高考数学一轮复习 4.2 三角函数的化简与求值课件 文 新人教A版.ppt

4 2三角函数的化简与求值 一 两角和与差的三角函数公式 sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan 公式变形 tan tan tan 1 tan tan 辅助角公式 asin bcos sin 其中cos sin 二 二倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 1 2sin2 2cos2 1 tan2 公式变形 1 cos2 2cos2 1 cos2 2sin2 升幂公式 cos2 sin2 降幂公式 sin cos tan 其中符号 的选取由角的范围确定 用正余弦来表示正切的半角公式 三 半角公式 tan 1 sin28 cos107 cos152 sin107 等于 a 1 b c d 解析 sin28 cos107 cos152 sin107 sin28 cos107 cos 180 28 sin107 sin28 cos107 cos28 sin107 sin135 答案 b 2 设sin m 则tan等于 a b 2m c d 1 m 答案 c 解析 cos tan tan 3 cosx sin x 1 sinx cos 1 x 等于 a sin1 b sin1 c cos1 d cos1 解析 cosx sin x 1 sinx cos 1 x cosx sin 1 x sinx cos 1 x sin1 答案 a 题型1三角函数式的化简 例1 1 化简sin 3x cos x cos 3x cos x 2 化简 sin2 cos2 分析 此三角函数式出现两类函数 利用两角和与差公式统一函数成为化简的主要目标 sin 3x sin x cos 3x cos x cos2x 2 sin2 cos2 sin2 cos2 解析 1 sin 3x cos x cos 3x cos x sin 3x sin x cos 3x cos x sin2 cos2 sin2 cos2 2sin cos cos2 sin2 sin2 cos2 2sin 2 线 统一思想 是一个基本变换准则 否则三角变换过程就会乱 点评 三角函数公式的结构特点是引导三角变换的导火 变式训练1 1 化简sin x cos x 2 化简 解析 1 sin x cos x sin x cos x cossin x sincos x sin x 2 tan 题型2有条件的三角函数式的求值 例2已知 sin sin 求cos 的值 分析 观察给定条件中角之间的联系 发现 但利用加法公式时 还需确定另两个三角函数式的符号与数值 由sin 知cos 由sin 知cos cos cos cos cos sin sin 解析 2 点评 此题涉及三角函数式的联系观点 寻找角之间的联系 并运用变换思想转换之 在变换过程中运算及判断符号能力是关键 此题最可能出现的错误就是符号错误而导致运算出错 变式训练2设sin 求cos4 解析 sin2 cos 2 2sin2 1 cos4 1 2sin22 1 2 2 题型3已知三角函数值求角 例3如右图 在平面直角坐标系xoy中 以ox轴为始边作两个锐角 它们的终边分别与单位圆交于a b两点 已知a b的横坐标分别为 求 2 的值 解析 由已知条件及三角函数的定义可知 cos cos 因为 为锐角 故sin 0 从而sin 同理可得sin 因此tan 7 tan 分析 从给定的条件可知锐角 的三角函数值 为了求 2 的值 需要转化为三角函数 关键是取哪一类的三角函数 取正弦函数可能会出现多值 因此取余弦或正切均可 即tan 3 tan 2 tan 1 又0 0 故0 2 从而由tan 2 1得 2 点评 这里提供的思路是利用正切公式来探求角的大小 也可以通过余弦来探求 在求解过程中始终关注角的范围 以便确定三角函数值的符号 这是三角函数题最基本的思维方式 变式训练3已知cos cos 2 求 解析 cos sin 又 2 cos sin 由题易知0 cos cos cos cos sin sin 得 例4设f x sin2x tan cos2x 若f x 求钝角x的值 分析 面对复杂的三角函数式 首先要化简 这里有三种函数 三种角 因此要统一函数 化切为弦 在化简过程中不断发现三角函数的代数结构 运用相应的三角公式一步一步地化简为正弦型函数 在解三角方程中 要注意它的多解性 注意题目只要寻找其中的一个钝角 题型4有关三角函数求值的综合应用 解析 f x sin2x cos2x sinxcosx cos2x sin2x cos2x sin 2x 又f x 所以2x 2k 或2x 2k k z 解得x k 或x k 而x为钝角 所以x 点评 此题自然要求学生具有化简与变换思想 而且要对三角公式的基本结构比较熟悉 逆用公式是基本的思维 合一变换在化简中也起到非常重要作用 变式训练4已知函数f x sin x sin x cosx a的最大值为1 求常数a的值 解析 f x sin x sin x cosx a sinx cosx a 2sin x a 由a 2 1 得a 1 1 三角函数的求值类型有三类 1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 要观察所给角与特殊角之间的关系 利用三角变换消去非特殊角 转化为求特殊角的三角函数值问题 2 给值求值 给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题的关键在于 变角 如 2 等 把所求角用含已知角的式子表示 求解时要注意 角的范围的讨论 3 给值求角 实质上转化为 给值求值 问题 由题给的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角 2 三角式的化简 1 三角式的化简思路是根据三角式的特征 通过三角恒等变换 化繁为简 2 三角条件式的化简思路是通过观察 发现已知条件和待化 简三角式之间的关系 采用代入法 消参法进行化简 3 三角函数式化简的常用方法 直接应用公式进行降次 消项 切化弦 异名化同名 异角化同角 三角公式的逆用等 4 三角函数式化简的要求 能求出值的应求出值 使三角函数种数尽量少 使项数尽量少 尽量使分母不含三角函数 尽量使被开方数不含三角函数 例 12分 已知函数f x cos2x sinxcosx x r 1 求f 的值 2 求f x 的单调递增区间 解析 f x sin2x sin2x cos2x sin2x cos2x sin 2x 4分 1 f sin 6分 2 令2k 2x 2k k z 2k 2x 2k k z 即k x k k z 时 f x 单调递增 10分 f x 的单调递增区间为 k k k z 12分 答题流程 第一步 将f x 化为asinx bcosx的形式 第二步 构造 f x sinx cosx 第三步 和角公式逆用f x sin x 其中 为辅助角 第四步 利用f x sin x 研究三角函数的性质 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点和解题规范 点评 1 在本题的解法中 运用了二倍角的正 余弦公式 还引入了辅助角 技巧性强 值得强调的是 辅助角公式 asin bcos sin 其中tan 或asin bcos cos 其中tan 在历年高考中使用频率是相当高的 几乎年年使用到 考查到 应特别加以关注 2 本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误 在定义域大于周期的区间上求最值时 辅助的值一般不用具体确定 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 已知tan 3 则cos 等于 a b c d 解析 cos 答案 b 2 基础再现 设 是第二象限的角 sin 则tan2 等于 a b c d 解析 sin 即cos sin tan tan2 答案 b 3 基础再现 等于 a sin2 cos2 b cos2 sin2 c sin2 cos2 d sin2 cos2 解析 因为 sin2 cos2 又sin2 cos2 故选a 答案 a 4 高度提升 cos x x 则的值为 a b c d 解析 x x 2 sin x tan x tan x 答案 a 5 能力综合 如图 角 的顶点在原点o 始边在x轴的正半轴 终边经过点p 3 4 角 的顶点在原点o 始边在x轴的正半轴 终边oq落在第二象限 且tan 2 则cos poq的值为 a b c d 答案 d 解析 sin cos sin cos cos poq cos cos cos sin sin 6 基础再现 已知 sin sin 则cos 解析 sin sin cos cos 则cos cos 答案 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 视角拓展 若方程cos2x 2sinxcosx k 1有解 则k的取值范围是 解析 cos2x 2sinxcosx 2cos 2x 2 k 1 2 即 3 k 1 答案 3 1 8 视角拓展 已知f cosx 2cos2x 则f sin15 解析 f sin15 f cos75 2cos150 答案 9 高度提升 解析 4 答案 4 10 视角拓展 已知cos 2 sin 2 0 求 的值 解析 cos 2 且 2 sin 2 sin 2 且 2 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 cos 2 cos cos 2 2 cos 2 cos 2 si