数学华东师大版八年级上册不完全归纳法

6.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：（一）知识目标：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（二）情感目标：进一步培养严谨的科学思维品质，让学生初步认识有限与无限的辩证关系，感悟数学的理性精神，欣赏数学的美与理（三）能力目标：培养“大胆猜想，小心求证”的科学思维品质，培养发现问题与提出问题的数学意识，培养数学学习中的合作交流的能力，使学生初步掌握由归纳到猜想再到证明的数学思想方法二、教学重点 掌握数学归纳法证明题目的步骤，掌握数学归纳法的一些应用三、教学难点应用数学归纳法第二个步骤中从k 到k+1的变化情况分析四、教学过程（一）引入课题 将课前准备好的多米诺骨牌摆好并进行演示，观察其中出现的“多米诺现象”：推倒头一块骨牌，它会带倒第二块，再带倒第三块，直到所有骨牌全部倒下假设多米诺骨牌有无穷多块，在摆多米诺骨牌时，怎样才能保证所有的骨牌一块接一块地倒下？学生：首先必须推倒第一块，接着是假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块这两个条件满足了，全部的骨牌都将倒下教师：生活中还有许多现象与“多米诺现象”类似，也都可以提出同样的问题并作出相同的回答，例如：在燃放鞭炮时怎样才能保证所有的鞭炮逐个地全部燃爆？在一列队伍中传达口令，怎样才能保证口令能从第一个士兵开始逐个传遍整个队伍？（二）传授新知：教师：现在我们把骨牌想象为一系列无穷多个编了号的命题：假定我们能够证明最初的一个命题正确（奠基）；由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题的正确性（过渡）那么我们便证明了这一系列命题的正确性请将这个过程与多米诺现象进行类比在数学中这种证明问题的方法称为数学归纳法在数学中采用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，有以下两个步骤：第一步，证明时命题成立；第二步，证明：如果时命题成立，那么时命题也成立根据以上两步可以断定，命题对任何正整数都成立用数学归纳法证明：如果是一个等差数列，那么对一切都成立【证明】（1）当时，左边，右边，等式成立；（2）假设当时，等式成立，即，那么这表明，当时，等式也成立根据（1）、（2）可以断定，等式对任何正整数都成立教师：在例1解题过程中，根据（1），时等式成立；再根据（2），时等式也成立由于时等成立再根据（2），时等式也成立这样递推下去，就知道时等式都成立，即等式对任何都成立请归纳出以上的证明步骤学生：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（例如或2等）时结论正确；（2）假设当（时结论正确，证明当时结论也正确在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从开始的所有正整数都正确正确使用数学归纳法证明一个数学问题，关键是在第二个步骤，只有应用了假设条件去推理，证明过程才是有效的，没有应用假设条件的证明过程并不是在使用数学归纳法教师：数学归纳法的思想可以远推至欧几里得前330-前275严格的数学归纳法是在16世纪后期才引入的1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯1494-1575在他的算术一书中明确提出了这一方法，并且用它证明了“”等；法国著名数学家帕斯卡1623-1662承认莫洛克斯引用了这方法，并在他的著作三角阵算术中运用了这一方法因此，一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人由于帕斯卡还没有表示任意自然数的符号，因此组合公式及证明只能用叙述的方法，1686年J伯努利首先采用了表示任意自然数的符号，在他的名著猜度术1713中包含运用数学归纳法证题的出色例子“数学归纳法”这个名称及数学归纳法的证题形式是德摩根1806-1871所提出的皮亚诺1858-1932的自然数公理中包含了归纳原理（三）讲解例题：.用数学归纳法证明：【证明】（1）当时，左边，右边，等式成立；（2）假设当时，等式成立，即，那么这表明，当时，等式也成立根据（1）、（2）可以断定，等式对任何正整数都成立求证对于任何非负整数，都有【证明】（1）当时，不等式成立（2）设当时，则时，综上所述，对于任何非负整数，都有证明，其中nN*【评析】用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n=k+1时，等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系，或增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决【证明】（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边，等式成立（2）假设当n=k时，等式成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，等式也成立由（1）、（2）可知，对一切nN*，等式成立教师：数学归纳法只能在有了问题结论时才能使用，获取问题的结论需借助合情推理，所以，“观察分析归纳猜想证明”才是从发现问题至解决问题的完整过程如果问题与自然数有关，一般可运用数学归纳法去证明教师：根据数学归纳法的定义，利用数学归纳法证题时，上述两步骤缺一不可如果只有第一步没有第二步的证明，则它是属于不完全归纳法，作出的结论就不一定真实可靠，而有了第二步的证明，在数学归纳原理的保证下，才使得结论是完全可靠的但要注意，仅有第二步而无第一步的证明，结论也是不一定真实的同时要注意，数学归纳法有别于上面提到的完全归纳法和不完全归纳法，它是根据归纳原理综合运用归纳、演绎推理的一种特殊的数学证明方法利用数学