（试题 试卷 真题）专题六 第3讲

第3讲统计【高考考情解读】1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题1 随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成2 常用的统计图表(1)频率分布直方图小长方形的面积组距频率；各小长方形的面积之和等于1；小长方形的高，所有小长方形的高的和为.(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好3 用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征样本数据频率分布直方图众数出现次数最多的数据取最高的小长方形底边中点的横坐标中位数将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标平均数样本数据的算术平均数每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和(2)方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2标准差：s.考点一抽样方法例1(2012山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A7 B9 C10 D15答案C解析由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为30，抽取的号码依次为9,39,69，939.落入区间451,750的有459,489，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729459(n1)30，解得n10.所以做问卷B的有10人 在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值 (1)(2013江西)总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B07 C02 D01(2)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组(15号，610号，196200号)若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是_若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取_人答案(1)D(2)3720解析(1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.(2)由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，即第n组抽取的号码为5n3，所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为2000.5100，则应抽取的人数为10020人考点二用样本的频率估计总体例2(2013四川)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成0,5)，5,10)，30,35)，35,40时，所作的频率分布直方图是()答案A解析(1)由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又0,5)，5,10)两组各一人，去掉B，应选A. 反映样本数据分布的主要方式有：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识 在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题：(1)求参赛总人数和频率分布直方图中80,90)之间的矩形的高，并完成直方图；(2)若要从分数在80,100之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在90,100之间的概率解(1)由茎叶图知，分数在50,60)之间的频数为2.由频率分布直方图知，分数在50,60)之间的频率为0008100.08.所以参赛总人数为25(人)分数在80,90)之间的人数为25271024(人)，分数在80,90)之间的频率为0.16，得频率分布直方图中80,90)间矩形的高为0.016.完成直方图，如图(2)将80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4；90,100之间的2个分数编号为5和6.则在80,100之间任取两份的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，其中至少有一个在90,100之间的基本事件为(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共9个故至少有一份分数在90,100之间的概率是.考点三用样本的数字特征估计总体例3甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算两组数据的平均数；(2)分别计算两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些 根据公式计算平均数和方差，然后利用平均数和方差的意义进行估计解(1)甲(86786591047)7(环)，乙(6778678795)7(环)(2)由方差公式s2(x1)2(x2)2(xn)2可求得s3.0(环2)，s1.2(环2)(3)由甲乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；又ss，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小 (2013江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_答案2解析甲(8791908993)90，乙(8990918892)90，s(8790)2(9190)2(9090)2(8990)2(9390)24，s(8990)2(9090)2(9190)2(8890)2(9290)22.用样本估计总体1在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.2众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量3当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布(1)总体期望的估计，计算样本平均值xi.(2)总体方差(标准差)的估计：方差 (xi)2，标准差，方差(标准差)较小者较稳定1 经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人，按分层抽样的方法(抽样过程中不需要剔除个体)从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈若抽样得出的9位同学中有5位持“喜欢”态度的同学，1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班持“喜欢”态度的同学人数为()A6 B18 C30 D54答案C解析由题意设全班学生为x人，持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”态度的学生分别占全班人数的、，所以x()12，解得x54，所以全班持“喜欢”态度的人数为5430.故选C.2 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段40,50)，50,60)，90,100后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为_答案71解析由频率分布直方图得每一组的频率依次为0.1,0.15,0.15,0.3,0.25,0.05，又由频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45,55,65,75,85,95.所以本次考试数学成绩的平均分为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571.故填71.3 某校一课题小组对南昌市工薪阶层关于“楼市限购令”态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.月收入(单位：百元)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75频数510151055赞成人数4812531(1)完成下图的月收入频率分布直方图(注意填写纵坐标) (2)若从月收入(单位：百元)在15,25)，25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望解(1)各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以频率分布直方图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02，0.03，0.02,0.01,0.01，故频率分布直方图如图月收入不低于55(百元)人数月收入低于55(百元)人数合计赞成a4c2933不赞成b6d1117合计104050(2)的所有可能取值有0,1,2,3，则P(0)，P(1)，P(2).P(3).所以的分布列是0123P所以的数学期望E()0.(推荐时间：60分钟)一、选择题1 要完成下列两项调查：从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1 000根火腿肠进行“瘦肉精”检测；从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况适合采用的抽样方法依次为()A用分层抽样，用简单随机抽样B用系统抽样，用简单随机抽样C都用系统抽样D都用简单随机抽样答案B解析中总体容量较大，且火腿肠之间没有明显差异，故适合采用系统抽样；中总体容量偏小，故适合采用简单随机抽样2 (2012四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A101 B808 C1 212 D2 012答案B解析由题意知抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12212543101，故有，解得N808.3 (2013福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A588 B480 C450 D120答案B解析少于60分的学生人数600(0.050.15)120(人)，不少于60分的学生人数为480人4 甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为甲，乙，则下列判断正确的是()A.甲乙；甲比乙成绩稳定B.甲乙；乙比甲成绩稳定C.甲乙；甲比乙成绩稳定D.甲乙；乙比甲成绩稳定答案D解析由茎叶图可知甲25，乙26，甲B，sAsB B.AsBC.AB，sAsB D.AB，sAsB答案B解析A中的数据都不大于B中的数据，所以AsB.二、填空题7 (2013湖北)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示(1)直方图中x的值为 _；(2)在这些用户中，用电量落在区间100,250)内的户数为_答案(1)0.004 4(2)70解析(1)(0.002 40.003 60.006 0x0.002 40.001 2)501，x0.004 4.(2)(0.003 60.004 40.006 0)5010070.8 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为234641，且前三组数据的频数之和等于27，则n_.答案60解析第一组至第六组数据的频率之比为234641，前三组频数和为n27，故n60.9 某公司的男女职工的人数之比为41，用分层抽样的方法从该公司的所有职工中抽取一个容量为10的样本，已知女职工中甲、乙都被抽到的概率为，则公司的职工总人数为_答案40解析男女职工的人数之比为41，且样本容量为10，女职工一共抽取2人，设女职工总数为x人，则女职工中甲、乙都被抽到的概率为，依题意有，解方程得x8，所有职工总数为5840.10某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是_答案1解析当x4时，91，x4，91，x1.三、解答题11(2013陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人请将其余各组抽取的人数填入下表.组别ABCDE人数5010015015050抽取人数6(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993(2)记从A组抽到的3位评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6位评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手从a1，a2，a3和b1，b2，b3，b4，b5，b6中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P.12某工厂有120名工人，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按20,30)、30,40)、40,50)、50,60)分组，其频率分布直方图如图所示工厂为了开发