数形结合思想论文.pdf

正文目录正文目录 1 数形结合思想的简单概述 1 1 1 数形结合的思想 2 1 2 数形结合思想的价值 2 2 数形结合思想在解题中的应用 2 2 1 运用数形结合思想解决三角函数问题 3 2 2 运用数形结合思想解决方程问题 4 2 3 运用数形结合思想解决集合问题 4 2 4 运用数形结合思想解决函数问题 6 2 5 运用数形结合思想解决复数问题 7 2 6 运用数形结合思想解决线性规划问题 8 2 7 运用数形结合思想解决解析几何问题 9 2 8 运用数形结合思想解决数列问题 11 3 数形结合思想在解题时要注意的问题 12 4 总结 15 参考文献 17 致谢 17 丽水学院 2012 届学生毕业论文 1 数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用数形结合思想在解题中的应用 理学院数学与应用数学数学 082 本金梦瑶指导教师卢诚波 摘要数形结合是一种富有数字特点的信息转换方法 根据问题的具体情况 把图形性质的问题转化 为数量关系的问题 通过代数方法分析数量关系来揭示直观图形的问题 或者把数量关系问题转化为 图形性质的问题 用几何图形直观的刻画数量关系 通过数与形的结合 使抽象思维与形象思维有效 的结合起来 将问题化难为易 化繁为简 从而得以解决 本文从函数 方程 数列 线性规划 集 合 复数 三角函数 解析几何等多个方面来探究数形结合思想在解题过程中的具体应用 关键词数形结合 解题 应用 1 数形结合思想的简单概述 1 1 数形结合的思想 我们都有这样的经验 很多问题与 形 结合起来 问题容易理解 印象深刻 很多 数学问题 借助 形 及形象思维 问题迎刃而解 这是一条很重要的认识规律 这种把 数 与 形 结合起来理解问题 认识问题的方法 称为 数形结合思想 1 1 1 1 我国著名数学 家华罗庚曾说过 数形本是相倚依 焉能分作两边飞 数缺形时少直观 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 2 2 2 2 数学中 数与形是两个最主要的研究对象 大部 分数学都是围绕这两个对象的提炼 演变 发展而展开的 它们之间有着十分密切的联系 在内容上互相联系 在方法上互相渗透 在一定的条件下互相转化 3 3 3 3 数形结合是研究数学问题并实现问题的模型转换的一种基本思想和基本方法 它能 沟通数与形的内在联系 具体来说就是在研究问题的过程中 注意把数和形结合起来考察 斟酌问题的具体情况 既要分析其代数意义 又揭示其几何直观 使数量关系的精确刻划与 空间形式的直观形象巧妙 和谐地结合在一起 充分利用这种结合 寻找解题思路 使问题 化难为易 化繁为简 从而得到解决 4 4 4 4 通过 数 与 形 的结合 我们对事物 规律的把 握就能既容易又细微 深刻 所以我们说 数形结合 既是一种重要的数学思想 也是一种 智慧的数学方法 思想与方法是紧密联系的 一般来说 强调指导思想时称数学思想 强调 丽水学院 2012 届学生毕业论文 2 操作过程时称数学方法 5 5 5 5 1 2 数形结合思想的价值 数形结合思想不仅是数学课本要求掌握的思想方法之一 也是历年不同类型考试的 重点和难点 在运用数形结合思想解决中学数学问题时 一方面通过借助图形的性质可以将 许多抽象的数学概念和数量关系形象化 简单化 给人以直觉的启示 另一方面 将图形问 题转化为代数问题 可以获得精确的结论 6 6 6 6 这种 数 与 形 的信息转换 相互渗透 不仅可以使一些题目的解决简捷明快 极大地拓宽了我们的解题思路 争取解题时间 为研 究和探求数学问题开辟了一条重要的途径 而且更为重要的是对发展学生的创造性思维 完 善学生思维品质有着特殊的重要作用 新教材中这一方法的渗透对发展学生的解题思路 寻 找最佳解题方法明显带有指导性作用 不仅可以对问题进行正确的分析 比较 合理联想 训练学生思维 拓宽视野 逐步形成正确的解题观 还可以在学习中引导学生对抽象概念给 予形象化的理解和记忆 提高数学认知能力 并提升对现实世界的认识能力 从而提高数学 素养 不断完善自己 2 数形结合思想在解题中的应用 数形结合的思想方法应用十分广泛 主要用于思路分析 化简运算及推理的过程 以 求快速准确地分析问题 解决问题 如用数形结合思想解决集合问题 函数问题 三角函数 问题 方程问题 复数问题 解析几何问题 线性规划问题 数列问题等等 运用数形结合 思想 不仅直观易发现解题途径 而且能避免复杂的计算与推理 大大简化了解题过程 那 在解题中 数形结合是如何体现的呢 本文就通过以下实例来说明数形结合思想的奇妙之处 2 1 运用数形结合思想解决三角函数问题 数形结合的思想 实质上就是直观化的一种手段 较为抽象的数量关系通过几何图形 的性质反映出来 解三角函数问题也要充分发挥三角函数的几何意义及几何运算的功能 应 用形数结合的思想 控制三角函数题目中知识的多功能因素 使问题出奇制胜地得到解决 例1 若 2 2 2 20 0 0 0 且 sincos 则角 的取值范围是 2 2 2 2 丽水学院 2012 届学生毕业论文 3 解 sincos 不等式两边同时平方 得 22 cossincos20 4 4 4 40 0 0 02 2 2 2 cos y由图象 如图1 可得 2 2 2 2 7 7 7 7 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 所以 4 4 4 4 7 7 7 7 4 4 4 4 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 图1 由此可见 借助图像的直观性 可直接得到所要结果 方便快捷 但应注意角的范围 例 2 已知13131313121212125 5 5 5 xxsincos 求xtan 解 作ABCRt 使5 5 5 5 AC 12121212 BC 13131313 AB 作CD垂 直AB于D 设 A 则 BCD 由图 2 可 得BDBCADAC sin cos 所 以ABBCAC sincos 即 13131313121212125 5 5 5 xxsincos 这说明 是方程 13131313121212125 5 5 5 xxsincos的一个解 于 是 图 2 tantanx AC BC 5 5 5 5 12121212 kx2 2 2 2 Zk 评析 该题通过将数量关系转化为图形性质的问题 用几何图形直观地刻画了数 量关系 从而使抽象问题具体化 问题得以简单的解决 2 2 运用数形结合思想解决方程问题 例3 已知 1 1 1 1 x是方程xx 3 3 3 3 3 3 3 3 log的根 2 2 2 2 x是方程x x 3 3 3 33 3 3 3的根 求 2 2 2 21 1 1 1 xx 的值 分析 高中阶段的学生没有办法求出这两个方程的根 因此 这道题目不可能用纯代数的方 法解决 必须寻求一种解法 数形结合 根据题意 在同一坐标系内分别作出函数xy 3 3 3 3 x y3 3 3 3 及xy 3 3 3 3 log 的图象 如图3所示 曲线 与 与 的交点A B的横坐标分别为方程x x 3 3 3 33 3 3 3和方程 y x 2 2 2 2 4 4 4 4 o 丽水学院 2012 届学生毕业论文 4 xx 3 3 3 3 3 3 3 3 log的两个根 1 1 1 1 x和 2 2 2 2 x 又因为 函数 xy 3 3 3 3 log 和函数 x y3 3 3 3 互为反函数 则A B两 点关于直线xy 对称 根据图形很容易求得C点 的坐标为 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 所以3xx 21 评析 从这道例题不难看出掌握数形结合思想的重 要性 利用它可使复杂问题简单化 抽象问题具体 图3 例4 若方程0 0 0 02 2 2 2131313137 7 7 7 2 2 2 22 2 2 2 mmxmx 有两根为 1 x 2 x 且1 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1 x 2 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 02 2 2 2 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 00 0 0 0 f f f 0 0 0 03 3 3 3 0 0 0 08 8 8 82 2 2 2 0 0 0 02 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 mm mm mm 1 1 1 12 2 2 2 m或4 4 4 43 3 3 3 mmxf在区间 8 8 8 88 8 8 8 上有四个不同的根 1 1 1 1 x 2 2 2 2 x 3 3 3 3 x 4 4 4 4 x 则 4 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 xxxx 解 因为定义在 R 上的奇函数 满足 xfxf 4 4 4 4 得 xfxf 4 4 4 4 故函数 xf以2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 xx x为对称轴 且0 0 0 00 0 0 0 f 由 xfxf 4 4 4 4知 xfxfxfxf 4 4 4 48 8 8 8 故函数 xf为周期为 8 的函数 图 7 又因为 xf在区间 2 2 2 20 0 0 0 上是增函数 故在区间 0 0 0 02 2 2 2 上也是单增函数 如图 7 所示 那么方程 0 0 0 0 mmxf在区间 8 8 8 88 8 8 8 上有四个不同的根 4 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 xxxx 不妨设 4 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 xxxx ABxxy 故所求函数的值域为 8 8 8 8 评析 该题型是函数解析式具有明显的某种几何意义 表示两点的距离公式 这类题目 若运用数形结合法 往往会更加简单 一目了然 赏心悦目 补充说明补充说明 函数的图像和解析式是函数的主要表现形式 实质是相同的 在解题 过程中经常要相互转换 在解决函数问题时 尤其是较为复杂的问题时要充分发 挥图像的直观作用 2 5 运用数形结合的思想解决复数问题 复数与形的关系是紧密联系的 这是因为复数集与复平面上的点集或向量 OZ 的 集合构成一一对应的关系 利用复数及其运算的几何意义 应用数形结合的思想 可以 使许多复数问题变得简单 直观 例 9设复数z满足2 2 2 2 iziz 求2 2 2 2 iz的 最小值 解 由题设知 复数z在复平面内对应的点集是线段 AB 如图 9 所示 线段AB上B点到C点的距离最 短 2 2 2 2 BC 2 2 2 2 iz的最小值为 2 图 9 评析 在分析问题和解决问题时 要注意解析语言的意义及运用 要掌握图形语言 符 号语言及文字语言的互化 自觉地由 形 到 数 与由 形 变 数 地运用数形结 5 5 5 5 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 53 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 丽水学院 2012 届学生毕业论文 8 合的思维方法 例 10 已知复数z满足2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 iz 求z的 最大值和最小值 解 设yixz Ryx 因为2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 iz 所以2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 yx 即4 4 4 42 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 yx 几何意义表示以点 2 2 2 22 2 2 2 为圆心 2为半径的圆 由图4可知的最大值是6 6 6 62 2 2 2 最小值是2 2 2 26 6 6 6 图10 2 6 运用数形结合的思想解决线性规划问题 例11 设x y满足约束条件 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 08 8 8 83 3 3 3 0 0 0 04 4 4 4 yx yx yx 若目标函数 0 0 0 00 0 0 0 babyaxz的值是最 大值为30 则 ba 5 5 5 53 3 3 3 的最小值为 A 15151515 64646464 B 6 6 6 6 25252525 C 3 3 3 3 11111111 D 4 4图11 解析 不等式表示在区域如图所示的阴影部分 直线 0 0 0 00 0 0 0 babyaxz 过直线0 0 0 04 4 4 4 yx与直线0 0 0 08 8 8 83 3 3 3 yx的交点 101010106 6 6 6时 目标 函数 0 0 0 00 0 0 0 babyaxz取最大值 即30303030101010106 6 6 6 ba o A x y 4 0 3x y 8 0 y x x y 1 1 2 C A B o 丽水学院 2012 届学生毕业论文 9 而 15151515 64646464 2 2 2 2 15151515 34343434 15151515 34343434 15151515 5 5 5 53 3 3 35 5 5 53 3 3 35 5 5 53 3 3 3 b a a bba baba 选A 例 12 设实数x y满足 0 0 0 05 5 5 53 3 3 3 0 0 0 06 6 6 63 3 3 3 0 0 0 04 4 4 4 y yx yx 则 3 3 3 3 1 1 1 1 x y 的取值范围是 分析 作出不等式表示的可行域 再画出可行域内的点与点 1 1 1 1 3 3 3 3连线 数形结合解 答 解 作出不等式表示的可行域如图所示 3 3 3 3 1 1 1 1 x y 表示可行域内的点与点 1 1 1 1 3 3 3 3连线的斜率 则 3 3 3 3 1 1 1 1 x y 的取值范围是 4 4 4 4 3 3 3 3 7 7 7 7 O 答案 4 4 4 4 3 3 3 3 7 7 7 7 图 12 评注 作出不等式表示的可行域后 再画出可行域内的点与点 1 1 1 1 3 3 3 3连线时 要画准确 其中有一条直线的斜率不存在 注意斜率的取值范围应该为两直线对应的斜率之外 点评 线性规划问题是在约束条件下求目标函数最值的问题 从图形上找思路恰好题型 了数形结合思想的应用 另外 准确画出不等式表示的平面区域是解决此题的关键 2 7 运用数形结合的思想解决解析几何问题 解析几何的本质是用代数方法研究图像的几何性质 在解此类题中 学生将在平面直角坐标 系中建立直线和圆的代数方程 运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系 并了 解空间直角坐标系 体会数形结合的思想 初步形成用代数方法解决几何问题的能力 解析 几何最核心的思想方法即数形结合的思想 12121212 例13 已知m n 满足8 8 8 84 4 4 4 2 2 2 22 2 2 2 nm试求 2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2 1 1 1 12 2 2 23 3 3 3 nmnm 的最小 值 x y 1 l x y 4 0 2 l x 3y 6 0 3 1 3 3 3 3 l 3y 5 0 丽水学院 2012 届学生毕业论文 10 分析 本题若用代数方法来解题 运算很繁琐 但建立几何模型后 其运算量将大大减 小 确有事半功倍之效 8 8 8 84 4 4 4 2 2 2 22 2 2 2 nm即1 1 1 1 8 8 8 82 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 nm 建立椭圆模型 nmP为中 心在原点 焦点在y轴上 且长轴为2 2 2 24 4 4 4的椭 圆上的一点 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 12 2 2 23 3 3 3 nmnm 又为点 nmP到两点 3 3 3 30 0 0 0 A 1 1 1 12 2 2 2 B的距离之和 易 知A B均在椭圆外 且直线0 0 0 03 3 3 3 nm与 椭圆有两个交点 1 1 1 1 P 2 2 2 2 P 要使椭圆上的点P到 A B的距离之和最小 须且只需P取 1 1 1 1 P或 2 2 2 2 P 即三点共线 图 13 从而 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 12 2 2 23 3 3 3 nmnm 最小值为 AB2 2 2 22 2 2 23 3 3 3 1 1 1 10 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 例 14如图所示 已知椭圆1 1 1 1 9 9 9 916161616 2 2 2 22 2 2 2 yx 的左 右焦点分别为 1 1 1 1 F 2 2 2 2 F 点P在椭圆上 若 1 1 1 1 F 2 2 2 2 F P是一个直角三角形的三个顶点 则P到x轴的距离为 A 5 5 5 5 9 9 9 9 B 3 3C 7 7 7 7 7 7 7 79 9 9 9 D 4 4 4 4 9 9 9 9 图 14 解 以O为圆心以 1 1 1 1 OF为半径画圆 可知此圆与椭圆无交点 则PFF 2 2 2 21 1 1 1 中 2 2 2 21 1 1 1F PF 或 1 1 1 12 2 2 2F PF 为直角 如此求出 点坐标即得 p y 4 4 4 4 9 9 9 9 故选D 点评 本题以作图直观判断为突破口 直觉与逻辑推理互动 化解析几何问题为 y x P A B o x y 丽水学院 2012 届学生毕业论文 11 平面几何问题 化计算为判断 在理性的高度认识问题 2 8 运用数形结合的思想解决数列问题 例 15 证明 1 123 2 n n n 对于这个求和问题 如果采用纯代数的方法 首尾两头加 问题虽然可以解决 但在 求和过程中 需对n的奇偶性进行讨论 如果采用数形结合的方法 即用图形的性质来说明数量关系的事实 那就非常的直观 现利用图形的性质来求n 4 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1的值 方案如下 如图 斜线左边的三角 形图案是由上到下每层依次分别为1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 n个小圆圈排列组成的 而组成整 个三角形小圆圈的个数恰为所求式子n 4 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1的值 为求式子的值 现把 左边三角形倒放于斜线右边 与原三角形组成一个平行四边形 此时 组成平行四边形 的小圆圈共有n行 每行有 1 1 1 1 n个小圆圈 所以组成平行四边形小圆圈的总个数为 1 1 1 1 nn个 因 此 组 成 一 个 三 角 形 小 圆 圈 的 个 数 为 2 2 2 2 1 1 1 1 nn 即 n 4 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 nn 图 15 例 16等差数列 n a中 1 0a 前n项和为 n S 且 8 8 8 8 S 0 9 9 9 9 S aa aa S 0 0 0 09 9 9 9 2 2 2 2 9 9 9 9 5 5 5 5 9 9 9 91 1 1 1 9 9 9 9 6 6 6 65 5 5 54 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 1 0 0 0 0aaaaaa故当n 4 时 n S最大 由此可见利用函数图象 解法直观 一目了然 3 数形结合思想在解题时要注意的问题 在运用数形结合思想分析和解决问题时 我们要注意以下三点 1 作图要精确 避免潦草作图而导出的错误 例题 1方程xxsin2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 的实数根的个数为 7 7 7 7 A 3 个B 5 个C 7 个D 9 个 错解 图象法 作函数 1 3 yx 与2sinyx 的草图 由于两个函数均为奇函数 故只 需要作0 x 的部分 又因为8 8 8 8 x时 1 3 x 2 2 2 22sinx 故图形只需取 0 3 就行 了 如图 1 除原点外还有一个交点 再由奇偶性知有 7 个交点 故选C oxox 图 1图 2 y y 丽水学院 2012 届学生毕业论文 13 分析 当 1 8 x 时 1 3 1111 22sin 8288 因此在 0 2 内还有一个交点 所以 正确的答案为D 如图 2 所示 因此 我们在用图像法解题时 一定仔细分析题目给 我们的信息 作出精确的图形 避免类似上述错误的发生 2 注意转化过程要等价 例 2 已知方程0 0 0 03 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 kkxx有两个实数在1 1 1 1 与3 3 3 3之间 求k的取值范围 错解 令kkxxxf3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 结合题意画出图象 3 中的 1 再由图象列出不 等组 0 0 0 03 3 3 3 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0 f f 解略 评析 事实上 不等式组 并不与题意等价 图象 3 中的 2 也满足不等式组 但两实根均大于 3 还可以举出两实根均小于 1 的反例 若不等式组 与图 3 中的 1 等价 需加上条件1k3 因此 数形转化要注意等价性 3 仔细观察图像 避免漏掉了一些可能情形 例 3当a为何值时 抛物线xy 2 与椭圆 1 2 2 2 y ax有 1 1 个公共点 2 2 个公共点 3 没有公共点 8 8 8 8 图 3 x y 丽水学院 2012 届学生毕业论文 14 X Y O X Y O X Y O X Y O 1 2 3 4 Y O X Y O X Y O 5 6 7 解析 以上的图 1 至 7 直观地说明了椭圆与抛物线相交的各种情况 即它们可 以有 1 个 2 个 3 个 4 个公共点 也可以没有公共点 显然椭圆的中心为 0 0 0 0a 短半轴为 1 如图 6 当0 0 0 01 1 1 1 a 即1 1 1 1 a时 椭圆与抛物线相切于原点 只有 1 个公共点 x x x x x x x y y y y y y y 丽水学院 2012 届学生毕业论文 15 如图 2 1 21 2 2 2 2 2 x ax y ax xy 1022412 22 axax 令 0 即 0178022841 2 2 aaa 8 17 a 故当 8 17 a时 椭圆与抛物 线也相切 有两个切点 如图 5 当012a 即11a 时 椭圆与抛物线相交于两点 如图 1 在方程 1 中 令0 0 0 0 如图 7 当0 0 0 01 1 1 1 a 即1 1 1 1 a 故 当1 1 1 1 时 椭圆与抛物线相离 没有公共点 评注 1 作为完整的分析 本题椭圆与抛物线还有 3 个 图 4 和 4 个 图 3 公 共点的情况 2 本解说明 只有对图形的变化情况进行全面的分析 才有可能避免误解 漏解或 错解 数形结合的确是一个非常好 也非常实用而且重要的思想方法 应用性强 但它又是一 把双刃剑 时时充满诱惑和危险 因此 我们要慎之又慎 要扬长避短 要全面合理分 析 直观的同时 辅有严谨的演绎 11111111 4 总结 我们之前已经讲解了数形结合思想在八个方面的应用 通过举例说明了数形结合 思想在这些方面的具体解题技巧 那概况来说有以下几点 问题类型一般指导方法 三角函数问题一般借助于单位圆或三角函数图象来处理 根 据具体情况 有效把数与形结合起来 利用图 像进一步分析函数有关性质 方程问题处理方程问题时 把方程根的问题看作两个函 数图象的交点问题 从题目的条件与结论出 丽水学院 2012 届学生毕业论文 16 注意事项 1 画图要 精确 避免 导致错误 2 数形转 化要等价 3 分析要完 整 避免漏 掉 一 些 情 况 发 联系相关函数 着重分析其几何意义 从 图形上找出解题的思路 复数问题复数有四种表现形式 代数形式 几何形式 三角形式及指数形式 我们用数形结合的思想 解决复数问题时 主要是针对代数形式与几何 形式的互相转化 集合问题在集合运算中常常借助于数轴 韦恩图来处理 集合的交 并 补等运算 还有种情况是在求 解点集问题时 要明确点集是怎样的几何图 形 将点集问题转化为平面上的曲线问题从而 使问题得以简化 使运算快捷明了 9 9 9 9 函数问题函数图像是数的直观形象的反映 要注意看到 函数式就要立即想到它的图形 结合实际图像 记性质 数形要结合 关键在于能根据函数式 画出图形很根据代数式分析其表示的几何意 义 解决这类题目通常步骤是先确定有关函 数 然后画出图像 最后分析 解决问题 线性规划问题线性规划问题是在约束条件下求目标函数的 最值的问题 只要先找定区域 将目标函数在 区域内移动 找到最值点即可解决问题 解析几何问题解析几何是用方程研究曲线的问题 蕴含着丰 富的数形结合思想 往往要先把题目中的几何 语言转化为几何图形 然后再结合这种图形 一般为曲线 的几何特征 用代数语言即方程 表现出来 从而用代数的方法解决几何问题 12121212 数列问题数列是一种特殊的函数 数列的通项公式以及 前 n 项和公式可以看作关于正整数 n 的函数 丽水学院 2012 届学生毕业论文 17 用数形结合的思想研究数列问题是借助函数 的图象进行直观分析 从而把数列的有关问题 转化为函数的有关问题来解决 通过上述的研究 我们可以认识到正确运用数形结合解决问题给我们带来了很多 的方便 不仅能够有效地讲解有关基本概念 定理 培养学生的能力 还能够使复杂的 问题 形象 明了化 提高学生分析 解决问题的能力等 因此在中学数学教学中我 们要注重培养和发展学生的数形结合思想 参考文献 1 张志峰 浅谈数形结合思想 J 宿州教育学院学报 2011 14 5 145 147 2 傅梦生 数形结合的应用策略研究 J 科技咨询导报 2007 11 245 3 黄珊 数形结合思想与解题教学研究 J 数学教学与研 2009 23 54 55 4 傅学府 数形结合 在中学解题中的应用 J 中国科教创新导 2010 6 83 83 5 欧荣辉 浅析在初中数学中数学思想方法的培养 J 魅力中国 2010 1 239 6 李素伟 浅谈数学中的数形结合 J 新课程 教研 2010 9 163 164 7 鲁翠仙 数形结合及其应用 J 临沧师范高等专科学校学报 2007 16 1 90 95 8 数形结合及其误区 2012 3 12 9 浅谈数形结合思想在数学解题中得到几点应用 2012 3 18 10 袁桂珍 关于数形结合的若干基本观点 J 广西师范大学学报 1998 16 3 29 35 11 熊 如佐 数形结合思想解读 J 数学爱好者 2008 4 15 16 12 李荣玲 解析几何中数形结合思想方法的挖掘与呈现探索 J 思茅师范高等专科学校 报 2006 22 6 45 49 致谢 本论文是在卢诚波老师的悉心指导下完成的 在此向卢老师表示感谢 丽水学院 2012 届学生毕业论