 例5 设两个3维向量组 证 向量组B可以由向量组A线性表示 试证明向量组A与向量组B等价 向量组A可以由向量组B线性表示 故由定义知 向量组A与向量组B等价 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 2 向量组的线性相关与线性无关 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 定义3 则称m个向量 设 为m个n维向量 若存在一组不全为0的 数 使 线性相关 否则就称这m个向量线性无关 注意 上述定义对于m 1的情形也是适用的 若线性相关 则存在 使得 任意一个非零向量总是线性无关的 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 例6 证明下述3个向量 证 线性相关 线性相关 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 例7 含有零向量的向量组必线性相关 证 设向量组为 线性相关 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 例8 证明单位坐标向量组 证 设 线性无关 使 线性无关 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 例9 解 设 它们的线性相关性 试讨论 设 使 线性方程组有非零解 向量组 线性相关 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 定理1 m个n维向量组 线性相关的充分必要条件是 有非零解 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 推论 n个n维向量组 线性相关的充分必要条件是它们的分量组成的n阶行列式 的值等于零 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 定理2 若向量组 线性相关 则向量组 存在一组不全为零的数 线性相关 证 线性相关 线性相关 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 推论 若一个向量组线性无关 则它的任何一个部分向量组也 线性无关 线性表出与线性相关的关系 线性相关 线性表出 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 定理3 向量组 线性相关的充要条件是向量组 则存在一组不全为零的数 内至少有一个向量可以被其余向量线性表出 证 线性相关 可以被其余向量线性表出 线性相关 线性表出 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 推论1 设n维向量组 线性相关 则向量组 推论2 设n元齐次线性方程组 则该齐次线性方程组有非零解 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 定理4 设向量组A 则向量组B 及向量组B 证 若向量组B可以由向量组A线性表示 且 线性相关 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 有非零解 上页 下页 本节 3 2向量组的线性相关性 推论1 设向量组A 及向量组B 证 若向量组B可以由向量组A线性表示 且向量组B线性无关 推论2 设向量组A 及向量组B 若向量组A与向量组B等价 且都线性无关 A可由B线性表示且A线性无关 B可由A线性表示且B线性无关 上页 下页 本节 线性相关 则 3 2向量组的线性相关性 定理5 若向量组 可由向量组 线性无关 而向量组 证 线性表示 且表示法唯一 先证 可由向量组 线性表示 线性相关 与向量组 线性无关矛盾 上页 下页 本节 再证表示法唯一 3 2向量组的线性相关性 例如 线性无关 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 1 向量组的秩 2 矩阵的秩 本章 上页 下页 3 3向量组的秩与矩阵的秩 线性无关 1 向量组的秩 线性相关 线性相关 线性相关 极大线性无关组 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 定义1 设有一组向量 其中可能有有限多个向量 也可能含有 无穷多个向量 若其中的r个向量 满足下面的条件 则称 向量组的一个极大线性无关组 简称极大 无关组 线性无关 2 向量组中任意r 1个向量 如果向量组有个向量的话 都线性相关 极大性 向量组中任一向量都能由 线性表示 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 定理1 则它是极大无关组的充分必要条件是 中的任一 向量都可由 必要性 的线性无关部分组 证 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 充分性 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 例1 解 求向量组 的一个极大线性无关组 的分量构成的行列式 线性无关 四个3维向量 必线性相关 是所给向量组的一个极大无关组 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 定理2 由对称性知 向量组C与向量组B等价 向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同 证 设向量组A B是向量组C的两个极大无关组 由定理1知 向量组A与向量组C等价 向量组B与向量组C等价 由传递性知 向量组A与向量组B等价 由上节定理2的推论2知 向量组A与向量组B所含向量的个数相同 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 定义2 叫做该向量组的秩 记作 的极大无关组所含向量的个数 一个线性无关的向量组 它的极大无关组就是自身 其秩就是所含向量的个数 规定 零向量的秩为零 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 定理3 线性相关的充分必要条件是 等价的向量组有相同的秩 定理4 线性无关的充分必要条件是 推论 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 例2 证 求证 若 无关的向量都可以作为该向量组的一个极大无关组 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 例3 证 设向量组 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 因此 这两个向量组等价 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 2 矩阵的秩 行向量组 列向量组 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 定义2 例4 矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩 A的列向量组 的秩称为A的列秩 求矩阵A的行秩与列秩 解 线性相关 线性无关 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 线性相关 线性无关 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 定理5 例5 任一矩阵的行秩等于矩阵的列秩 矩阵A的秩 求矩阵的秩 解 线性相关 线性无关 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 定理6 例6 初等变换不改变矩阵的秩 求下列矩阵的秩 求矩阵秩的简便方法 用初等变换将A化为标准形矩阵D 则D矩阵的主对角线上非零元个数就是矩阵A的秩 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 阶梯矩阵 解 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 一个m n矩阵 如果它的秩等于m 则称它是行满秩矩阵 如果它的秩等于n 则称它是列满秩矩阵 如果m n 且它是行满秩矩阵 也是列满秩矩阵 则这个矩阵就称为满秩矩阵 例7 求下列矩阵的秩 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 解 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 例8 解 将向量组写成矩阵形式 再作初等变换 得 求向量组的秩 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 例9 解 设向量组 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 例9 解 设向量组 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 例9 解 设向量组 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 例10 证 设A是m n矩阵 B是n s矩阵 则 上页 下页 本节 3 3向量组的秩与矩阵的秩 同理可证 上页 下页 本节 3 4向量空间 例1 则 设向量集合 在V中任取两个向量 V对于向量加法和数乘是封闭的 本章 上页 下页 设V为维向量的集合 如果集合V非空 且集合V对于向 3 4向量空间 定义1 量的加法及向量的数乘都是封闭的 那么称集合V为向量空间 例如 V对于向量的加法和数乘是封闭的 零空间 本章 上页 下页 一般地 实数域上的所有n维向量构成的集合是一个n维向量空间 记作 3 4向量空间 例2 它是由所有三维向量构成 的集合 则V是一个向量空间 因为任意两个三维向量之和仍是三维向量 数k乘三维向量也仍是三维向量 它们都属于V 三维向量空间 本章 上页 下页 3 4向量空间 例3 证 是一个向量空间 显然L非空 L是一个向量空间 本章 上页 下页 3 4向量空间 定义2 本章 上页 下页 3 4向量空间 例4 证 同理可证 本章 上页 下页 3 4向量空间 定义3 例如 本章 上页 下页 3 4向量空间 定义4 r称为向量空间V的 维数 记作 并称V为r维向量空间 零空间的维数是0 V的基就是向量组的极大无关组 V的维数就是向量组的秩 本章 上页 下页 3 4向量空间 例5 解 基和维数 本章 上页 下页 3 4向量空间 本章 上页 下页 3 4向量空间 即V是由基生成的向量空间 本章 上页 下页 3 4向量空间 定义5 特别地 取单位坐标向量 自然基 本章 上页 下页 3 4向量空间 例6 解 证V的秩等于3 证A可逆 本章 上页 下页 3 4向量空间 本章 上页 下页 3 4向量空间 本章 上页 下页 3 4向量空间 本章 上页 下页 3 4向量空间 例7 解 1 求这两个基之间的关系 2 求这两组坐标之间的关系 基变换公式 过渡矩阵 本章 上页 下页 3 4向量空间 坐标变换公式 本章 上页 下页 向量问题 例1 解 考研园地 不能由 线性表示 也不能由 线性表示 不能由 线性表示 但可由 线性表示 可由 线性表示 也可由 线性表示 可由 线性表示 但不可由 线性表示 本章 上页 下页 可由 线